Допустим, что система состоит из двух контуров, в которых текут токи. Для того чтобы найти энергию магнитного поля этих контуров. необходимо учитывать, что Ei (ЭДС) в каждом из контуров появляется не только за счет изменения потока индукции магнитного поля, которое создается током этого контура, но и за счет изменения потока индукции магнитного поля, которое порождается током в соседнем контуре. Допустим, что: I1 и I2 - силы токов в соответствующих контурах, потоки магнитной индукции через первый контур Φ11 и Φ12 создаются, соответственно, первым и вторым токами. Для второго контура потоки магнитной индукции обозначим как Φ21 и Φ22. В таком случае полный магнитный поток, который охватывает первый контур (Φ1) равен:
суммарный поток через контур (2) равен:
Если L11 - индуктивность первого контура, L22 - индуктивность второго контура, то можно записать, что:
Поток Φ12, который пересекает контур (1), создаваемый током во втором контуре равен:
где L12- постоянная, взаимная индуктивность первого и второго контуров. Для второго контура имеем:
Преобразуем формулы (1) и (2) используя выражения для Φ11,Φ12,Φ21,Φ22 получим:
Исходя из выражений (6) и (7), ЭДС индукции в первом контуре равна:
ЭДС во втором контуре:
Вся работа, которую совершают источники сторонних ЭДС за время dt может быть представлена выражением:
Далее примем, что:
это будет доказано в примере 2.
Используя равенство (11) имеем:
Следовательно, выражение (10) запишем как:
Проинтегрируем выражение (12), учтем, что сила тока изменяется в контурах от нуля до I1 и I2 соответственно и вся работа идет на магнитную энергию, получим:
Так, мы получили формулу (13), определяющую магнитную энергию, для поля двух контуров с токами.
Обобщим формулу (13) на случай с N контурами:
Рисунок 1.
при i=k коэффициент Lik называется индуктивностью контура I, при i≠k, этот же коэффициент называют взаимной индуктивностью I-го и k-го контуров. Эти коэффициенты определяются формулами при i≠k:
где d→li,d→lk - элементы длины контуров I-го и k-го. rik−расстояние между ними. При этом Lik=Lki.
Задание: Вычислите энергию магнитного поля системы из N=100 витков с током, которые намотаны на железный сердечник в виде кольца в один слой. Учесть, что при силе тока I=2A магнитный поток в железе равен Φ=10−4Вб.
Решение:
В качестве основы для решения используем формулу для вычисления магнитной энергии поля, которое создается витками с током. Для случая, который описан в задаче она примет вид:
Wm=LI22(1.1).\Psi (потокосцепление), через N витков равно:
Ψ=NΦ и Ψ=LI (1.2),где Φ - поток магнитной индукции через один виток.
Выразим коэффициент индукции из уравнений (1.2), получим:
L=NΦI(1.3).Подставим L из (1.3) в уравнение (1.1), получим:
Wm=NΦII22=NΦI2.Все данные в условиях задачи представлены в системе СИ, следовательно, можно провести вычисление магнитной энергии:
Wm=100⋅2⋅10−42=10−2(Дж).Ответ: Wm=10−2Дж.
Задание: Требуется показать, что взаимные индуктивности системы двух контуров с токами равны, то есть L21=L12.
Решение:
Для этого найдем Φ21и Φ12:
Φ21=∫S2→B1d→S2, Φ12=∫S1→B2d→S1 (2.1),где →B1, →B2 - индукции полей, которые созданы токами I1 и I2. S1 и S2- поверхности интегрирования, которые натянуты на рассматриваемые контуры. Индукция магнитного поля в каждой точке находится суммированием: →B1+→B2. Если →A1, →A2 - векторные потенциалы, соответствующих магнитных полей, то получим:
→B1=rot →A1, →B2=rot →A2, (2.2).Тогда выражения (2.1) перепишем в виде:
Φ21=∫S2rot →A1d→S2=∮L2→A1d→l2, Φ12=∫S1rot →A2d→S1=∮L1→A2d→l1(2.3),где L1, L2 - контуры с токами. d→l2, d→l1 - элементы контуров с токами. Интегральные преобразования выполнены в соответствии с формулой Стокса. Векторный потенциал, для тока можно записать как:
→A1=μ04πI1∮L1d→l1r, →A2=μ04πI2∮L2d→l2r(2.4).Подставим выражения для векторных потенциалов (2.4) в (2.3), получим:
Φ21=μ04πI1∮L2∮L1d→l1⋅d→l2r21,Φ12=μ04πI2∮L1∮L2d→l2⋅d→l1r12(2.5),где r21=r12 - расстояния между элементами d→l1и d→l2. Сравниваем формулу (2.5) с выражениями (4) и (5), получаем:
L12=μ04π∮L1∮L2d→l2⋅d→l1r12, L21=μ04π∮L2∮L1d→l1⋅d→l2r21(2.6).Формула (2.6) показывает, что взаимная индуктивность контуров зависит только от их геометрических характеристик и взаиморасположения. Так как d→l1и d→l2 - независимые переменные интегрирования можно изменить порядок интегрирования. Используя то, что r21=r12, d→l2⋅d→l1=d→l1⋅d→l2, получаем, что:
L12=L21(2.7).Что и требовалось доказать.
