Задача двух тел

Приведенная масса

Решение уравнений динамики системы материальных точек встречает непреодолимые математические трудности, т.к. точного решения этих уравнений для произвольных сил не найдено уже в случае трех материальных точек.

В связи с этим важна задача о замкнутой системе двух точек, называемая задачей двух тел. Она имеет простое и исчерпывающее решение -- сводится к основной задаче динамики одной материальной точки. Решение задачи двух тел используется в небесной механике, описывающей движение планет и их спутников в Солнечной системе, в задачах на столкновение частиц, в статистической физике и других вопросах.

Обозначим массы частиц через $m_{1}$ и $m_{2}$ и их радиус-векторы, проведенные от центра масс, соответственно $\overline{r_{1} }$ и $\overline{r_{2} }$. Пусть $\overline{r}$- вектор, проведенный от точки $m_{2}$ к $m_{1}$. Из определения радиус-вектора центра масс имеем:

Непосредственно из рисунка следует соотношение между радиус-векторами:

$\overline{r}_{1} =\overline{r}_{2} +\overline{r}$. (1)

Два последних равенства позволяют выразить радиус-векторы $\overline{r_{1} }$ и $\overline{r_{2} }$ через вектор $\overline{r}$, соединяющий точки $m_{2}$ и $m_{1}$. Имеем:

$\overline{r}_{1} =\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \overline{r}$, $\overline{r}_{2} =\frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } \overline{r}$. (2)

Запишем основные уравнения для движения обеих точек в Ц-системе:

$\begin{array}{l} {m_{1} \overline{\ddot{r}_{1} }=\overline{F}_{2,1} (r)} \\ {m_{2} \overline{\ddot{r}_{2} }=\overline{F}_{1,2} (r)} \end{array}$ (3)

Силы в уравнениях (3) зависят от расстояния между точками, а не от расстояния до центра масс, т.е. решать уравнения (1) отдельно для каждой точки нельзя.

Пользуясь выражениями для радиус-векторов (2), исключим из основных уравнений (3) $\overline{r_{1} }$ и $\overline{r_{2} }$. Тогда получаем уравнения движения:

Так как по третьему закону Ньютона $\overline{F}_{2,1} (r)=-\overline{F}_{1,2} (r)$, оба уравнения становятся тождественными, и движение системы двух точек, в результате их взаимодействия эквивалентно движению одной точки в соответствии с уравнением:

$\frac{m_{1} B_{2} }{m_{1} +m_{2} } \overline{\ddot{r}}=\overline{F}(r)$. (4)

Уравнение (4) отличается от известного уравнения движения материальной точки в поле заданной силы только тем, что вместо массы $m$здесь выступает комбинация масс двух точек:

$m'=\frac{m_{1} B_{2} }{m_{1} +m_{2} }$ (5)

Величина $m'$ называется приведенной массой.

Итак, задача двух тел свелась к задаче о движении одной материальной точки с приведенной массой в Ц-системе под действием центральной силы; уравнение движения имеет обычный вид:

$m'\overline{\ddot{r}}=\overline{F}(r)$ (6)

Но при использовании результатов решения уравнения (6) необходимо помнить, что точка $m'$, движущаяся на конце радиус-вектора $\overline{r}$под действием силового центра в начале координат Ц-системы, является не реальной, а изображающей движение системы. От ее движения, после того как уравнение (6) проинтегрировано, следует переходить к реальному движению двух материальных точек $m_{2}$ и $m_{1}$.

Движение двух материальных точек в системе центра масс

Движение изображающей точки в соответствии с уравнением (6) будет плоским. Пусть кинематическое уравнение движения найдено: $\overline{r}=\overline{r}(t)$.

В таком случае с помощью формулы (2) находим кинематическое уравнение движения обеих материальных точек в Ц-системе:

$\overline{r}_{1} =\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \overline{r}(t),$ $\overline{r}_{2} =\frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } \overline{r}(t)$. (7)

Очевидно, что траектория движения изображающей точки и точек $m_{2}$ и $m_{1}$ будут подобными кривыми относительно центра масс, а отношение подобия есть обратное отношение масс, т.е.:

$\frac{r_{1} }{r_{2} } =\frac{m_{2} }{m_{1} }$ (8)

Нетрудно найти и скорости движения точек. Дифференцируя (7) по времени, имеем:

$\overline{v}_{1} =\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \overline{v},$ $\overline{v}_{2} =\frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } \overline{v}$. (9)

Задача двух тел решена.