Что такое вектор электрической индукции
Вектором электрической индукции (или вектором электрического смещения) (→D) называют физическую величину, которая определяется в системе СИ как:
→D=ε0→E+→P (1),где ε0 -- электрическая постоянная, →E -- вектор напряженность, →P -- вектор поляризации.
В СГС вектор электрического смещения определен как:
→D=→E+4π→P (2).Вектор →D не является чисто полевым вектором, так как он учитывает поляризованность среды. Этот вектор связан с объемной плотностью заряда соотношением:
div→D=ρ(3).Из (3) мы видим, что единственным источником →D являются свободные заряды, на которых данный вектор начинается и заканчивается. В точках, где свободные заряды отсутствуют, вектор электрической индукции непрерывен. Изменение напряженности поля, которые вызваны наличием связанных зарядов, учитываются в самом векторе →D.
Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения
Связь вектора напряженности и вектора электрического смещения, если среда изотропна, еще можно записать как:
→D=(ε0→E+ε0ϰ→E)=(ε0+ε0ϰ)→E=εε0→E(4),где ε -- диэлектрическая проницаемость среды.
Использование вектора →D существенно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Так, например теорема Остроградского - Гаусса в интегральном виде при наличии диэлектрика может быть записана как:
∫S→D⋅d→S=Q(5).При переходе через границу раздела двух диэлектриков для нормальной составляющей вектора →D можно записать:
D2n−D1n=σ (6).или
→n2(→D2−→D1)=σ (7),где σ -- поверхностная плотность распределения зарядов на границе диэлектриков. →n2 -- нормаль, которая проведена в сторону второй среды.
Для тангенциальной составляющей:
D2τ=ε2ε1D1τ(8).Единицей измерения в системе СИ вектора электрической индукции служит Клм2.
Поле вектора →D можно изображать с помощью линий электрического смещения. Направление и густота определяются аналогично линиям вектора напряженности. Однако в отличие от вектора →E линии вектора электрической индукции начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.
Задание: Пластины плоского конденсатора имеют заряд q. Как изменится вектор электрической индукции, если пространство между пластинами сначала было заполнено воздухом, а за тем диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε≠εvozd.
Решение:
Пусть поле в конденсаторе в первом случае характеризуется вектором смещения (εvozd=1):
→D1=εvozdε0→E1=ε0→E1(1.1).Заполним пространство между пластинами конденсатора однородным и изотропным диэлектриком. Под действием поля в конденсаторе диэлектрик поляризуется. На его поверхности появляются связанные заряды с плотностью (σsv). Они создают дополнительное поле, напряженность которого равна:
E′=σsvε0(1.2).Векторы поля →E′ и →E1 направлены в противоположные стороны, при чем:
E1=σε0 (1.3).Результирующее поле в присутствии диэлектрика можно записать как:
E=E1−E′=σε0−σsvε0=1ε0(σ−σsv)(1.4).Зная, что плотность связанных зарядов можно найти как:
σsv=ϰε0E (1.5).Подставим (1.5) в (1.4), получим:
E=E1−ϰE (1.6).Выразим из (1.6) напряженность поля E, получим:
E=E11+ϰ=E1ε (1.7).Следовательно, вектор электрической индукции в диэлектрике равен:
D=εε0E1ε=ε0E1=D1.Ответ: Вектор электрической индукции не изменится.
Задание: В зазор между разноименно заряженными пластинами внесли пластину из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε, которая не несет свободных зарядов. Штриховой линией на рисунке изображена замкнутая поверхность (рис.1). Чему равен поток вектора электрической индукции (ФD) через эту поверхность?
Рис. 1
Решение:
Поток вектора электрического смещения (ФD) через замкнутую поверхность S равен:
ФD=∫S→D⋅d→S(2.1).С другой стороны по теореме Остроградского -- Гаусса ФD равен суммарному свободному заряду, который находится внутри заданной поверхности. По условию нашей задачи свободных зарядов в диэлектрике и в пространстве между пластинами конденсатора, которое не занято диэлектриком свободных зарядов нет, следовательно, поток вектора электрической индукции равен нулю.
Ответ: ФD=0.
Задание: На рисунке 2 изображена замкнутая поверхность S которая проходит так, что захватывает часть пластины изотропного диэлектрика. При этом известно, что поток вектора электрической индукции через эту поверхность равен нулю, а поток вектора напряженности больше нуля. Какие выводы можно сделать?
Рис. 2
Решение:
Если по условию задачи, поток вектора электрического смещения (ФD) через замкнутую поверхность равен нулю:
ФD=0(3.1),а он по теореме Остроградского -- Гаусса ФD равен суммарному свободному заряду, который находится внутри заданной поверхности, следовательно, то внутри этой поверхности нет свободных зарядов:
ФD=∫S→D⋅d→S=Q=0(3.2).Но при этом сказано, что отличен от нуля поток вектора напряженности, но его поток равен сумме зарядов и свободных и связанных, следовательно, в диэлектрике присутствуют связанные заряды.
Ответ: Свободных зарядов нет, связанные заряды есть и их сумма положительна.
