Сущность понятия «центр масс»
Понятие "центр масс" широко используется в физике для решения задач, связанных с движением тел. Например, математический маятник удобно представить себе как подвешенное на нити тело, вся масса которого сконцентрирована в единой точке. В законе всемирного тяготения тоже речь идет о расстоянии не между телами, а между центрами тел, под каковыми подразумеваются именно центры масс, а не геометрические центры.
Центр масс - точка, характеризующая размещение и движение исследуемой системы как единого целого.
Признаком центра масс является то, что если тело подвесить, закрепив за эту точку, оно останется в покое, т.е. не будет раскачиваться или вращаться относительно этого центра. В простейшем случае, если речь идет о симметричном теле с равномерной плотностью, центр масс находится на пересечении осей симметрии рассматриваемого тела. Например, если взять линейку длиной 30 см, то ее центр масс будет расположен на отметке "15 см". Подложив карандаш под эту отметку, легко привести линейку в положение равновесия.
На практике далеко не все тела, центр масс которых нужно найти, являются симметричными и однородными по плотности. Более того, многие исследуемые объекты представляют собой системы из нескольких тел с различными геометрическими и химическими характеристиками. Для расчетов их разбивают на элементарные фрагменты и производят вычисления поэтапно.
Нахождение координат центра масс
Центр масс двух тел с точечными массами $m_1$ и $m_2$ и координатами на координатной прямой $x_1$ и $x_2$ находится в точке, делящей расстояние между этими телами на отрезки с длинами обратно пропорциональными массам рассматриваемых тел.
Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.
Расстояние между точечными телами равно:
$\Delta x = x_2 - x_1$
Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_2}{m_1}$,
где $l_1$, $l_2$ - расстояния от соответствующих тел до центра масс.
Выразив, длины через координаты
$l_1 = x_c - x_1; l_2 = x_2 - x_c$,
центр масс можно определить как
$x_c = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1 + m_2}$.
где $x_c$ - координата центра тяжести.
Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):
$x_c = \frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_i \cdot x_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}$
В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.
Центр тяжести системы тел представляет собой точку, подобную центру масс, но рассчитывается не для масс, а для весов (обусловленных гравитацией сил), действующих на точечные тела, входящие в систему. Центр тяжести определяется так же, как и центр масс, если размеры системы малы в сравнении с радиусом планеты Земля. Он в большинстве случаев с достаточной для практики точностью совпадает с центром масс рассматриваемой системы.
Найти центр масс двух линеек, изготовленных из одинакового материала, одинаковой толщины и ширины, левые концы линеек совмещены. Длины линеек - 10 и 30 см. Толщиной линеек можно пренебречь.
Поскольку толщиной можно пренебречь, найти нужно лишь координату центра масс по оси $x$.
Разобьем мысленно систему на два отрезка. Первый - где толщина линеек складывается. Его координаты - $[0, 10]$. Второй отрезок - где длинная линейка продолжается одна. Его координаты - $[10, 30]$. Примем за единицу измерения массу одного погонного сантиметра линейки. Тогда масса второго фрагмента:
$m_2 = 30 - 10 = 20$
На каждый сантиметр первого фрагмента приходится вдвое больше массы, поскольку там сложены две линейки:
$m_1 = 10 \cdot 2 = 20$
Центры масс отрезков находятся на их осях симметрии, т.е. на середине длины каждого:
$x_{c1} = \frac{10}{2} = 5$;
$x_{c2} = 10 + \frac{20}{2} = 20$
Подставим значения в формулу:
$x_c = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1 + m_2}$
$x_c = \frac{20 \cdot 5 + 20 \cdot 20}{20 +20} = \frac{100 + 400}{40} = 12, 5$
Ответ: центр масс находится на расстоянии 12,5 см от левого конца системы линеек.
