Рассмотрим систему, которая состоит из некоторого количества (N) заряженных стационарных проводников. Пространство между этими проводящими телами заполняет диэлектрик. Предположим, что в диэлектрике свободных зарядов нет. Нормировку потенциала примем на бесконечность ($\varphi \left(\infty \right)=0$).
Что такое потенциальные коэффициенты
Считаем, что в начале наблюдения заряд всех проводников равен нулю. Зарядим один из проводников (допустим i-й) на 1 Кл. Так мы определим, причем однозначно, электрическое поле во всем пространстве ($\overrightarrow{E_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)\ и\ зная\ их\ связь\ через\ градиент\ {\varphi }_i(\overrightarrow{r})$). Потенциал в месте нахождения проводника с номером j обозначим как: ${\varphi }_{ji}.$
Коэффициенты ${\varphi }_{ji}$ зависят исключительно от формы проводников, их местоположения, диэлектрической проницаемости среды между ними (диэлектрика). Такие коэффициенты называют потенциальными коэффициентами.
Так как уравнения электростатики по большей части линейные и однородные, то произвольная комбинация векторов напряженности и электрического смещения ($\overrightarrow{E_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right),\ \overrightarrow{D_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)$) c постоянными коэффициентами $q_i$ удовлетворяют уравнениям вида:
\[\overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limits^N_{i=1}{q_i}\overrightarrow{E_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)\left(1\right),\] \[\overrightarrow{D}\left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limits^N_{i=1}{q_i}\overrightarrow{D_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)\left(2\right).\]Потенциал проводника и потенциальные коэффициенты
Электростатические поля потенциальны, следовательно, вектор напряженности так же потенциален. В диэлектрике $div\overrightarrow{D}=0.$ В проводниках $\overrightarrow{E}=0.\ $ Выражения $\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{E}$ могут быть рассмотрены как напряжённость и индукция какого-то электростатического поля. Заряды этого поля не могут находиться внутри диэлектрика, так как $div\overrightarrow{D}=0.$ Необходимо выяснить физический смысл коэффициентов $q_i$, которые ранее мы ввели формально. По теореме Остроградского -- Гаусса заряд на поверхности проводника с номером i равен:
\[Q_i=\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}=\sum\limits_j{q_j\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D_j}d\overrightarrow{S}=q_i}}}\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D_i}d\overrightarrow{S}=q_i}\left(3\right).\]На основании теоремы о единственности можно сказать, что уравнение (1) определяет электростатическое поле системы N проводников, заряды которых равны $q_1,q_2,\dots q_N.$ Потенциал поля при этом можно вычислить в соответствии с формулой:
\[\varphi \left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limits^N_{j=1}{q_j{\varphi }_j\left(\overrightarrow{r}\right)}\left(4\right).\]Зададим точку на поверхности проводника номера i с помощью вектора $\overrightarrow{r}$, найдем потенциал проводника как:
\[{\varphi }_i=\sum\limits^N_{j=1}{q_j{\varphi }_{ij}\left(\overrightarrow{r}\right)}\left(5\right).\]Решив уравнения (4) и (5) относительно $q_i$, получим, что:
\[q_i=\sum\limits^N_{i=0}{C_{ij}{\varphi }_j\left(6\right),}\]где $C_{ij}$ -- постоянные емкостные коэффициенты. Как и потенциальные коэффициенты они определяются только размерами, конфигурацией, расположением проводников и $\varepsilon $ среды.
Мы получили, что заряды проводников -- линейные однородные функции их потенциалов, а потенциалы - линейные однородные функции зарядов. В случае однородного диэлектрика $C_{ij}\sim \varepsilon .$ Для конденсатора количество обкладок -- 2. Тогда:
\[q_1=C_{11}{\varphi }_1+C_{12}{\varphi }_2,\ q_2=C_{21}{\varphi }_1+C_{22}{\varphi }_2\left(7\right),\]где $q_1=-q_2$. Из уравнений (7) емкость конденсатора равна:
\[C=\frac{C_{11}C_{22}-C_{12}C_{21}}{C_{11}+C_{22}+C_{12}+C_{21}}\left(8\right).\]Все потенциальные коэффициенты положительны. Емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами положительны, с разными -- отрицательны. Емкостные и потенциальные коэффициенты симметричны, то есть:
\[C_{ij}=C_{ji},\left(9\right),\] \[{\varphi }_{ij}={\varphi }_{ji}\left(10\right).\]Задание: Проводник заряжают, поднося к нему несколько раз пластинку, которая каждый раз имеет заряд $Q$. Предположим, что $q_1$- заряд, который остался на проводнике после того, как его зарядили в первый раз. Найдите заряд проводника после бесконечно большого количества операций по его зарядке.
Решение:
Когда пластинку подносят к проводнику, заряд распределяется между двумя этими телами. Когда пластинку поднесли к проводнику в первый раз, проводник получил заряд $q_1$, на пластинка этот заряд потеряла, следовательно, у нее остался заряд $Q-q_1$. В случае многократного повторения операции зарядки при следующих соприкосновениях проводника и пластинки его заряд практически изменяться не будет. Заряд пластинки не изменится так же, он останется равным Q. Искомый заряд можно определить из пропорции:
\[\frac{q}{Q}=\frac{q_1}{Q-q_1}\left(1.1.\right).\]Следовательно,
\[q=\frac{q_1Q}{Q-q_1}.\]Ответ: Заряд проводника равен $q=\frac{q_1Q}{Q-q_1}.$
Задание: Три одинаковых металлических шарика находятся в вершинах равностороннего треугольника. Проводником (тонкой проволокой), который подключён удаленному заряженному телу, потенциал которого не известен, но постоянен, по очереди касаются каждого шарика. Заряды первых двух после касания стали равны${\ q}_1$ $\ $и $q_2$, каким будет заряд на третьем шаре? Считать шарики изолированными.
Решение:
Рис. 1
Так как потенциальные коэффициенты симметричны, то мы можем записать:
\[{\varphi }_{11}={\varphi }_{22}={\varphi }_{33}=A\ \left(2.1\right).\] \[{\varphi }_{12}={\varphi }_{21}={\varphi }_{23}=B\ \left(2.2\right).\]При зарядке первого шарика он получает потенциал равный:
\[{\varphi }_1=Aq_{1\ }\left(2.3\right).\]Когда происходит зарядка двух других шаров, потенциал первого шара изменяется, но в нашем случае это не имеет значения. При зарядке второго шара его потенциал будет:
\[{\varphi }_1=Aq_2+Bq_1\left(2.4\right).\]Для третьего шарика имеем:
\[{\varphi }_1=Aq_3+B{(q}_1+q_2)\ \left(2.5\right).\]Следовательно, из (2.2) -- (2.4) получаем:
\[Aq_{1\ }=Aq_2+Bq_1=Aq_3+B{(q}_1+q_2)\ \left(2.6\right).\]Выразим из (2.6) искомый заряд, получим:
\[q_3=\frac{q^2_2}{q_1}.\]Ответ: $q_3=\frac{q^2_2}{q_1}.$
