Энергия гармонических колебаний

Колебания - это самая общая форма движения динамических систем около положения равновесия. При малых отклонениях от положения равновесия колебания обычно являются гармоническими. В этом заключается их особенная значимость.

Уравнение вида:

$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0 (1),$

где $\omega^2$ - циклическая частота колебаний; $x$ -расстояние положения равновесия

называют уравнением механических гармонических колебания. Колебания происходят вдоль оси $X$.

Решением уравнения (1) можно считать функции:

$x=A\sin (\omega t+\varphi)$ или

$x=A\cos (\omega t+\varphi_1)$,

где $A$ - амплитуда колебаний.

Систему, которая реализует данные малые колебания, называют линейным или гармоническим осциллятором. Примером гармонического осциллятора может служить

1. малое тело, подвешенное на упругую пружину (Пружинный маятник);
2. физический маятник (Тело, которое совершает колебания относительно точки (или оси, проходящей через точку тела), не являющейся его центром масс);
3. математический маятник; (Малое тело, совершающее колебания на длинном, нерастяжимом, невесомом подвесе).

В полной механической энергии гармонического осциллятора выделяют:

• потенциальную энергию;
• и кинетическую энергию.

Потенциальная энергия

Говорить о потенциальной энергии можно только, если действующие силы потенциальны. Если колебательные движения между двумя точками являются одномерным, то автоматически обеспечивается условие потенциальности и всякую силу, зависящую только от координат, можно считать потенциальной.

Если рассматривается линейный осциллятор, то обычно считают, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия. Считая, что осциллятор заставляет совершать колебания сила упругости;

$F=-kx(2)$

и зная, как связана потенциальная энергия и потенциальная сила, (для одномерного случая: $F=-\frac{dU}{dx}$), потенциальную энергию линейного осциллятора определим как:

$U(x)=\frac{kx^2}{2}=\frac{m\omega^2x^2}{2}=\frac{mA^2\omega_0^2}{2}\cos^2 (\omega t+\varphi)= \frac{mA^2\omega_0^2}{4}(1+\cos 2(\omega t +\varphi)) (3).$

Из формулы (3) видно, что потенциальная энергия при колебаниях изменяется с течением времени, так как изменяется $x$. Частота колебаний потенциальной энергии $2\omega$.

Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия тела – это энергия движения, она зависит от скорости перемещения материальной точки, задается выражением:

$E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{m\dot{x}^2}{2}=\frac{mA^2\omega_0^2}{2}\sin^2 (\omega t+\varphi) =\frac{mA^2\omega_0^2}{4}(1-\cos 2(\omega t +\varphi)) (4).$

Кинетическая энергия является переменной во времени физической величиной. Колебания ее происходят с частотой $2\omega$ (эта частота в два раза больше, чем частота колебаний $x$)

Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях

Как было отмечено, кинетическая энергия и потенциальная энергия являются переменными во времени величинами, однако, их сумма у гармонического осциллятора, выполняющего свободные колебания, не изменяется:

$\frac{m\dot{x}^2}{2}+\frac{m\omega^2x^2}{2}=\frac{m\omega^2A^2}{2}=const$.

Полная энергия системы ($E$) не изменяется, поскольку при гармонических колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии, так как сила упругости является консервативной.

Закон сохранения энергии позволяет сделать два существенных вывода

Вывод первый. Наибольшая кинетическая энергия осциллятора равна его наибольшей энергии потенциальной энергии.

Данный вывод очевиден, так как потенциальная энергия осциллятора максимальна при смещении точки выполняющей колебания на максимально возможное расстояние, при этом скорость, а соответственно и кинетическая энергия осциллятора равна нулю.

Наибольшую кинетическую энергию колебательная система имеет тогда, когда она проходит положение равновесия ($x=0$), то есть потенциальная энергия равна нулю.

$\frac{mV^2}{2}=\frac{m\omega^2A^2}{2}(5),$

где $V$ - максимальная скорость.

Вывод второй. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.

Средняя кинетическая энергия.

Пусть параметр $f$ функция времени, тогда средняя ее величина на отрезке времени от $t_1$ до $t_2$ равна:

$f_{sr}=\frac{1}{t_2-t_1}\int_1^2f(t)dt (6),$

где пределы интегрирования обозначают 1 - время $t_1$; 2 - $t_2$.

Если функцию $f(t)$ изобразить на графике (рис.1), то ее среднее значение будет соответствовать высоте прямоугольника, площадь которого ограничивают функция $f$ и ось $t$ на заданном отрезке времени.

Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Запишем закон движения осциллятора как:

$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi) (7)$,

его скорость равна:

$\dot{x}=-A\omega\sin (\omega t+\varphi) (8).$

Выражение для потенциальной энергии представим как:

$U(t) = \frac{\omega^2A^2}{2}\cos^2 (\omega t+\varphi) (9)$.

Кинетическую энергию представит выражение:

$E_k=\frac{\omega^2A^2}{2}\sin^2 (\omega t+\varphi) $

Отрезком времени, на котором будем брать среднее, станет период колебаний, вернее одного колебания. Нахождение средних значений кинетической и потенциальной энергии сводят к поиску средних от $\cos^2 (\omega t+\varphi)$ и $\sin^2 (\omega t+\varphi)$:

$(\sin^2 (\omega t+\varphi))_{sr}=\frac{1}{T}\int_0^T \cos^2 (\omega t+\varphi)dt=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{1}{2}(1-\cos 2(\omega t+\varphi)dt)=\frac{1}{2},$

где $T$ - период колебаний; $\omega T=2\pi.$

По аналогии получаем:

$\sin^2 (\omega t+\varphi)_sr=\frac{1}{2}.$

В результате имеем:

• средняя по времени потенциальная энергия гармонического колебания за один период равна:

  $U_{sr}=\frac{m\omega^2A^2}{4}(10),$

• средняя по времени кинетическая энергия составила:

  $E_{k,sr}=\frac{m\omega^2A^2}{4}(11)$.

Сравнивая (10) и (11) мы видим, что:

$U_{sr}= E_{k,sr}=\frac {1}{2}E$,

где $E$ - полная механическая энергия гармонических колебаний.

то есть средняя по времени кинетическая энергия осциллятора равна средней по времени потенциальной энергии.