Опыты показали, что для большого класса диэлектриков и широкого круга явлений связь между векторами поляризации (→P) и напряженности (→E) линейна и однородна, то есть:
где ϰ -- диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина), уравнение записано в системе СИ.
Такая связь между векторами →P и →E объясняется тем, что напряженности макроскопических полей невелики в сравнении с напряженностями внутри молекул и атомов. Уравнение выполняется, если диэлектрик изотропен. В таком случае векторы напряженности и поляризуемости коллинеарные. Коэффициент ϰ−зависит от плотности диэлектрика и температуры.
Направление вектора в анизотропных диэлектриках
В анизотропных диэлектриках направление вектора напряженности и вектора поляризации не совпадают. И их связь устанавливается в виде:
Pi=ε0∑jϰijEj(2),где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат (i=x, y,z;j=x, y,z), ϰij -- тензор диэлектрической восприимчивости.
Формула зависимости поляризации от напряжённости
Зависимость →P(→E) в общем случае представлена в виде:
Pi=ε0∑jϰijEj+ε0∑j,kϰijkEjEk+…,(3).Формула (3) показывает, что поляризованность зависит не только от первой степени напряженности электрического поля, но и от ее высших степеней. Если зависимость в (3) от высших степеней играет существенную роль, то диэлектрик нелинейный. Подобная нелинейность проявляется в сильных полях, также существуют некоторые специальные вещества. Если нелинейность не существенна, то используют формулы вида (1).
Мы помним, что связь вектора напряженности и вектора электрического смещения, если среда изотропна, еще можно записать как:
→D=εε0→E(4),где ε -- диэлектрическая проницаемость среды. А по определению, вектор →D равен:
→D=ε0→E+→P(5).Подставим в (5) вместо вектора →D, правую часть выражения (4), вместо вектора →P правую часть выражения (1), будем иметь:
εε0→E=ε0→E+ϰε0→E(6).Тогда диэлектрическая проницаемость среды связана с диэлектрической восприимчивостью в системе СИ соотношением:
ε=1+ϰ (7).В СГС это соотношение (7) будет иметь вид:
ε=1+4πϰ(8).Величиной ε характеризуют индивидуальные свойства диэлектриков. Для вакуума ϰ=0, ε=1.
В анизотропных диэлектриках
Di=ε0∑jεijEj(9),где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат (i=x, y,z;j=x, y,z), εij -- тензор диэлектрической проницаемости вещества.
В таком случае связь тензоров проницаемости и восприимчивости имеет вид:
εij=δij+ϰij(10),где δij− единичный тензор, который равен:
{δij=1 при i=j,δij=0 при i≠j.Тензоры диэлектрической восприимчивости и диэлектрической проницаемости симметричные, это значит, что:
εij=εji,Задание: На пластины плоского конденсатора подали напряжение равное U1. Если отключить источник напряжения и вынуть диэлектрик из конденсатора, то разность потенциалов на пластинах конденсатора станет равной U2. Какова диэлектрическая восприимчивость диэлектрика?
Решение:
Если конденсатор зарядить, а потом отключить от источника напряжения, то можно считать, что при проводимых в задаче манипуляциях заряд остается неизменным (q=const).
Напряженность поля в конденсаторе без диэлектрика равна E2:
E2=U2d(1.1).Напряженность поля плоского конденсатора E2 равна:
E2=qSε0→qSε0=U2d (1.2).Выразим заряд пластин конденсатора из (1.2), получим:
q=U2Sε0d (1.3).Для того же конденсатора но с диэлектриком напряженность поля в конденсаторе E1 равна:
E1=qSεε0=U1d(1.4)Подставим в (1.4) выражение для заряда из (1.3), получим:
U2Sε0Sεε0d=U1d (1.5)следовательно, связь между разностями потенциалов запишем как:
U2=εU1(1.6),где ε -- диэлектрическая проницаемость диэлектрика в конденсаторе, до тех пор, пока его не извлекли. Следовательно, можно найти ε:
ε=U2U1(1.7).Так как диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость для изотропного диэлектрика связаны соотношением:
ε−1=ϰ (1.8).То получим для ϰ следующее выражение:
ϰ=U2U1−1.Ответ: ϰ=U2U1−1.
Задание: Шар из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической восприимчивостью ϰ содержит в своем центре точечный заряд q. Найдите вектор поляризованности как функцию →P (r), где →r -- радиус -- вектор относительно центра шара.
Решение:
Основой для решения, зная, что имеем дело с изотропным диэлектриком можно взять формулу:
→P=ϰε0→E(2.1).Поле, которое создает точечный заряд в диэлектрике, имеет выражение:
→E=q4πεε0r3→r(2.2).Подставим (2.2) в (2.1), получим:
→P=ϰε0q4πεε0r3→r=ϰq4πεr3→r(2.3).Мы знаем, что диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость для изотропного диэлектрика связаны в системе СИ как:
ε=1+ϰ (2.4).Подставим (2.4) в (2.3), окончательно имеем:
→P=qϰ4π(1+ϰ )r3→r.Ответ: →P=qϰ4π(1+ϰ )r3→r.