Связь между зарядом и потенциалом проводника

Так как уравнения электростатики по большей части линейные и однородные, то произвольная комбинация векторов напряженности и электрического смещения ($\overrightarrow{E_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right),\ \overrightarrow{D_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)$) c постоянными коэффициентами $q_i$ удовлетворяют уравнениям вида:

$$\overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limits^N_{i=1}{q_i}\overrightarrow{E_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)\left(1\right),$$ $$\overrightarrow{D}\left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limits^N_{i=1}{q_i}\overrightarrow{D_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)\left(2\right).$$

Потенциал проводника и потенциальные коэффициенты

Электростатические поля потенциальны, следовательно, вектор напряженности так же потенциален. В диэлектрике $div\overrightarrow{D}=0.$ В проводниках $\overrightarrow{E}=0.\ $ Выражения $\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{E}$ могут быть рассмотрены как напряжённость и индукция какого-то электростатического поля. Заряды этого поля не могут находиться внутри диэлектрика, так как $div\overrightarrow{D}=0.$ Необходимо выяснить физический смысл коэффициентов $q_i$, которые ранее мы ввели формально. По теореме Остроградского -- Гаусса заряд на поверхности проводника с номером i равен:

$$Q_i=\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}=\sum\limits_j{q_j\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D_j}d\overrightarrow{S}=q_i}}}\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D_i}d\overrightarrow{S}=q_i}\left(3\right).$$

На основании теоремы о единственности можно сказать, что уравнение (1) определяет электростатическое поле системы N проводников, заряды которых равны $q_1,q_2,\dots q_N.$ Потенциал поля при этом можно вычислить в соответствии с формулой:

$$\varphi \left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limits^N_{j=1}{q_j{\varphi }_j\left(\overrightarrow{r}\right)}\left(4\right).$$

Зададим точку на поверхности проводника номера i с помощью вектора $\overrightarrow{r}$, найдем потенциал проводника как:

$${\varphi }_i=\sum\limits^N_{j=1}{q_j{\varphi }_{ij}\left(\overrightarrow{r}\right)}\left(5\right).$$

Решив уравнения (4) и (5) относительно $q_i$, получим, что:

$$q_i=\sum\limits^N_{i=0}{C_{ij}{\varphi }_j\left(6\right),}$$

где $C_{ij}$ -- постоянные емкостные коэффициенты. Как и потенциальные коэффициенты они определяются только размерами, конфигурацией, расположением проводников и $\varepsilon$ среды.

Мы получили, что заряды проводников -- линейные однородные функции их потенциалов, а потенциалы - линейные однородные функции зарядов. В случае однородного диэлектрика $C_{ij}\sim \varepsilon .$ Для конденсатора количество обкладок -- 2. Тогда:

$$q_1=C_{11}{\varphi }_1+C_{12}{\varphi }_2,\ q_2=C_{21}{\varphi }_1+C_{22}{\varphi }_2\left(7\right),$$

где $q_1=-q_2$. Из уравнений (7) емкость конденсатора равна:

$$C=\frac{C_{11}C_{22}-C_{12}C_{21}}{C_{11}+C_{22}+C_{12}+C_{21}}\left(8\right).$$

Все потенциальные коэффициенты положительны. Емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами положительны, с разными -- отрицательны. Емкостные и потенциальные коэффициенты симметричны, то есть:

$$C_{ij}=C_{ji},\left(9\right),$$ $${\varphi }_{ij}={\varphi }_{ji}\left(10\right).$$