Электромагнетизм Максвелла

Начала теории электромагнитного поля заложил М. Фарадей. Максвелл математически ее завершил.

Одной из самых важных идей, которую предложил Максвелл, стала идея о симметрии во взаимной зависимости электрического и магнитного полей:

Так изменяющееся со временем магнитное поле $(\frac{\partial \vec{B}}{\partial t})$ возбуждает электрическое поле, то следует ждать, что изменяющееся электрическое поле $(\frac{\partial \vec{E}}{\partial t})$ создает магнитное поле.

Открытие тока смещения $(\frac{\partial \vec{D}}{\partial t})$ дало возможность Максвеллу предложить единую теорию электромагнитных явлений. Эта теория дала объяснения разрозненным явлениям электричества и магнетизма, основываясь на единой точке зрения. Она же предсказала новые явления, наличие которых позднее подтвердилось.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Совокупность фундаментальных уравнений электромагнетизма – это уравнения Максвелла в неподвижных средах. В интегральной форме совокупность уравнений Максвелла записывается в виде:

$\oint {\vec{E}d\vec{l}=-\int {\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}d\vec{S}\left( 1 \right),} }$

$\oint {\vec{H}d\vec{l}=\int {\left( \vec{j}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \right)d\vec{S}\left( 2 \right),} }$

$\oint {\vec{B}d\vec{S}=0\left( 3 \right),}$

$\oint {\vec{D}d\vec{S}=\int {\rho dV} \left( 4 \right),} $

где $\rho$ - плотность сторонних зарядов; $\ vec j$ - плотность токов проводимости.

Уравнения Максвелла в сжатой форме отображают всю систему сведений об электромагнитном поле. Смысл уравнений Максвелла:

• Первые два уравнения показывают, что переменные электрические поля возбуждают электрические поля и наоборот (1, 2).
• Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда - ноль. Отражение отсутствия магнитных зарядов (3).
• Это известная в электростатике теорема Гаусса (4).

Уравнения Максвелла (1) и (2) означают, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые. Изменение с течением времени одного поля ведет к появлению другого. Имеет смысл только совокупность электрического и магнитного полей.

В случае стационарности полей ($\vec E = const$ и $\vec B=const$) уравнения Максвелла создают две группы несвязанных уравнений:

$\oint {\vec{E}d\vec{l}} =0\, \left( 5 \right)$,

$\oint {\vec{H}d\vec{l}} =0\, \left( 6 \right),$

$\oint {\vec{B}d\vec{S}} =0\, \left( 7 \right)$,

$\oint {\vec{D}d\vec{S}} =0\, \left( 8 \right).$

Получается, что электрическое и магнитное поля независимы друг от друга.

Дифференциальная форма уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла можно записать в локальном (дифференциальном) виде:

$\mathrm{\nabla }\times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\left( 9\right)$,

$\mathrm{\nabla }\times \vec{H}=\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\left( 10 \right),$

$\mathrm{\nabla }\vec{B}=0\, \left( 11 \right),$

$\mathrm{\nabla }\vec{D}=\rho \, \left( 12 \right)$.

Из уравнений (9)-(12) следует, что электрическое поле возникает в связи с двумя причинами:

• Источником электрического поля служат электрические заряды (сторонние и связанные). Это следует из уравнения (12).
• Поле $\vec E$ возникает всегда, когда изменяется во времени магнитное поле (закон электромагнитной индукции Фарадея).

Те же самые уравнения свидетельствуют о том, что магнитное поле порождают перемещающиеся электрические заряды (токи) или переменные электрические поля, или то и другое одновременно. Это следует из уравнений (10).

Роль уравнений Максвелла в локальном виде:

• в том, что они являются основными законами электромагнитного поля;
• при их решении могут быть найдены сами поля $\vec E$ и $\vec B$.

Уравнения Максвелла в локальной форме вместе с уравнением движения зарядов под действием силы Лоренца:

$\frac{d\vec{p}}{dt}=q\vec{E}+q\left( \vec{v}\times \vec{B} \right)\left( 13\right)$

образуют фундаментальную систему уравнений. Данная система является достаточной для характеристик всех явлений электромагнетизма, в которых отсутствуют квантовые эффекты.

Граничные условия для уравнений Максвелла

Рассматриваемые уравнения в интегральном виде имеют большую общность, чем дифференциальные, поскольку они являются справедливыми, если имеются поверхности разрыва, где свойства вещества и полей изменяются скачком.

Достигнуть такой же общности для дифференциальных уравнений можно, если добавить к ним граничные условия. На границе веществ должны выполняться:

$D_{1n}=D_{2n}$, $B_{1n}=B_{2n}$, $E_{1\tau}=E_{2\tau}$, $H_{1\tau}=H_{2\tau}$.

Первое и последнее условия соответствуют случаям отсутствия сторонних зарядов и токов проводимости на границе раздела. Записанные выше граничные условия справедливы для постоянных и переменных полей.

Материальные уравнения

Уравнения Максвелла не содержат параметров, которые бы характеризовали индивидуальные свойства среды. Поэтому эти фундаментальные соотношения дополняют материальными уравнениями.

Материальные уравнения сложные и у них отсутствует общность и фундаментальность уравнений Максвелла. Самыми простыми они являются, если электромагнитные поля слабые и медленно изменяются в пространстве и времени. Тогда для изотропных веществ, не сегнетоэлектриков и не ферромагнетиков, материальные уравнения можно представить как:

$\vec D=\epsilon \epsilon_0 \vec E$, $\vec B=\mu \mu_0 \vec H$, $\vec j=\sigma (\vec E+\vec E')$ (14),

где $=\epsilon, \mu, \sigma $ - известные постоянные, которые характеризуют электрические и магнитные свойства вещества. $\vec E'$ - напряженность поля сторонних сил, вызванная химическими и тепловыми процессами.

Характеристики уравнений Максвелла

Перечислим характеристики рассматриваемых нами уравнений:

1. Данные уравнения являются линейными. Они имеют только первые производные полей по времени и координатам пространства и первые степени плотности токов и плотности зарядов. Линейность уравнений связана с принципом суперпозиции.
2. В уравнения Максвелла включено уравнение непрерывности, которое отражает сохранение заряда в замкнутой системе.
3. Данные уравнения релятивистски инвариантны. Факт инвариантности уравнений Максвелла по отношению к преобразований Лоренца подтвержден множеством экспериментов.
4. Рассматриваемые нами тождества не симметричны в отношении электрических и магнитных полей. Это вызвано наличием электрических зарядов и отсутствием магнитных зарядов.

Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании электромагнитного поля без электрических зарядов и токов. Изменение его состояния при этом имеет волновой характер. Поля этого вида называют электромагнитными волнами. В вакууме электромагнитные волны распространяются со скоростью света.

Теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн и дала возможность определить все их свойства.