Интенсивность электромагнитой волны

Электромагнитные волны могут вызывать разные эффекты, например, вызывать отклонение стрелки гальванометра, который соединен с детектором, накаливать нить лампы, включенной в диполь. Это все говорит о том, что электромагнитные волны переносят энергию.

К энергетическим характеристика электромагнитной волны отнесем:

• Энергию волны.
• Объемную плотность энергии.
• Вектор потока электромагнитной энергии.
• Интенсивность.

Энергия электромагнитных волн

Предположим, что в поле электромагнитной волны расположена площадка $S$ (рис.1).

Рисунок 1. Площадка, расположенная в поле электромагнитной волны. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определим, какая энергия ($W$) переносится электромагнитной волной сквозь эту площадку за малое время ∆t. Построим на основании площадки $S$ параллелепипед, с ребрами параллельными скорости перемещения волны $\vec{v}$. Пусть длины ребер параллелепипеда будут равны $v\Delta{}t$. Объем выделенного параллелепипеда будет:

$\Delta{}V=Sv\Delta{}t\cos{\alpha{}\ \left(1\right),}$

где α – угол между нормалью к площадке $S$ и направлением вектора скорости движения волны. Поскольку за время $\Delta{}t$ волна пробегает расстояние $v\Delta{}t$, то через выделенную нами площадь пройдет искомая нами энергия $W$, которая заключена внутри параллелепипеда.

$W=w\Delta{}V=wSv\Delta{}t\cos{\alpha{}\ \left(2\right),}$

где $w$ – объемная плотность энергии.

Электромагнитная волна имеет две составляющие, которые обладают энергией – это переменное электрическое и магнитное поля, поэтому объемную плотность нашей волны мы запишем как:

$w=\frac{\epsilon{}{\epsilon{}}_0}{2}E^2+\frac{\mu{}{\mu{}}_0}{2}H^2\left(3\right).$

Мы знаем, что напряженности полей в электромагнитной волне связывает уравнение:

$\sqrt{\epsilon{}{\epsilon{}}_0}E=\sqrt{\mu{}{\mu{}}_0}H\left(4\right),$

откуда следует, что мы можем написать:

$w=\epsilon{}{\epsilon{}}_0E^2=\mu{}{\mu{}}_0H^2=\sqrt{\epsilon{}\mu{}}\sqrt{{\epsilon{}}_0{\mu{}}_0}EH\left(5\right).$

Принимая во внимание, что скорость распространения электромагнитной волны в веществе можно представить как:

$v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon{}\mu{}{\epsilon{}}_0{\mu{}}_0}}\left(6\right),$

учитывая формулу (5) из выражения (2) следует, что искомая энергия равна:

$W=\sqrt{\epsilon{}\mu{}}\sqrt{{\epsilon{}}_0{\mu{}}_0}EHS\frac{1}{\sqrt{\epsilon{}\mu{}{\epsilon{}}_0{\mu{}}_0}}\Delta{}t\cos{\alpha{}=EHS\Delta{}t\cos{\alpha{}}\left(7\right).}$

Вектор потока электромагнитной энергии

Энергия, которая проходит сквозь площадку $S$ за единицу времени равна:

$P_n=EHS\cos{\alpha{}}\left(8\right),$

где $P_n=P\cos{\alpha{}}$ – вектора $\vec{P}$ на направление нормали к площадке.

$\vec{P}$ - вектор потока электромагнитной энергии или вектор Умова – Пойнтинга.

Так, распространение энергии в электромагнитном поле можно характеризовать с помощью потока энергии (вектора Умова - Пойнтинга). Направление данного вектора указывает направление движения энергии.

Если представить себе линии, касательные к которым в любой точке совпадают с направление вектора $\vec{P}$, то получим линии вектора потока энергии, указывающие пути, по которым распространяется энергия, рассматриваемого нами поля. С другой стороны, в оптике, линии по которым перемещается энергия, называют лучами. Поскольку видимый свет – это электромагнитные волны, то лучи света – это линии вектора потока энергии этих волн.

Интенсивность

Из определения 1 следует, что величина интенсивности связана с модулем вектора Умова – Пойнтинга.

$I=\left\langle{}\vec{P}\right\rangle{}=\frac{1}{T}\left\vert{}\int_0^TPdt\right\vert{}\left(10\right).$

Выражение (10) означает, что интенсивность электромагнитной волны равна средней по времени величине модуля вектора Умова – Пойнтинга.

Учитывая формулу (9) можно сказать, что:

$I=\left\langle{}EH\right\rangle{}\ \left(11\right),$

интенсивность электромагнитной волны можно найти как среднюю величину произведения модулей векторов напряженностей полей.

Интенсивность плоской электромагнитной волны

Допустим, что плоская монохроматическая волна распространяется в вакууме по оси X. Это означает, что напряженности этой волны можно записать при помощи уравнений:

$E=E_0\sin{\left(\omega{}t-kx\right),}$

$H=H_0\sin{\left(\omega{}t-kx\right)\ \left(12\right),}$

где $k=\frac{2\pi{}}{\lambda{}}$ .

Мгновенная величина вектора Умова – Пойнтинга равна:

$P=EH=E_0H_0{sin}^2\left(\omega{}t-kx\right)\left(13\right).$

От полученной в (13) величины мы должны взять среднее по времени:

$I=\left\langle{}\vec{P}\right\rangle{}=\frac{1}{T}\left\vert{}\int_0^TPdt\right\vert{}=\frac{E_0H_0}{2}\left(14\right).$

Наша волна распространяется в вакууме ($\epsilon{}=1;\ \mu{}=1$) и

$\sqrt{{\epsilon{}}_0}E=\sqrt{{\mu{}}_0}H\left(15\right),$

Окончательно имеем:

$I=\sqrt{\frac{{\epsilon{}}_0}{{\mu{}}_0}}\frac{E_0^2}{2}\ \left(16\right).$

Выражение (16) показывает, что интенсивность плоской, линейно поляризованной волны пропорциональна квадрату амплитуды напряженности поля.

1. Для произвольной плоской волны в однородной среде при отсутствии поглощения интенсивность электромагнитной волны постоянна.
2. В стоячей электромагнитной волне интенсивность равна нулю.
3. Для сферической электромагнитной волны в среде без поглощения интенсивность волны изменяется только в зависимости от расстояния от ее центра ($r$) и можно считать, что:

$I=\frac{const}{r^2}\left(17\right).$

Интенсивность электромагнитной волны, втекающей в поверхность проводника с постоянным током

Допустим, что у нас имеется длинный цилиндрический проводник радиуса $r$ плотность постоянного тока в котором $j$ (рис.2).

Рисунок 2. Проводник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

При этом электрическое и магнитное поля имеют направления, указанные на рисунке, следовательно, вектор Умова – Пойнтинга направлен внутрь проводника, нормально к его боковой поверхности. Это говорит нам о том, что энергия постоянно втекает в проводник из окружающей его среды.

Согласно закону Ома:

$E=\rho{}j\ \left(18\right),$

где $\rho{}$ – удельная плотность проводника.

Напряженность магнитного поля у поверхности длинного прямого проводника:

$H=\frac{I}{2\pi{}r}=\frac{jr}{2}\left(20\right).$

Модуль вектора Умова - Пойнтинга равен:

$P=EH=\rho{}j\frac{jr}{2}=\rho{}r\frac{j^2}{2}\left(21\right).$

Мы получили, что интенсивность электромагнитной волны:

$I=P=\rho{}r\frac{j^2}{2}\ \left(22\right).$