Поле как носитель энергии
В электростатике постоянные поля связаны с порождающими их зарядами. Поля и статичные заряды не могут существовать друг без друга в отличие от изменяющихся во времени полей, которые распространяются в виде электромагнитных волн. В частности, энергия Солнца доставляется на Землю электромагнитными волнами. Следовательно, поле является носителем энергии.
Если поле однородно, заключенная в нем энергия распространяется в пространстве с постоянной плотностью объемной плотностью w, которая равна:
где W - энергия поля, V - объем поля. Если поле имеет напряженность →E, распространяется в среде с проницаемостью ε, тогда плотность энергии поля:
Зная связь напряженности поля и вектора электрического смещения:
формулу (2) можно запасть как:
Потенциальная энергия поля
Так как в изотропном диэлектрике →E↑↑→D совпадают, то формулу (4) можно записать как:
Если заменить вектор электрического смещения на:
где →P -- поляризованность диэлектрика, плотность энергии поля будет записана как:
Слагаемое ε0E22 -- совпадает с энергией электростатического поля в вакууме. Второе слагаемое →E→P2- энергия, которая затрачивается на поляризацию диэлектрика.
Итак, любое поле обладает некоторым количеством потенциальной энергии, которая освобождается при исчезновении этого поля.
Задание: Найдите энергию поля, которое создается между пластинами плоскопараллельного конденсатора, если расстояние между пластинами конденсатора d, площадь обкладок S, заряд на пластинах равен q.
Решение:
Энергия конденсатора равна работе, которую потратили на его зарядку, а именно:
W=A=Fd (1.1),где F -- модуль сила притяжения разноименно заряженных пластин конденсатора, d - расстояние между пластинами. Следовательно, для нахождения энергии конденсатора, необходимо найти силу F. Силы найдем через напряженность электростатического поля, которое создается внутри конденсатора. Пол создается положительной и отрицательной обкладками конденсатора, то есть имеет две составляющие, направленные в одну сторону и равные по модулю, следовательно, результирующее поле равно:
E=E1+E2, E1=E2=E2 (1.2).Сила взаимодействия пластин равна:
F=E1q=E2q=qE2 (1.3),где q -- величина заряда на каждой из пластин конденсатора.
Так мы получаем, что энергия поля плоского конденсатора равна:
W=A=Fd=qE2d (1.4).Если расстояние между пластинами в конденсаторе мало, в сравнении с размерами самих пластин, поле в конденсаторе можно считать однородным, и напряженность его равна:
E=Ud(1.5),где U -- разность потенциалов между пластинами.
С другой стороны разность потенциалов между пластинами конденсатора можно выразить как:
U=qC (1.6),где C - емкость конденсатора.
Если между пластинами вакуум, то емкость плоского конденсатора можно найти как:
C=ε0Sd(1.7),где S -- площадь пластин конденсатора. Следовательно, используя формулы (1.5) -- (1.7), получим:
E=qε0S(1.8).Подставляем (1.8) в (1.4), окончательно получаем:
W=q22ε0Sd (1.9).Ответ: Энергия поля плоского конденсатора равна W=q22ε0Sd.
Задание: Вычислите энергию поля проводника в виде шара, если известен его заряд (q) и радиус (R), шар находится в вакууме.
Решение:
В качестве основы для решения возьмем формулу для плотности энергии поля:
w=ε0E22 (2.1).Если мы знаем w в каждой точке, энергию, заключенную в объеме шара V Используя (2.1) найдем как:
W=∫VwdV=∫Vε0E22dV (2.2).Напряженность поля, которое создает проводящий шар радиуса R равна:
E=14πε0qr2(2.3).Разобьем пространство, которое окружает шар на шаровые слои толщины dr, с общим центром объем такого соя будет равен:
dV=4πr2dr (2.4).Энергия слоя dV равна, используем формулы (2.1), (2.3), (2.4), получаем:
dW=wdV=ε02(14πε0qr2)24πr2dr=12⋅q2dr4πε0r2 (2.5).Для того, чтобы найти полную энергию поля остается только вязать интеграл от dW где R≤r ≤∞:
W=∞∫R12⋅q2dr4πε0r2=18q2πε0∞∫Rdrr2=18q2πε0⋅1R.Ответ: W=18q2πε0⋅1R.