Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Свободные гармонические колебания

В физике колебаниями считают не только повторяющиеся периодически процессы, но и другие изменения состояния, которые повторяются во времени.

Систему, совершающую колебания называют колебательной.

Колебательные процессы классифицируют в зависимости от разных признаков, например, по физической природе процесса или механизма его возникновения. Так деление колебаний происходит на:

  • механические;
  • электромагнитные;
  • электромеханические (смешанные);
  • иногда выделяют квантовые колебания.

Колебания считают периодическими, если значения всех изменяющихся физических параметров, при помощи которых описывают состояние системы, повторяются спустя равные промежутки времени.

Важным с точки зрения математического и физического описания является деление колебаний на:

  • свободные и
  • вынужденные.
Определение 1

Свободными называют колебания, происходящие в отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Они появляются в результате однократного (при t=0) действия на колебательную систему, которое выводит ее из состояния равновесия.

Вынужденными считают колебания, которые возникают в результате регулярного внешнего действия на колебательную систему.

Определение 2

Колебания какой-либо величины называют гармоническими, если ее изменение во времени описывают при помощи законов синуса или косинуса, например:

l=Acos(ωt+δ)(1),

где A=const - амплитуда колебаний.

Гармонически изменяющаяся величина удовлетворяет дифференциальному уравнению вида:

¨l+ω2l=0(2),

которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Свободные механические гармонические колебания

Допустим, что материальная точка гармонически колеблется параллельно оси OX рядом с положением равновесия (начало координат разместим в нем). В этом случае связь координаты и времени можно задать уравнением:

x=Asin(ωt+φ0)(3),

где φ0 - начальная фаза колебаний точки.

Скорость движения по оси OX нашей точки получим дифференцированием функции x(t) по времени:

«Свободные гармонические колебания» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

v=vx=dxdt=v0cos(ωt+φ0)(4),

где v0=Aω - является амплитудой скорости.

Ускорение материальной точки в рассматриваемом нами случае определим как:

a=ax=d2xdt2=dvdt=amsin(ωt+φ0)(5),

где амплитуда ускорения точки равна am=Aω2.

Из закона Ньютона, учитывая выражение для ускорения (5) мы видим, что на материальную точку массы m действует сила, равная:

Fx=max=mamsin(ωt+φ0)=mω2x(6).

Уравнение (6) указывает на то, что сила, действующая на материальную точку, прямо пропорциональна ее смещению от положения равновесия и имеет направление в сторону равновесия:

F=mω2xi,

где i орт оси OX.

Зависимость вида (6) для силы, свойственна для сил упругости. Силы, обладающие другой природой (не силы упругости), но подчиняющиеся зависимости (6) именуют квазиупругими.

Кинетическая энергия свободных гармонических прямолинейных колебаний равна:

Ek=12mv2=12mω2A2cos2(ωt+φ0)=14mω2A2(cos(2ωt+2φ0))(7).

При свободных гармонических колебаниях изменение кинетической энергии материальной точки происходит периодически и минимальное ее значение равно нулю, а максимальное Ekmax=12mω2A2.

Частота колебаний кинетической энергии равна 2ω.

Потенциальную энергию колебаний материальной точки под воздействием потенциальной силы найдем как:

U=x0Fxdx=12mω2x2=12mω2A2sin(ωt+φ0)=14mω2A2(cos(2ωt+2φ0+π))(8).

Согласно полученному уравнению (8) изменение потенциальной энергии по гармоническому закону происходит с частотой 2ω. При этом минимальная ее величина в состоянии равновесия равна нулю, максимальная составляет 12mω2A2.

Колебания потенциальной и кинетической энергий идут в противофазе, то есть сдвиг между их колебаниями составляет π.

При свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия материальной точки сохраняется:

E=Ek+U=12mω2A2=const.

Свободные электромагнитные колебания

Свободные электрические колебания можно реализовать в идеальном колебательном контуре, который состоит из:

  • конденсатора, емкость которого равна C;
  • катушки индуктивности (L).

Элементы в контуре соединены последовательно. Контур будем считать идеальным, поскольку его сопротивление равно нулю. Только в таком контуре можно создать незатухающие свободные колебания.

Конденсатор заряжают, после этого замыкают на катушку. При замыкании в контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и силы тока в катушке. Изменяющееся электромагнитное поле распространяется в пространстве (скорость распространения равна скорости света). Обычно контур считают малым, при этом в каждый момент времени сила тока во всех его частях одинакова. Данный ток считают квазистационарным.

Замечание 1

Свободные электрические колебания в рассматриваемом контуре будут гармоническими только, если сопротивление контура можно считать равным нулю.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда можно представить:

d2qdt2+1LCq=0(9).

Величина 1LC=ω2 - циклическая частота в квадрате.

Решением уравнения (9) является функция q(t), равная:

q(t)=q0sin(ωtφ0)(10),

где q0 - амплитуда заряда конденсатора; φ0 - начальная фаза колебаний заряда на конденсаторе.

Принимая во внимание, что связь заряда и силы тока:

I=dqdt(11),

получим закон I(t) при свободных гармонических колебаниях:

I=I0cos(ωt+φ0)=I0sin(ωt+φ0+π2)(12),

где I0=ωq0=q0LC - амплитуда силы тока.

Сравнение выражений (10) и (12) указывает на то, что ток в контуре опережает по фазе заряд на π2.

При свободных гармонических колебаниях в нашем контуре, в рамках одного периода колебаний, происходит переход энергии электрического поля конденсатора (Ee) в энергию магнитного поля катушки (E_m) и назад:

E=Ee+Em=q202C=LI202=const(13).

Закон сохранения в виде (13) указывает нам на то, что полная энергия электромагнитных колебаний в идеальном контуре постоянна во времени.

Дата последнего обновления статьи: 22.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Свободные гармонические колебания"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant