Опыты показали, что для большого класса диэлектриков и широкого круга явлений связь между векторами поляризации ($\overrightarrow{P}$) и напряженности ($\overrightarrow{E}$) линейна и однородна, то есть:
где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина), уравнение записано в системе СИ.
Такая связь между векторами $\overrightarrow{P}$ и $\overrightarrow{E}$ объясняется тем, что напряженности макроскопических полей невелики в сравнении с напряженностями внутри молекул и атомов. Уравнение выполняется, если диэлектрик изотропен. В таком случае векторы напряженности и поляризуемости коллинеарные. Коэффициент $\varkappa -$зависит от плотности диэлектрика и температуры.
Направление вектора в анизотропных диэлектриках
В анизотропных диэлектриках направление вектора напряженности и вектора поляризации не совпадают. И их связь устанавливается в виде:
\[P_i={\varepsilon }_0\sum\limits_j{{\varkappa }_{ij}E_j\left(2\right),}\]где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат ($i=x,\ y,z;j=x,\ y,z $), ${\varkappa }_{ij}$ -- тензор диэлектрической восприимчивости.
Формула зависимости поляризации от напряжённости
Зависимость $\overrightarrow{P}(\overrightarrow{E})$ в общем случае представлена в виде:
\[P_i={\varepsilon }_0\sum\limits_j{{\varkappa }_{ij}E_j+{\varepsilon }_0\sum\limits_{j,k}{{\varkappa }_{ijk}E_jE_k+\dots ,}\left(3\right).}\]Формула (3) показывает, что поляризованность зависит не только от первой степени напряженности электрического поля, но и от ее высших степеней. Если зависимость в (3) от высших степеней играет существенную роль, то диэлектрик нелинейный. Подобная нелинейность проявляется в сильных полях, также существуют некоторые специальные вещества. Если нелинейность не существенна, то используют формулы вида (1).
Мы помним, что связь вектора напряженности и вектора электрического смещения, если среда изотропна, еще можно записать как:
\[\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\left(4\right),\]где $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды. А по определению, вектор $\overrightarrow{D}\ $ равен:
\[\overrightarrow{D}={\varepsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\left(5\right).\]Подставим в (5) вместо вектора $\overrightarrow{D},$ правую часть выражения (4), вместо вектора $\overrightarrow{P}$ правую часть выражения (1), будем иметь:
\[\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}={\varepsilon }_0\overrightarrow{E}+\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\left(6\right).\]Тогда диэлектрическая проницаемость среды связана с диэлектрической восприимчивостью в системе СИ соотношением:
\[\varepsilon =1+\varkappa \ \left(7\right).\]В СГС это соотношение (7) будет иметь вид:
\[\varepsilon =1+4\pi \varkappa \left(8\right).\]Величиной $\varepsilon $ характеризуют индивидуальные свойства диэлектриков. Для вакуума $\varkappa =0$, $\varepsilon $=1.
В анизотропных диэлектриках
\[D_i={\varepsilon }_0\sum\limits_j{{\varepsilon }_{ij}E_j\left(9\right),}\]где индексы i,j -- нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат ($i=x,\ y,z ;j=x,\ y,z$), ${\varepsilon }_{ij}$ -- тензор диэлектрической проницаемости вещества.
В таком случае связь тензоров проницаемости и восприимчивости имеет вид:
\[{\varepsilon }_{ij}={\delta }_{ij}+\varkappa_{ij}\left(10\right),\]где ${\delta }_{ij}-\ $единичный тензор, который равен:
\[\left\{ \begin{array}{c} {\delta }_{ij}=1\ при\ i=j, \\ {\delta }_{ij}=0\ при\ i\ne j. \end{array} \right.\]Тензоры диэлектрической восприимчивости и диэлектрической проницаемости симметричные, это значит, что:
\[{\varepsilon }_{ij}=\varepsilon_{ji},\] \[{\varkappa }_{ij}=\varkappa_{ji}\left(11\right).\]Задание: На пластины плоского конденсатора подали напряжение равное $U_1$. Если отключить источник напряжения и вынуть диэлектрик из конденсатора, то разность потенциалов на пластинах конденсатора станет равной $U_2$. Какова диэлектрическая восприимчивость диэлектрика?
Решение:
Если конденсатор зарядить, а потом отключить от источника напряжения, то можно считать, что при проводимых в задаче манипуляциях заряд остается неизменным $(q=const)$.
Напряженность поля в конденсаторе без диэлектрика равна $E_2$:
\[E_2=\frac{U_2}{d}\left(1.1\right).\]Напряженность поля плоского конденсатора $E_2\ $ равна:
\[E_2=\frac{q}{S{\varepsilon }_0}\to \frac{q}{S{\varepsilon }_0}=\frac{U_2}{d}\ \left(1.2\right).\]Выразим заряд пластин конденсатора из (1.2), получим:
\[q=\frac{U_2S{\varepsilon }_0}{d}\ \left(1.3\right).\]Для того же конденсатора но с диэлектриком напряженность поля в конденсаторе $E_1\ $равна:
\[E_1=\frac{q}{S{\varepsilon \varepsilon }_0}=\frac{U_1}{d}(1.4)\]Подставим в (1.4) выражение для заряда из (1.3), получим:
\[\frac{U_2S{\varepsilon }_0}{S{\varepsilon \varepsilon }_0d}=\frac{U_1}{d}\ (1.5)\]следовательно, связь между разностями потенциалов запишем как:
\[U_2=\varepsilon U_1\left(1.6\right),\]где $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость диэлектрика в конденсаторе, до тех пор, пока его не извлекли. Следовательно, можно найти $\varepsilon $:
\[\varepsilon =\frac{U_2}{U_1}\left(1.7\right).\]Так как диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость для изотропного диэлектрика связаны соотношением:
\[\varepsilon -1=\varkappa \ \left(1.8\right).\]То получим для $\varkappa $ следующее выражение:
\[\varkappa =\frac{U_2}{U_1}-1.\]Ответ: $\varkappa =\frac{U_2}{U_1}-1.$
Задание: Шар из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической восприимчивостью $\varkappa$ содержит в своем центре точечный заряд q. Найдите вектор поляризованности как функцию $\overrightarrow{P}\ (r),$ где $\overrightarrow{r}$ -- радиус -- вектор относительно центра шара.
Решение:
Основой для решения, зная, что имеем дело с изотропным диэлектриком можно взять формулу:
\[\overrightarrow{P}=\varkappa {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}\left(2.1\right).\]Поле, которое создает точечный заряд в диэлектрике, имеет выражение:
\[\overrightarrow{E}=\frac{q}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0r^3}\overrightarrow{r}\left(2.2\right).\]Подставим (2.2) в (2.1), получим:
\[\overrightarrow{P}=\varkappa {\varepsilon }_0\frac{q}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0r^3}\overrightarrow{r}=\varkappa \frac{q}{4\pi \varepsilon r^3}\overrightarrow{r}\left(2.3\right).\]Мы знаем, что диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость для изотропного диэлектрика связаны в системе СИ как:
\[\varepsilon =1+\varkappa \ \left(2.4\right).\]Подставим (2.4) в (2.3), окончательно имеем:
\[\overrightarrow{P}=\frac{q\varkappa }{4\pi (1+\varkappa \ )r^3}\overrightarrow{r}.\]Ответ: $\overrightarrow{P}=\frac{q\varkappa }{4\pi (1+\varkappa \ )r^3}\overrightarrow{r}.$
