Поле как носитель энергии
В электростатике постоянные поля связаны с порождающими их зарядами. Поля и статичные заряды не могут существовать друг без друга в отличие от изменяющихся во времени полей, которые распространяются в виде электромагнитных волн. В частности, энергия Солнца доставляется на Землю электромагнитными волнами. Следовательно, поле является носителем энергии.
Если поле однородно, заключенная в нем энергия распространяется в пространстве с постоянной плотностью объемной плотностью $w$, которая равна:
где $W$ - энергия поля, $V$ - объем поля. Если поле имеет напряженность $\overrightarrow{E}$, распространяется в среде с проницаемостью $\varepsilon $, тогда плотность энергии поля:
Зная связь напряженности поля и вектора электрического смещения:
формулу (2) можно запасть как:
Потенциальная энергия поля
Так как в изотропном диэлектрике $\overrightarrow{E}\uparrow \uparrow \overrightarrow{D}$ совпадают, то формулу (4) можно записать как:
Если заменить вектор электрического смещения на:
где $\overrightarrow{P}$ -- поляризованность диэлектрика, плотность энергии поля будет записана как:
Слагаемое $\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ -- совпадает с энергией электростатического поля в вакууме. Второе слагаемое $\frac{\overrightarrow{E}\overrightarrow{P}}{2}$- энергия, которая затрачивается на поляризацию диэлектрика.
Итак, любое поле обладает некоторым количеством потенциальной энергии, которая освобождается при исчезновении этого поля.
Задание: Найдите энергию поля, которое создается между пластинами плоскопараллельного конденсатора, если расстояние между пластинами конденсатора $d$, площадь обкладок $S$, заряд на пластинах равен $q$.
Решение:
Энергия конденсатора равна работе, которую потратили на его зарядку, а именно:
\[W=A=Fd\ \left(1.1\right),\]где $F$ -- модуль сила притяжения разноименно заряженных пластин конденсатора, $d$ - расстояние между пластинами. Следовательно, для нахождения энергии конденсатора, необходимо найти силу $F$. Силы найдем через напряженность электростатического поля, которое создается внутри конденсатора. Пол создается положительной и отрицательной обкладками конденсатора, то есть имеет две составляющие, направленные в одну сторону и равные по модулю, следовательно, результирующее поле равно:
\[E=E_1+E_2,\ E_1=E_2=\frac{E}{2}\ \left(1.2\right).\]Сила взаимодействия пластин равна:
\[F=E_1q=E_2q=q\frac{E}{2}\ \left(1.3\right),\]где $q$ -- величина заряда на каждой из пластин конденсатора.
Так мы получаем, что энергия поля плоского конденсатора равна:
\[W=A=Fd=q\frac{E}{2}d\ \left(1.4\right).\]Если расстояние между пластинами в конденсаторе мало, в сравнении с размерами самих пластин, поле в конденсаторе можно считать однородным, и напряженность его равна:
\[E=\frac{U}{d}\left(1.5\right),\]где $U$ -- разность потенциалов между пластинами.
С другой стороны разность потенциалов между пластинами конденсатора можно выразить как:
\[U=\frac{q}{C}\ \left(1.6\right),\]где $C$ - емкость конденсатора.
Если между пластинами вакуум, то емкость плоского конденсатора можно найти как:
\[C=\frac{{\varepsilon }_0S}{d}\left(1.7\right),\]где $S$ -- площадь пластин конденсатора. Следовательно, используя формулы (1.5) -- (1.7), получим:
\[E=\frac{q}{{\varepsilon }_0S}\left(1.8\right).\]Подставляем (1.8) в (1.4), окончательно получаем:
\[W=\frac{q^2}{{2\varepsilon }_0S}d\ \left(1.9\right).\]Ответ: Энергия поля плоского конденсатора равна $W=\frac{q^2}{{2\varepsilon }_0S}d.$
Задание: Вычислите энергию поля проводника в виде шара, если известен его заряд (q) и радиус (R), шар находится в вакууме.
Решение:
В качестве основы для решения возьмем формулу для плотности энергии поля:
\[w=\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\ \left(2.1\right).\]Если мы знаем w в каждой точке, энергию, заключенную в объеме шара V Используя (2.1) найдем как:
\[W=\int\limits_V{wdV=\int\limits_V{\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}}}dV\ \left(2.2\right).\]Напряженность поля, которое создает проводящий шар радиуса $R$ равна:
\[E=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{q}{r^2}\left(2.3\right).\]Разобьем пространство, которое окружает шар на шаровые слои толщины dr, с общим центром объем такого соя будет равен:
\[dV=4\pi r^2dr\ \left(2.4\right).\]Энергия слоя dV равна, используем формулы (2.1), (2.3), (2.4), получаем:
\[dW=wdV=\frac{{\varepsilon }_0}{2}{\left(\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_0}\frac{q}{r^2}\right)}^24\pi r^2dr=\frac{1}{2}\cdot \frac{q^2dr}{4\pi {\varepsilon }_0r^2}\ \left(2.5\right).\]Для того, чтобы найти полную энергию поля остается только вязать интеграл от $dW\ где\ R\le r\ \le \infty$:
\[W=\int\limits^{\infty }_R{\frac{1}{2}\cdot \frac{q^2dr}{4\pi {\varepsilon }_0r^2}}=\frac{1}{8}\frac{q^2}{\pi {\varepsilon }_0}\int\limits^{\infty }_R{\frac{dr}{r^2}}=\frac{1}{8}\frac{q^2}{\pi {\varepsilon }_0}\cdot \frac{1}{R}.\]Ответ: $W=\frac{1}{8}\frac{q^2}{\pi {\varepsilon }_0}\cdot \frac{1}{R}$.
