Положение материальной точки на окружности определяется радиусом-вектором →r, проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).
Рисунок 1. Радиус-вектор, перемещение, путь и угол поворота при движении точки по окружности
При этом движение тела по окружности можно однозначно описать с помощью таких кинематических характеристик, как угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.
За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение △r, равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l. Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ.
Угол поворота можно характеризовать вектором углового перемещения d→φ, модуль которого равен углу поворота ∆φ, а направление совпадает с осью вращения, причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора d→φ.
Вектор d→φ называется аксиальным вектором (или псевдо-вектором), тогда как вектор перемещения △→r является полярным вектором (к ним также относятся векторы скорости и ускорения). Они отличаются тем, что полярный вектор кроме длины и направления имеет точку приложения (полюс), а аксиальный вектор имеет только длину и направление (ось - по латыни axis), но не имеет точки приложения. Векторы такого типа часто применяются в физике. К ним, например, относятся все вектора, являющиеся векторным произведением двух полярных векторов.
Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется средней угловой скоростью: ⟨ω⟩=△φ△t. В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (радc).
Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:
→ω(t)=lim△t→0△φ△t=d→φdtПри равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости - величины постоянные: ω=const; v=const.
Учитывая, что △φ=lR, получаем формулу связи между линейной и угловой скоростью: ω=lR△t=vR. Угловая скорость также связана с нормальным ускорением: an=v2R=ω2R
При неравномерном движении по окружности вектор угловой скорости является векторной функцией от времени →ω(t)=→ω0+→ε(t)t, где →ω0 -- начальная угловая скорость, →ε(t) -- угловое ускорение. В случае равнопеременного движения, |→ε(t)|=ε=const, и |→ω(t)|=ω(t)=ω0+εt.
Опишите движение вращающегося твердого тела в случаях, когда угловая скорость изменяется согласно графикам 1 и 2, изображенным на рис.2.
Рисунок 2.
Решение
Вращение бывает в двух направлениях - по часовой стрелке и против. С направлением вращения связан псевдовектор угла поворота и угловой скорости. Пусть положительным будем считать направление вращения по часовой стрелке.
Для движения 1 угловая скорость возрастает, но угловое ускорение ε=dω/dt (производная) уменьшается, оставаясь положительным. Следовательно, это движение является ускоренным по часовой стрелке с уменьшающимся по величине ускорением.
Для движения 2 угловая скорость уменьшается, затем достигает в точке пересечения с осью абсцисс нуля, а далее становится отрицательной и возрастает по модулю. Угловое ускорение отрицательно и уменьшается по модулю. Таким образом, сначала точка двигалась по часовой стрелке замедленно с уменьшающимся по модулю угловым ускорением, остановилась и стала вращаться ускоренно с уменьшающимся по модулю ускорением.
Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2 точки, лежащей на расстоянии r=5см ближе к оси колеса.
Решение
Рисунок 3.
Дано:
R2=R1−5Точки движутся по концентрическим окружностям, вектора их угловых скоростей равны, |→ω1|=|→ω2|=ω , следовательно, можно записать в скалярной форме:
v1=ωR1;v2=ωR2;v1v2=ωR1ωR2=R1R1−5=2,5;; R1=5×2,51.5=8,3 смОтвет: радиус колеса R = 8,3 см