Искажение пространства и времени

В соответствии с общей теорией относительности (ОТО):

• Геометрические свойства пространства не являются самостоятельными, они зависят от состояния материи.
• Любое заключение о геометрической структуре мира можно сделать только, если известно состояние материи.

В первом приближении полагают, что материя покоится.

Поля сил тяготения (распределение масс) влияют на поведение часов и масштабов. Значит, точное использование геометрии Эвклида при рассмотрении свойств нашего мира, невозможно.

С точки зрения геометрии наш мир можно уподобить поверхности, которая имеет неравномерное искривление в некоторых частях, но это искривление от плоскости нельзя назвать очень значительным. Форму нашего мира можно считать подобной морской поверхности при слабом волнении. Такой мир считают квазиевклидовым. Этот мир был бы бесконечным пространством. Из расчетов следует, что квазиевклидовом мире, средняя плотность материи должна быть равна нулю. Значит, подобный мир не может быть везде заполнен материей.

Если средняя плотность материи отлична от нуля, то мир является не квазиевклидовым. В этом случае, если масса распределена равномерно, то мир должен быть сферическим (или эллиптическим). Поскольку в мире имеются локальные неравномерности в распределении массы, то мир называют квазисферическим.

Теория дает следующее соотношение между средней плотностью материи в мире и протяженностью мира в пространстве:

$R^2=\frac {2}{\kappa\bullet\rho}$ (1), где:

• $R$ - радиус мира;
• $\frac {2}{\kappa}=1,08\bullet 10^{27}$ (в системе СГС);
• $ \rho$ - средняя плотность материи.

Пространство-время Шварцшильда

Шварцшильд исследовал задачу, связанную с пространственно-временной геометрией около массы, которую можно считать точечной.

Допустим, что во Вселенной точеной массой можно считать звезды, которые коллапсировали в точки.

В случае евклидового пространства движение тела по радиусу, под воздействием сил тяготения точечной массы, можно описывать функцией, зависящей от расстояния ($r$) тело – точечная масса и времени ($t$). Данные параметры можно было бы использовать как координаты частицы и измерять расстояния и отрезки времени.

В неэвклидовой геометрии отсутствуют координаты с размерностями расстояний и отрезков времени.

Шварцвальд решил, что пространство – время на большом расстоянии от точечной массы имеет геометрию Минковского. Следовательно, имеется радиальная координата $r$, такая, что при большом расстоянии от точечной массы расстояние между парой близких точек на одном радиусе составит:

$dr=r_2-r_1 (2)$,

где $r_2; r_1 (2)$ - радиальные координаты.

Помимо этого, имеется временная координата $t$, которая на большом расстоянии от точечной массы отрезок времени составляет:

$dt=t_2-t_1 (3).$

Шварцшильд положил, что в результате искривления пространства и времени около точечной массы радиальное расстояние между мировыми точками, находящимися на малом расстоянии равно:

$\frac {dr} {1-\frac {r_g}{r}}$,

где $r_g$ - гравитационный радиус точечной массы; $r$ - радиальная координата мировой точки (одной из пары).

Интервал времени при этом составляет:

$ (1-\frac {r_g}{r}) dt$.

Интервал $ds$ между парой близких мировых точек на радиальной мировой линии определен отношением:

$(cds)^2=c^2\left(1-\frac{r_g}{r}\right)dt^2-\frac{dr^2}{1-\frac{r_g}{r}}\left(4\right).$

При большой координате $r$, отношение $\frac{r_g}{r}$ стремится к нулю, его можно не учитывать, имеем:

$(cds)^2=c^2dt^2-dr^2\left(5\right).$

Выражение (5) соответствует геометрии Минковского.

Пусть часы находятся в покое на большом расстоянии от массы, тогда по их мировой линии $dr=0$ и $ds=dt$.

Так получаем физический смысл временной координаты $t$.

Временная координата – это время $s$, которое показывают часы, остающиеся в покое в пространственной точке на большом удалении от точечной массы.

При всех $r$ много больших гравитационного радиуса, точечная масса в своих проявлениях соответствует теории Ньютона.

Сфера Шварцшильда

Из уравнения (4) понятно, что поверхность при $r=r_g$ является особенной. Данная поверхность именуется сферой Шварцшильда. На этой поверхности коэффициент при $dt^2$ становится равным нулю, а при $dr^2$ становится бесконечным.

Рассмотрим, как ведет себя около поверхности Шварцшильда свет. Так как для него $ds^2=0$, следовательно, из (4) радиальная скорость света равна:

$c_r=\frac{dr}{dt}=c\left(1-\frac{r_g}{r}\right)\left(6\right).$

$c_r$ - радиальная компонента скорости в системе отсчета, которая связана с наблюдателем на большом удалении.

При $r$ стремящейся к гравитационному радиусу, но остающейся больше, чем $r_g$, $c_r$ приближается к 0.

Если $r=r_g$ $c_r=0$ в сторону наблюдателя свет не распространяется. Мы получили картину захвата сигналов света тяготением. При приближении к сфере Шварцшильда все, что происходит около нее приходит к наблюдателю, удаленному от массы с большим опозданием.

За сферой Шварцшильда

Если $r

В результате, знаки в (5) меняются местами. В этом случае координата $r$ измеряет время, а $t$ измеряет расстояние. Возникает мысль о нелепости данного высказывания.

Сделаем замены:

$T=\frac {r_g-r}{c}$ и $R=ct$,

тогда вместо (4) имеем:

$(cds)^2=\left(\frac{T_g}{T}-1\right)c^2dT^2-\frac{dR^2}{\frac{T_g}{T}-1}\left(7\right),$

где $R$ - пространственная координата; $T$ - временная координата; $T_g=\frac{r_g}{c}$.

В формуле (7) в коэффициенты при $dT^2$ и $dR^2$ входит время, следовательно, все расстояния связаны со временем.

Время является ограниченным. При $T$

При $T=T_g$ коэффициент при $dT^2$ становится равным нулю, а у $dR^2$ растет неограниченно. В этом случае искривление пространства и времени неограниченно большое. В этом случае привычные нам представления о пространстве и времени не имеют смысла. Мировые точки в которых возникают данные явления называют сингулярными. Время в данной геометрии ограничено величинами: $0$ и $T_g$.