Начала теории электромагнитного поля заложил М. Фарадей. Максвелл математически ее завершил.
Одной из самых важных идей, которую предложил Максвелл, стала идея о симметрии во взаимной зависимости электрического и магнитного полей:
Так изменяющееся со временем магнитное поле (∂→B∂t) возбуждает электрическое поле, то следует ждать, что изменяющееся электрическое поле (∂→E∂t) создает магнитное поле.
Открытие тока смещения (∂→D∂t) дало возможность Максвеллу предложить единую теорию электромагнитных явлений. Эта теория дала объяснения разрозненным явлениям электричества и магнетизма, основываясь на единой точке зрения. Она же предсказала новые явления, наличие которых позднее подтвердилось.
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Совокупность фундаментальных уравнений электромагнетизма – это уравнения Максвелла в неподвижных средах. В интегральной форме совокупность уравнений Максвелла записывается в виде:
∮→Ed→l=−∫∂→B∂td→S(1),
∮→Hd→l=∫(→j+∂→D∂t)d→S(2),
∮→Bd→S=0(3),
∮→Dd→S=∫ρdV(4),
где ρ - плотность сторонних зарядов; vecj - плотность токов проводимости.
Уравнения Максвелла в сжатой форме отображают всю систему сведений об электромагнитном поле. Смысл уравнений Максвелла:
- Первые два уравнения показывают, что переменные электрические поля возбуждают электрические поля и наоборот (1, 2).
- Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда - ноль. Отражение отсутствия магнитных зарядов (3).
- Это известная в электростатике теорема Гаусса (4).
Уравнения Максвелла (1) и (2) означают, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые. Изменение с течением времени одного поля ведет к появлению другого. Имеет смысл только совокупность электрического и магнитного полей.
В случае стационарности полей (→E=const и →B=const) уравнения Максвелла создают две группы несвязанных уравнений:
∮→Ed→l=0(5),
∮→Hd→l=0(6),
∮→Bd→S=0(7),
∮→Dd→S=0(8).
Получается, что электрическое и магнитное поля независимы друг от друга.
Уравнения Максвелла нельзя получить, они являются аксиомами электродинамики. Получены они обобщением экспериментальных данных. Данные постулаты имеют в электромагнетизме такое же значение, как законы Ньютона в механике.
Дифференциальная форма уравнений Максвелла
Уравнения Максвелла можно записать в локальном (дифференциальном) виде:
∇×→E=−∂→B∂t(9),
∇×→H=→j+∂→D∂t(10),
∇→B=0(11),
∇→D=ρ(12).
Из уравнений (9)-(12) следует, что электрическое поле возникает в связи с двумя причинами:
- Источником электрического поля служат электрические заряды (сторонние и связанные). Это следует из уравнения (12).
- Поле →E возникает всегда, когда изменяется во времени магнитное поле (закон электромагнитной индукции Фарадея).
Те же самые уравнения свидетельствуют о том, что магнитное поле порождают перемещающиеся электрические заряды (токи) или переменные электрические поля, или то и другое одновременно. Это следует из уравнений (10).
Роль уравнений Максвелла в локальном виде:
- в том, что они являются основными законами электромагнитного поля;
- при их решении могут быть найдены сами поля →E и →B.
Уравнения Максвелла в локальной форме вместе с уравнением движения зарядов под действием силы Лоренца:
d→pdt=q→E+q(→v×→B)(13)
образуют фундаментальную систему уравнений. Данная система является достаточной для характеристик всех явлений электромагнетизма, в которых отсутствуют квантовые эффекты.
Граничные условия для уравнений Максвелла
Рассматриваемые уравнения в интегральном виде имеют большую общность, чем дифференциальные, поскольку они являются справедливыми, если имеются поверхности разрыва, где свойства вещества и полей изменяются скачком.
Дифференциальные уравнения Максвелла полагают, что все параметры пространства и времени изменяются непрерывно.
Достигнуть такой же общности для дифференциальных уравнений можно, если добавить к ним граничные условия. На границе веществ должны выполняться:
D1n=D2n, B1n=B2n, E1τ=E2τ, H1τ=H2τ.
Первое и последнее условия соответствуют случаям отсутствия сторонних зарядов и токов проводимости на границе раздела. Записанные выше граничные условия справедливы для постоянных и переменных полей.
Материальные уравнения
Уравнения Максвелла не содержат параметров, которые бы характеризовали индивидуальные свойства среды. Поэтому эти фундаментальные соотношения дополняют материальными уравнениями.
Материальные уравнения сложные и у них отсутствует общность и фундаментальность уравнений Максвелла. Самыми простыми они являются, если электромагнитные поля слабые и медленно изменяются в пространстве и времени. Тогда для изотропных веществ, не сегнетоэлектриков и не ферромагнетиков, материальные уравнения можно представить как:
→D=ϵϵ0→E, →B=μμ0→H, →j=σ(→E+→E′) (14),
где =ϵ,μ,σ - известные постоянные, которые характеризуют электрические и магнитные свойства вещества. →E′ - напряженность поля сторонних сил, вызванная химическими и тепловыми процессами.
Характеристики уравнений Максвелла
Перечислим характеристики рассматриваемых нами уравнений:
- Данные уравнения являются линейными. Они имеют только первые производные полей по времени и координатам пространства и первые степени плотности токов и плотности зарядов. Линейность уравнений связана с принципом суперпозиции.
- В уравнения Максвелла включено уравнение непрерывности, которое отражает сохранение заряда в замкнутой системе.
- Данные уравнения релятивистски инвариантны. Факт инвариантности уравнений Максвелла по отношению к преобразований Лоренца подтвержден множеством экспериментов.
- Рассматриваемые нами тождества не симметричны в отношении электрических и магнитных полей. Это вызвано наличием электрических зарядов и отсутствием магнитных зарядов.
Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании электромагнитного поля без электрических зарядов и токов. Изменение его состояния при этом имеет волновой характер. Поля этого вида называют электромагнитными волнами. В вакууме электромагнитные волны распространяются со скоростью света.
Теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн и дала возможность определить все их свойства.