Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике

Это значит, что никакими механическими опытами, проводимыми внутри данной ИСО, нельзя установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно. Этот принцип является обобщением опыта и подтверждается всем многообразием приложений механики Ньютона к движению тел, скорости которых значительно меньше скорости света.

Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств ИСО, в силу чего именно эти системы должны, как правило, использоваться для изучения механических явлений.

Рисунок 1. Инерциальные системы отсчёта

Найдем формулы преобразования координат при переходе от одной ИСО к другой. Допустим, что система отсчета S инерциальна. Рассмотрим вторую систему отсчета S', движущуюся относительно первой поступательно с постоянной скоростью ${\overrightarrow{v}}_0$ (рис. 1). Свяжем с каждой системой отсчета декартову систему координат. Для простоты можно принять, что координатные оси системы S соответственно параллельны координатным осям системы S' и что в начальный момент t0 = 0 начало О системы координат, связанной с системой отсчета S, совпадает с началом О' системы координат, связанной с системой отсчета S'. Кроме того, предположим, что скорость $\overrightarrow{v}$ параллельна оси OX. При этих условиях ось OХ будет все время совпадать с осью ОХ'.

Пусть в момент времени $t_0$ = 0 движущаяся точка находится в положении M. За время t начало координат ИСО S' переходит из точки О в положение О', причем, так как ${\overrightarrow{v}}_0=const$, то то $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}'+{\overrightarrow{v}}_0t'$, $t=t'$, где $\overrightarrow{r}$ и ${\overrightarrow{r}}'$ - радиус-векторы движущейся точки соответственно в системах отсчета $S\ $ и $S'$.

В проекциях на оси координат получим:

$\left\{ \begin{array}{c} x=x'+v_0t' \\ y=y' \\ z=z' \\ t=t' \end{array} \right.$

Формулы обратного преобразования имеют вид:

${\overrightarrow{r}}'=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{v}}_0t,\ t'=t$, или в координатной форме: $\left\{ \begin{array}{c} x'=x-v_0t \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=t \end{array} \right.$

Эти формулы называются преобразованиями Галилея. Мы присоединили к формулам преобразования координат дополнительное выражение $t=t'$, чтобы явно отметить, что время в механике Ньютона считается абсолютным (то есть не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой), и поэтому не преобразуется.

С точки зрения «здравого смысла» преобразования Галилея кажутся очевидными. Однако в основе вывода лежит предположение механики Ньютона об абсолютности длин и промежутков времени. Абсолютность времени явно отмечена в уравнении $t=t'$, при выводе остальных формул использовалось предположение об абсолютности длин.

Чтобы получить формулы сложения скоростей в нерелятивистской механике, возьмем производную по времени: $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{r}'}{dt}+{\overrightarrow{v}}_0=\frac{d\overrightarrow{r}'}{dt'}+{\overrightarrow{v}}_0$, или $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}'+{\overrightarrow{v}}_0$, где $\overrightarrow{v}$ -- скорость точки в системе отсчета S, а ${\overrightarrow{v}}'$ - в системе отсчета $S'$. Эта формула выражает закон сложения скоростей в классической механике. Повторное дифференцирование приводит нас к равенству ускорений тела в любой ИСО: $\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{v}'}{dt}=\frac{d\overrightarrow{v}'}{dt'}=\overrightarrow{a}'$, где $\overrightarrow{a}$ - ускорение точки в системе отсчета S, $\overrightarrow{a}'$ -- в системе отсчета S' Таким образом, ускорение точки в обеих системах отсчета одинаково. Говорят, что ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

По определению ИСО, свободная материальная точка движется в системе отсчета S без ускорения. Поэтому движение данной материальной точки в системе отсчета S' будет также неускоренным. Следовательно, S' - также инерциальная система отсчета. Таким образом, система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно, также является инерциальной системой. Следовательно, если существует хотя бы одна ИСО, то существует и бесконечное множество ИСО, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно.

Сила в классической механике зависит от ускорения, которое она сообщает телу. Поэтому, как видно из преобразований Галилея, она не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. Отсюда следует, что уравнение, выражающее второй закон Ньютона, остается неизменным при переходе от одной ИСО к другой. Такие уравнения называются инвариантными. Таким образом, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это утверждение и составляет содержание принципа относительности Галилея. Равноправие ИСО дает возможность в каждом конкретном случае подбирать систему отсчета, наиболее удобную для решения рассматриваемой задачи.