Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Связь между зарядом и потенциалом проводника

Рассмотрим систему, которая состоит из некоторого количества (N) заряженных стационарных проводников. Пространство между этими проводящими телами заполняет диэлектрик. Предположим, что в диэлектрике свободных зарядов нет. Нормировку потенциала примем на бесконечность (φ()=0).

Что такое потенциальные коэффициенты

Считаем, что в начале наблюдения заряд всех проводников равен нулю. Зарядим один из проводников (допустим i-й) на 1 Кл. Так мы определим, причем однозначно, электрическое поле во всем пространстве (Ei (r) и зная их связь через градиент φi(r)). Потенциал в месте нахождения проводника с номером j обозначим как: φji.

Определение

Коэффициенты φji зависят исключительно от формы проводников, их местоположения, диэлектрической проницаемости среды между ними (диэлектрика). Такие коэффициенты называют потенциальными коэффициентами.

Так как уравнения электростатики по большей части линейные и однородные, то произвольная комбинация векторов напряженности и электрического смещения (Ei (r), Di (r)) c постоянными коэффициентами qi удовлетворяют уравнениям вида:

E(r)=Ni=1qiEi (r)(1), D(r)=Ni=1qiDi (r)(2).

Потенциал проводника и потенциальные коэффициенты

Электростатические поля потенциальны, следовательно, вектор напряженности так же потенциален. В диэлектрике divD=0. В проводниках E=0.  Выражения D и E могут быть рассмотрены как напряжённость и индукция какого-то электростатического поля. Заряды этого поля не могут находиться внутри диэлектрика, так как divD=0. Необходимо выяснить физический смысл коэффициентов qi, которые ранее мы ввели формально. По теореме Остроградского -- Гаусса заряд на поверхности проводника с номером i равен:

Qi=SiDdS=jqjSiDjdS=qiSiDidS=qi(3).

На основании теоремы о единственности можно сказать, что уравнение (1) определяет электростатическое поле системы N проводников, заряды которых равны q1,q2,qN. Потенциал поля при этом можно вычислить в соответствии с формулой:

φ(r)=Nj=1qjφj(r)(4).

Зададим точку на поверхности проводника номера i с помощью вектора r, найдем потенциал проводника как:

φi=Nj=1qjφij(r)(5).

Решив уравнения (4) и (5) относительно qi, получим, что:

qi=Ni=0Cijφj(6),

где Cij -- постоянные емкостные коэффициенты. Как и потенциальные коэффициенты они определяются только размерами, конфигурацией, расположением проводников и ε среды.

Мы получили, что заряды проводников -- линейные однородные функции их потенциалов, а потенциалы - линейные однородные функции зарядов. В случае однородного диэлектрика Cijε. Для конденсатора количество обкладок -- 2. Тогда:

q1=C11φ1+C12φ2, q2=C21φ1+C22φ2(7),

где q1=q2. Из уравнений (7) емкость конденсатора равна:

C=C11C22C12C21C11+C22+C12+C21(8).

Все потенциальные коэффициенты положительны. Емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами положительны, с разными -- отрицательны. Емкостные и потенциальные коэффициенты симметричны, то есть:

Cij=Cji,(9), φij=φji(10).
«Связь между зарядом и потенциалом проводника» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Пример 1

Задание: Проводник заряжают, поднося к нему несколько раз пластинку, которая каждый раз имеет заряд Q. Предположим, что q1- заряд, который остался на проводнике после того, как его зарядили в первый раз. Найдите заряд проводника после бесконечно большого количества операций по его зарядке.

Решение:

Когда пластинку подносят к проводнику, заряд распределяется между двумя этими телами. Когда пластинку поднесли к проводнику в первый раз, проводник получил заряд q1, на пластинка этот заряд потеряла, следовательно, у нее остался заряд Qq1. В случае многократного повторения операции зарядки при следующих соприкосновениях проводника и пластинки его заряд практически изменяться не будет. Заряд пластинки не изменится так же, он останется равным Q. Искомый заряд можно определить из пропорции:

qQ=q1Qq1(1.1.).

Следовательно,

q=q1QQq1.

Ответ: Заряд проводника равен q=q1QQq1.

Пример 2

Задание: Три одинаковых металлических шарика находятся в вершинах равностороннего треугольника. Проводником (тонкой проволокой), который подключён удаленному заряженному телу, потенциал которого не известен, но постоянен, по очереди касаются каждого шарика. Заряды первых двух после касания стали равны q1  и q2, каким будет заряд на третьем шаре? Считать шарики изолированными.

Решение:

Пример 2

Рис. 1

Так как потенциальные коэффициенты симметричны, то мы можем записать:

φ11=φ22=φ33=A (2.1). φ12=φ21=φ23=B (2.2).

При зарядке первого шарика он получает потенциал равный:

φ1=Aq1 (2.3).

Когда происходит зарядка двух других шаров, потенциал первого шара изменяется, но в нашем случае это не имеет значения. При зарядке второго шара его потенциал будет:

φ1=Aq2+Bq1(2.4).

Для третьего шарика имеем:

φ1=Aq3+B(q1+q2) (2.5).

Следовательно, из (2.2) -- (2.4) получаем:

Aq1 =Aq2+Bq1=Aq3+B(q1+q2) (2.6).

Выразим из (2.6) искомый заряд, получим:

q3=q22q1.

Ответ: q3=q22q1.

Дата последнего обновления статьи: 04.12.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Связь между зарядом и потенциалом проводника"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant