Основные формулы электромагнетизма

В настоящее время считают, что в основе разнообразных природных явлений находятся четыре фундаментальных типа взаимодействия: – это взаимодействие между элементарными частицами:

• сильное взаимодействие;
• слабое взаимодействие;
• гравитационное взаимодействие;
• электромагнитное взаимодействие.

Каждый вид взаимодействия связан с определенной характеристикой частицы. Так, гравитационное взаимодействие определено массой частицы; электромагнитное зависит от величины и знака электрического заряда.

Электрический заряд частицы - это основная и первичная ее характеристика. Заряд обладает следующими фундаментальными свойствами:

1. Он существует в двух ипостасях: положительный заряд и отрицательный заряд.
2. Если система зарядов изолирована, то алгебраическая сумма их постоянна.
3. Электрический заряд релятивистски инвариантен, что означает независимости его величины от системы отсчета (не зависит от состояния движения или покоя).

Взаимодействие между зарядами осуществляется посредством электрических полей. Электрические токи взаимодействуют при помощи магнитных полей.

Основные законы электростатики

Приведем лишь самые главные законы электростатики:

• Закон Кулона.
• Принцип суперпозиции.
• Теорему Гаусса.

Каждый электрический заряд $q$ определенным образом изменяет свойства пространства, которое его окружает, то есть создает электрическое поле. Данное поле можно обнаружить, если в него поместить «пробный заряд», который будет испытывать действие силы, которая равна:

$\vec F=q’\vec E$ (1),

где $\vec E$ - вектор напряженности электрического поля в точке расположения пробного заряда в исследуемом электрическом поле.

Эмпирически Кулоном установлено, что поле точечного заряда в вакууме равно:

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}\vec{e}_{r}\left( 2\right)$,

где $ \epsilon_0=8,85\bullet 10^{-12}$ Ф/м – электрическая постоянная; $\vec e_{r}$ - орт радиус- вектора $\vec r$, который проводят из центра поля к токе в которой расположен заряд $q$.

Направление вектора напряженности зависит от знака заряда. Положительные заряды являются источниками поля, отрицательные заряды – стоки поля. Выражение (2) – это запись закона Кулона в полевой форме.

Следующим важным законом электростатики служит принцип суперпозиции. Он тоже получен эмпирически. Смысл его в том, что напряженность поля совокупности стационарных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных отдельными зарядами:

$\vec{E}=\sum\limits_i {\vec{E}_{i}=} \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\sum\limits_i {\frac{q_{i}}{r_{i}^{2}}\vec{e}_{ri}\left( 3 \right),} $

где $r_i$ - расстояние между зарядом $q_i$ и рассматриваемой точкой поля.

Принцип суперпозиции дает возможность вычислить напряженности полей любой конфигурации зарядов, представляя ее как систему точечных зарядов, со вкладом, который описывает закон Кулона.

Для задач расчета полей с плоской и сферической симметрией часто применяют теорем Гаусса, которая говорит о том, что:

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов ($Q$), которые находятся внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ($\epsilon_0$):

$Ф=\oint {\vec{E}d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\left( 4 \right).} $

Основные законы магнитостатики

К основным законам постоянного магнитного поля отнесем:

• закон Ампера;
• закон Био-Савара-Лапласа.

Датский физик Г. Эрстед обнаружил, что магнитная стрелка, при нахождении рядом с проводом с током может поворачиваться. Данное открытие стало основанием для вывода о связи магнитных и электрических явлений. Основным в открытии Эрстеда было то, что магнит реагировал на перемещающийся электрический заряд. Появилось понимание того, что магнитное поле создается перемещающимся зарядом.

Проводя анализ экспериментов Эрстеда, А. Ампер выдвинул гипотезу о том, что земной магнетизм порождается токами, которые обтекают нашу планету в направлении с запада на восток.

Вывод был сделан следующий:

Магнитные свойства каждого тела определены замкнутыми электрическими токами в нем.

Ампер установил, что два проводника с токами взаимодействуют. Если токи в параллельных проводниках однонаправленные, то эти проводники притягиваются.

