Мгновенное ускорение

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор $\Delta$$\overrightarrow{v}$ на две составляющие. Для этого из точки А по направлению скорости $\overrightarrow{v}$ отложим вектор AD, по модулю равный ${\overrightarrow{v}}_1$. Тогда вектор CD, равный $\Delta$${\overrightarrow{v}}_{\tau }$, определяет изменение скорости по модулю (величине) за время $\Delta$t, т.е. $\Delta$${\overrightarrow{v}}_{\tau }={\overrightarrow{v}}_1-\overrightarrow{v}$. Вторая же составляющая вектора $\triangle \overrightarrow{v}$ характеризует изменение скорости на время $\Delta$t по направлению - $\Delta$${\overrightarrow{v}}_n$. Составляющая ускорения, определяющая изменение скорости по величине, называется тангенциальным ускорением ${\overrightarrow{a}}_{\tau }$. Численно она равна первой производной по времени от модуля скорости: $a_{\tau }=\frac{dv}{dt}$.

Найдем вторую составляющую ускорения, называемую нормальным ускорением ${\overrightarrow{a}}_n$. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому путь $\Delta$s можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающегося от хорды АВ. Из подобия треугольников АОВ и ЕАD следует, что $\frac{{\triangle v}_n}{AB}=\frac{v_1}{r}$, или, учитывая, что $AB\approx \triangle s=v\triangle t$, получим: $\frac{{\triangle v}_n}{v\triangle t}=\frac{v_1}{r}$, откуда $\frac{{\triangle v}_n}{\triangle t}=\frac{vv_1}{r}$. Учитывая, что при бесконечно малом приращении времени $v_1\to v$, и переходя к пределу, получим: $a_n={\mathop{lim}_{\triangle t\to 0} \frac{{\triangle v}_n}{\triangle t}\ }=\frac{v^2}{r}$.

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено к центру кривизны траектории по нормали. Его называют также центростремительным ускорением. Полное мгновенное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих: $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}+{\overrightarrow{a}}_n$

Рисунок 2. Полное ускорение

Модуль полного мгновенного ускорения $a=\sqrt{a^2_{\tau }+a^2_n}$.

Направление полного ускорения определяется углом $\varphi$ между векторами ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}$ и $\overrightarrow{a}$. Как видно из рис. 2, $\varphi =arctg\frac{a_n}{a_{\tau }}$.

Движение материальной точки может быть следующих видов:

1. ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }} = 0$, ${\overrightarrow{a}}_n = 0$ -- прямолинейное равномерное движение (s=vt);
2. ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }} = const \neq 0$, ${\overrightarrow{a}}_n= 0$ -- прямолинейное равнопеременное движение.
3. ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }} = f(t)$, ${\overrightarrow{a}}_n$ $= 0$ -- прямолинейное движение с переменным ускорением;
4. ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }} = 0$, ${\overrightarrow{a}}_n = const$ -- равномерное движение по окружности;
5. ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }} = 0$, ${\overrightarrow{a}}_n \neq 0$ -- равномерное криволинейное движение;
6. ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }} = const$, ${\overrightarrow{a}}_n \neq 0$ -- криволинейное равнопеременное движение;
7. ${\overrightarrow{a}}_{{\mathbf \tau }}$ = $f(t)$, ${\overrightarrow{a}}_n \neq 0$ -- криволинейное движение с переменным ускорением.