Рассмотрим систему, которая состоит из некоторого количества (N) заряженных стационарных проводников. Пространство между этими проводящими телами заполняет диэлектрик. Предположим, что в диэлектрике свободных зарядов нет. Нормировку потенциала примем на бесконечность (φ(∞)=0).
Что такое потенциальные коэффициенты
Считаем, что в начале наблюдения заряд всех проводников равен нулю. Зарядим один из проводников (допустим i-й) на 1 Кл. Так мы определим, причем однозначно, электрическое поле во всем пространстве (→Ei (→r) и зная их связь через градиент φi(→r)). Потенциал в месте нахождения проводника с номером j обозначим как: φji.
Коэффициенты φji зависят исключительно от формы проводников, их местоположения, диэлектрической проницаемости среды между ними (диэлектрика). Такие коэффициенты называют потенциальными коэффициентами.
Так как уравнения электростатики по большей части линейные и однородные, то произвольная комбинация векторов напряженности и электрического смещения (→Ei (→r), →Di (→r)) c постоянными коэффициентами qi удовлетворяют уравнениям вида:
→E(→r)=N∑i=1qi→Ei (→r)(1), →D(→r)=N∑i=1qi→Di (→r)(2).Потенциал проводника и потенциальные коэффициенты
Электростатические поля потенциальны, следовательно, вектор напряженности так же потенциален. В диэлектрике div→D=0. В проводниках →E=0. Выражения →D и →E могут быть рассмотрены как напряжённость и индукция какого-то электростатического поля. Заряды этого поля не могут находиться внутри диэлектрика, так как div→D=0. Необходимо выяснить физический смысл коэффициентов qi, которые ранее мы ввели формально. По теореме Остроградского -- Гаусса заряд на поверхности проводника с номером i равен:
Qi=∮Si→Dd→S=∑jqj∮Si→Djd→S=qi∮Si→Did→S=qi(3).На основании теоремы о единственности можно сказать, что уравнение (1) определяет электростатическое поле системы N проводников, заряды которых равны q1,q2,…qN. Потенциал поля при этом можно вычислить в соответствии с формулой:
φ(→r)=N∑j=1qjφj(→r)(4).Зададим точку на поверхности проводника номера i с помощью вектора →r, найдем потенциал проводника как:
φi=N∑j=1qjφij(→r)(5).Решив уравнения (4) и (5) относительно qi, получим, что:
qi=N∑i=0Cijφj(6),где Cij -- постоянные емкостные коэффициенты. Как и потенциальные коэффициенты они определяются только размерами, конфигурацией, расположением проводников и ε среды.
Мы получили, что заряды проводников -- линейные однородные функции их потенциалов, а потенциалы - линейные однородные функции зарядов. В случае однородного диэлектрика Cij∼ε. Для конденсатора количество обкладок -- 2. Тогда:
q1=C11φ1+C12φ2, q2=C21φ1+C22φ2(7),где q1=−q2. Из уравнений (7) емкость конденсатора равна:
C=C11C22−C12C21C11+C22+C12+C21(8).Все потенциальные коэффициенты положительны. Емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами положительны, с разными -- отрицательны. Емкостные и потенциальные коэффициенты симметричны, то есть:
Cij=Cji,(9), φij=φji(10).Задание: Проводник заряжают, поднося к нему несколько раз пластинку, которая каждый раз имеет заряд Q. Предположим, что q1- заряд, который остался на проводнике после того, как его зарядили в первый раз. Найдите заряд проводника после бесконечно большого количества операций по его зарядке.
Решение:
Когда пластинку подносят к проводнику, заряд распределяется между двумя этими телами. Когда пластинку поднесли к проводнику в первый раз, проводник получил заряд q1, на пластинка этот заряд потеряла, следовательно, у нее остался заряд Q−q1. В случае многократного повторения операции зарядки при следующих соприкосновениях проводника и пластинки его заряд практически изменяться не будет. Заряд пластинки не изменится так же, он останется равным Q. Искомый заряд можно определить из пропорции:
qQ=q1Q−q1(1.1.).Следовательно,
q=q1QQ−q1.Ответ: Заряд проводника равен q=q1QQ−q1.
Задание: Три одинаковых металлических шарика находятся в вершинах равностороннего треугольника. Проводником (тонкой проволокой), который подключён удаленному заряженному телу, потенциал которого не известен, но постоянен, по очереди касаются каждого шарика. Заряды первых двух после касания стали равны q1 и q2, каким будет заряд на третьем шаре? Считать шарики изолированными.
Решение:
Рис. 1
Так как потенциальные коэффициенты симметричны, то мы можем записать:
φ11=φ22=φ33=A (2.1). φ12=φ21=φ23=B (2.2).При зарядке первого шарика он получает потенциал равный:
φ1=Aq1 (2.3).Когда происходит зарядка двух других шаров, потенциал первого шара изменяется, но в нашем случае это не имеет значения. При зарядке второго шара его потенциал будет:
φ1=Aq2+Bq1(2.4).Для третьего шарика имеем:
φ1=Aq3+B(q1+q2) (2.5).Следовательно, из (2.2) -- (2.4) получаем:
Aq1 =Aq2+Bq1=Aq3+B(q1+q2) (2.6).Выразим из (2.6) искомый заряд, получим:
q3=q22q1.Ответ: q3=q22q1.