Изотермический процесс

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Что такое изотермический процесс

Определение

Изотермическим процессом называется процесс, происходящий в неизменной массе газа при постоянной температуре.

Запишем уравнение для двух состояний идеального газа:

$p_1V_1=\nu RT\left(1\right),$

$p_2V_2=\nu RT\ \left(2\right).$

Закон Бойля-Мариотта

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), получим уравнение изотермического процесса:

$\frac{p_2V_2}{p_1V_1}=1\ (3)$

или

$pV=const\ \left(4\right).$

Уравнение (4) называют законом Бойля-Мариотта.

Этот процесс происходит с подводом тепла, если объем увеличивается, или его отводом, чтобы уменьшать объем. Запишем первое начало термодинамики, последовательно получим выражения для работы, внутренней энергии и количества теплоты изотермического процесса:

$\delta Q=dU+dA=\frac{i}{2}\nu RdT+pdV,\ \left(5\right).$

Температура не изменяется, следовательно, изменение внутренней энергии равно нулю ( $dU=0$ ). Получается, что в изотермическом процессе все подводимое тепло идет на совершение газом работы:

$\triangle Q=\int\limits^{V_2}_{V_1}{dA}\left(6\right),$

где $\delta Q\$ - элементарное тепло, подводимое к системе, $dA$ - элементарная работа, которую совершает газ в процессе, i - число степеней свободы молекулы газа, R -- универсальная газовая постоянная, d -количество молей газа, $V_1$ - начальный объем газа, $V_2$ - конечный объем газа.

$A=\int\limits^{V_2}_{V_1}{pdV}\left(7\right).$

Используем уравнение состояния идеального газа, выразим из него давление:

$pV=\nu RT\to p=\frac{\nu RT}{V}\left(8\right).$

Подставим уравнение (8) в подынтегральное выражение уравнения (7):

$A=\int\limits^{V_2}_{V_1}{\frac{\nu RT}{V}dV}=\nu RT\int\limits^{V_2}_{V_1}{\frac{dV}{V}}=\nu RTln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\left(9\right).$

Уравнение (9) -- выражение для работы газа в изотермическом процессе. Уравнение (9) можно записать через отношение давлений, если использовать закон Бойля-Мариотта, в таком случае:

$A=\nu RTln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)\left(10\right)$

$\triangle Q=A\ (11),$

Уравнение (11) определяет количество теплоты, сообщаемое газу массы m в изотермическом процессе$.

Изопроцессы очень часто изображают на термодинамических диаграммах. Так, линия, изображающая на такой диаграмме изотермический процесс, называется изотермой (рис.1).

Изотермический процесс

Рис. 1

Пример 1

Задание: Идеальный одноатомный газ расширяется при постоянной температуре от объема $V_1=0,2\ м^3$ до $V_2=0,6\ м^3$ . Давление в состоянии 2 равно $p_2=1\cdot {10}^5\ Па$ . Определить:

Изменение внутренней энергии газа.
Работу, которую совершает газ в этом процессе.
Количество теплоты, получаемое газом.

Решение:

Так как процесс изотермический, то внутренняя энергия газа не изменяется:

$\triangle U=0.$

Из первого начала термодинамики, следовательно:

$\triangle Q=A\ \left(1.1\right).$

$A=\nu RTln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\left(1.2\right).$

Запишем уравнение конечного состояния идеального газа:

$p_2V_2=\nu RT\to T=\frac{p_2V_2}{\nu R}\ \left(1.3\right).$

Подставим выражение для температуры из (1.3) в (1.2), получим:

$A=\nu R\frac{p_2V_2}{\nu R}ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=p_2V_2ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\left(1.4\right).$

Так как все величины в данных находятся в СИ, проведем расчет:

$A=0,6\cdot {10}^5ln\left(\frac{0,6}{0,2}\right)=0,6\cdot {10}^5\cdot 1,1=6,6{\cdot 10}^4(Дж)$

Ответ: Изменение внутренней энергии газа в заданном процессе равно нулю. Работа, которую совершает газ в этом процессе $6,6{\cdot 10}^4Дж.$ Количество теплоты, получаемое газом в данном процессе, $6,6{\cdot 10}^4Дж$ .