Электрический ток имеет запас энергии, которую называют магнитной. Если при вычислении этой энергии считать все провода идеально проводящими, то это не скажется на общности результата, так как магнитная энергия зависит только от величины, распределения токов и магнитных свойств среды, которая заполняет пространство.
Рассмотрим одиночный неподвижный замкнутый контур (виток проводника). Пусть в начальный момент времени сила тока равна нулю. Пусть ток в витке (не важно каким способом) доводится до $I$. Если растет ток в контуре, следовательно, увеличивается магнитный поток $(Ф)$ через контур. Возникает ЭДС индукции. Элементарная работа, выполняемая внешним источником против электродвижущей силы индукции, будет равна:
используем закон Фарадея:
получим:
Уравнение (3) носит общий характер. Однако, если среда не обладает гистерезисом, то есть является пара или диамагнетиком, то ${\delta A}_{vnesh}\ $будет использоваться только на увеличение магнитной энергии ($W_m$), следовательно:
Индукция магнитного поля тока по закону Био - Савара - Лапласа линейно зависит от силы тока. При переменной силе тока, который течет по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий остается прежней, а индукция в любой точке растет пропорционально силе тока. Следовательно, поток магнитной индукции $(Ф)$ через фиксированную неподвижную площадь также пропорционален силе тока, поэтому:
где $L$ -индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, независящий от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим (5) в (4), получим:
Из формулы (6) следует:
Формула (7) определяет энергию магнитного поля, которое создается током $(I)$, который течет по контуру с индуктивностью $L$.
Формулу (7) можно записать в другом виде:
Для справедливости формул (7) и (8) несущественно, что виток во время нарастания тока является неподвижным, так как энергия зависит только от состояния системы, а не от способа достижения этого состояния.
Задание: Сила тока в витке равна $I=1 А$. Магнитный поток $Ф$ через площадь витка составляет $100 мкВб$. Вычислите энергию магнитного поля в витке.
Решение:
За основу решения задачи примем формулу:
\[W_m=\frac{1}{2}IФ\ \left(1.1\right).\]Переведем величину магнитного поток заданного в условиях задачи в систему СИ:
\[100\ мкВб={10}^{-4}Вб.\]Проведем вычисления:
\[W_m=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot {10}^{-4}=5\cdot {10}^{-3}\left(Дж\right).\]Ответ: $W_m=5\cdot {10}^{-3}Дж.$
Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому течет ток $I=1А$. Другой соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре (1) через гальванометр проходит заряд ${q=10}^{-8}Кл.$ Полное сопротивление цепи равно $R=5 Ом$. Чему равна взаимная индуктивность витков.
Решение:
Магнитная энергия ($W_m$) витка с током может быть записана как:
\[W_m=\frac{LI^2}{2}\left(2.1\right).\]С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как:
\[W'_m=\frac{qU}{2}\left(2.2\right).\]Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что:
\[W'_m=W_m\left(2.3\right).\]Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений (2.1) и (2.2), получим:
\[\frac{LI^2}{2}=\frac{qU}{2}\ \to LI^2=qU\left(2.4\right).\]Из уравнения (2.4) выразим индуктивность:
\[L=\frac{qU}{I^2}\left(2.5\right).\]По закону Ома для участка цепи имеем:
\[U=IR\ \left(2.6\right).\]Следовательно:
\[L=\frac{qR}{I}.\]Эту задачу можно решить другим способом. Обозначим через ${{\mathcal E}}_2$ ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре:
\[{{\mathcal E}}_2=-L\frac{dI}{dt}\left(2.7\right).\]ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом:
\[{{\mathcal E}}_2=I_2R\ \left(2.8\right),\]где силу тока найдем как:
\[I_2=\frac{dq}{dt}\left(2.9\right),\]тогда выражение (2.8) преобразуется к виду:
\[{{\mathcal E}}_2=\frac{dq}{dt}R\ \left(2.10\right).\]Приравняем правые части выражений (2.7) и (2.10), получим:
\[-L\frac{dI}{dt}=\frac{dq}{dt}R\to -LdI=Rdq\ \left(2.11\right).\]Проведем интегрирование выражения (2.11), учитывая, что ток в первом контуре изменяется от $I$ до нуля, а заряд во втором от нуля до $q$, получим:
\[-L\int\limits^0_I{dI}=R\int\limits^q_0{dq}\to LI=Rq\to L=\frac{Rq}{I}.\]Этот метод дает точно такой же результат.
Так как все величины в условиях задачи приведены в системе СИ, проведем вычисления:
\[L=\frac{{10}^{-8}\cdot 5}{1}=5\cdot {10}^{-8}(Гн).\]Ответ: $L=50нГн$.
