Свободные гармонические колебания

В физике колебаниями считают не только повторяющиеся периодически процессы, но и другие изменения состояния, которые повторяются во времени.

Систему, совершающую колебания называют колебательной.

Колебательные процессы классифицируют в зависимости от разных признаков, например, по физической природе процесса или механизма его возникновения. Так деление колебаний происходит на:

• механические;
• электромагнитные;
• электромеханические (смешанные);
• иногда выделяют квантовые колебания.

Колебания считают периодическими, если значения всех изменяющихся физических параметров, при помощи которых описывают состояние системы, повторяются спустя равные промежутки времени.

Важным с точки зрения математического и физического описания является деление колебаний на:

• свободные и
• вынужденные.

Вынужденными считают колебания, которые возникают в результате регулярного внешнего действия на колебательную систему.

Гармонически изменяющаяся величина удовлетворяет дифференциальному уравнению вида:

$\ddot{l}+\omega^2 l=0(2)$,

которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Свободные механические гармонические колебания

Допустим, что материальная точка гармонически колеблется параллельно оси $OX$ рядом с положением равновесия (начало координат разместим в нем). В этом случае связь координаты и времени можно задать уравнением:

$x=A\sin (\omega t+\varphi_0)(3),$

где $\varphi_0$ - начальная фаза колебаний точки.

Скорость движения по оси $OX$ нашей точки получим дифференцированием функции $x(t)$ по времени:

$v=v_x=\frac{dx}{dt}=v_0\cos(\omega t+\varphi_0)(4),$

где $v_0=A\omega$ - является амплитудой скорости.

Ускорение материальной точки в рассматриваемом нами случае определим как:

$a=a_x=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dv}{dt}=-a_m\sin (\omega t+\varphi_0)(5),$

где амплитуда ускорения точки равна $a_m=A\omega^2$.

Из закона Ньютона, учитывая выражение для ускорения (5) мы видим, что на материальную точку массы $m$ действует сила, равная:

$F_x=ma_x=-m a_m\sin (\omega t+\varphi_0)=-m \omega^2x(6).$

Уравнение (6) указывает на то, что сила, действующая на материальную точку, прямо пропорциональна ее смещению от положения равновесия и имеет направление в сторону равновесия:

$\vec F=-m\omega^2 x\vec i$,

где $\vec i$ орт оси $OX$.

Зависимость вида (6) для силы, свойственна для сил упругости. Силы, обладающие другой природой (не силы упругости), но подчиняющиеся зависимости (6) именуют квазиупругими.

Кинетическая энергия свободных гармонических прямолинейных колебаний равна:

$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m \omega^2 A^2\cos^2 (\omega t+\varphi_0)= \frac{1}{4}m \omega^2 A^2(\cos (2\omega t+2\varphi_0)) (7).$

При свободных гармонических колебаниях изменение кинетической энергии материальной точки происходит периодически и минимальное ее значение равно нулю, а максимальное $E_k max=\frac{1}{2}m \omega^2 A^2$.

Частота колебаний кинетической энергии равна $2\omega$.

Потенциальную энергию колебаний материальной точки под воздействием потенциальной силы найдем как:

$U=-\int_0^x F_x dx=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2=\frac{1}{2}m \omega^2 A^2\sin (\omega t+\varphi_0)= \frac{1}{4}m \omega^2 A^2(\cos (2\omega t+2\varphi_0+\pi)) (8).$

Согласно полученному уравнению (8) изменение потенциальной энергии по гармоническому закону происходит с частотой $2\omega$. При этом минимальная ее величина в состоянии равновесия равна нулю, максимальная составляет $\frac{1}{2}m \omega^2 A^2$.

Колебания потенциальной и кинетической энергий идут в противофазе, то есть сдвиг между их колебаниями составляет $\pi$.

При свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия материальной точки сохраняется:

$E=E_k+U=\frac{1}{2}m \omega^2 A^2=const.$

Свободные электромагнитные колебания

Свободные электрические колебания можно реализовать в идеальном колебательном контуре, который состоит из:

• конденсатора, емкость которого равна $C$;
• катушки индуктивности ($L$).

Элементы в контуре соединены последовательно. Контур будем считать идеальным, поскольку его сопротивление равно нулю. Только в таком контуре можно создать незатухающие свободные колебания.

Конденсатор заряжают, после этого замыкают на катушку. При замыкании в контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и силы тока в катушке. Изменяющееся электромагнитное поле распространяется в пространстве (скорость распространения равна скорости света). Обычно контур считают малым, при этом в каждый момент времени сила тока во всех его частях одинакова. Данный ток считают квазистационарным.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда можно представить:

$\frac{d^2 q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0 (9).$

Величина $\frac{1}{LC}=\omega^2$ - циклическая частота в квадрате.

Решением уравнения (9) является функция $q(t)$, равная:

$q(t)=q_0\sin (\omega t \varphi_0)(10)$,

где $q_0$ - амплитуда заряда конденсатора; $\varphi_0$ - начальная фаза колебаний заряда на конденсаторе.

Принимая во внимание, что связь заряда и силы тока:

$I=\frac{dq}{dt}(11),$

получим закон $I(t)$ при свободных гармонических колебаниях:

$I=I_0\cos (\omega t+\varphi_0) = I_0\sin (\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2}) (12),$

где $I_0=\omega q_0=\frac{q_0}{\sqrt{LC}}$ - амплитуда силы тока.

Сравнение выражений (10) и (12) указывает на то, что ток в контуре опережает по фазе заряд на $\frac{\pi}{2}$.

При свободных гармонических колебаниях в нашем контуре, в рамках одного периода колебаний, происходит переход энергии электрического поля конденсатора ($E_e$) в энергию магнитного поля катушки (E_m) и назад:

$E=E_e+E_m=\frac {q_0^2}{2C}=\frac{LI_0^2}{2}=const (13).$

Закон сохранения в виде (13) указывает нам на то, что полная энергия электромагнитных колебаний в идеальном контуре постоянна во времени.