Сила взаимодействия пары контуров с током зависит от силы тока в каждом контуре и уменьшается при увеличении расстояния между рассматриваемыми контурами:

$d\vec{F}_{12}=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\frac{I_{1}I_{2}(d\vec{l}_{2}\times(d\vec{l}_{1}\times \vec{r}_{12})}{r_{12}^{3}}\left( 5 \right)$,

где $\mu_0=4\pi\bullet 10^{-7}$ Н/$A^2$ - магнитная постоянная; $d\vec F_{12}$ – сила, с которой первый элемент с током действует на второй. Выражение (5) содержит двойное векторное произведение; $I_1; I_2$ - силы токов, которые текут в проводниках; $I_1d\vec l_1$; $I_2d\vec l_2$ - элементы токов.

Проводники с током воздействуют друг на друга, посредством магнитных полей, которые их окружают.

Введем векторную величину $\vec B$, которая будет характеристикой магнитного поля. Для этого параметра поля был установлен экспериментально закон, который получил название по именам его первооткрывателей, закон Био – Савара- Лапласа:

$dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi }\frac{Idl}{r^{2}}\sin {\alpha \, \left( 6\right),}$

где $Idl$ - элемент с током, который создает магнитное поле; $r$ - расстояние до точки в которой поле рассматривается поле; $\alpha$ - угол между векторами $d\vec l$ и $\vec r$.

Полученный вектор индукции нормален к векторам $d\vec l$ и $\vec r$, его направление определяют при помощи правила буравчика:

Если правый винт поворачивать по направлению тока, то вектор индукции в каждой точке параллелен направлению бесконечно малого перемещения конца рукоятки буравчика.

Закон Био-Савара - Лапласа играет такую же роль в магнитостатике, как закон Кулона в электростатике. Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции.

Относительность электрического и магнитного полей

В общем случае электрические и магнитные поля всегда следует рассматривать совместно, как единое электромагнитное поле.

Деление электромагнитного поля на две компоненты имеет относительный характер. Это деление зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. Поле неизменное в одной системе, может оказаться переменным в другой.

Одним из важнейших явлений, которое подтверждает связь магнитного и электрического поля стало явление электромагнитной индукции, открытое Фарадеем.

Экспериментально доказано, что электродвижущая сила (ЭДС) ($Ɛ $) индукции в контуре равна:

$Ɛ=-\frac{dФ}{dt}\left( 7 \right)$.

где $Ф$ -переменный магнитный поток через замкнутый контур или его часть.

В общем случае изменение магнитного потока сквозь плоский контур вызвано:

• переменным во времени магнитным полем;
• движением контура в поле и переменой его ориентации.

Уравнения Максвелла

Максвелл доказал, что сущностью электромагнитной индукции стало создание магнитным полем вихревого электрического поля. Индукционный ток является вторичным эффектом, который появляется в проводящих веществах. Трактовка электромагнитной индукции, которую дал Максвелл стала более общей.

Уравнения Максвелла стали математическим основанием классического электромагнетизма.

Запишем их в виде системы интегральных уравнений:

$\oint {\vec{E}d\vec{l}} \, =-\int \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}d\vec{S}\left( 8 \right)$,

$\oint {\, \vec{H}d\vec{l}} =\int ( \vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t})d\vec{S}\left( 9 \right)$,

$\oint {\, \vec{D}} d\vec{S}=\int {\rho dV} \left( 10 \right)$,

$\oint \vec{B} \, d\vec{S}=0\left( 11 \right)$.

В выражениях (8)- (11) мы имеем:

• $\vec E$ и $\vec D$ - напряженность и индукция электрического поля;
• $\vec H$ и $\vec B$ - напряженность и магнитная индукции;
• $\rho$ - объемная плотность электрического заряда;
• $\vec j$ - плотность тока проводимости.

Уравнения Максвелла у нас представлены в интегральном виде. Для однозначного описания электромагнитных полей уравнения Максвелла дополняют материальными уравнениями среды. В общем виде они записываются в виде функций:

$\vec D=\vec D(\vec E)$; $\vec B=\vec B(\vec H)$; $\vec j=\vec j(\vec E)$.