Расчет переходного процесса в электрических цепях первого порядка

Цепи первого порядка и переходные процессы в них

Вся электрическая цепь по отношению к реактивному элементу можно считать резистивным активным двухполюсником. Примеры схем цепей первого порядка изображены на рисунке ниже

Рисунок 1. Примеры схем цепей первого порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

а - цепь с емкостью; б - цепь с индуктивностью.

Переходный процесс в электрической цепи первого порядка описывается дифференциальным уравнением первого порядка, решение которого для Uc и IL будет иметь следующий вид:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где: р - корень характеристического уравнения; А - постоянная интегрирования; Ucпр и ILпр - принужденные составляющие; т - постоянная времени для свободной составляющей режима.

Корень характеристического уравнения является отрицательной и вещественной величиной, которая исполняет роль коэффициента затухания. Обратное отношение т = 1/р (измеряется в секундах) определяет скорость переходного процесса. Принято считать, что скорость переходного процесса может быть определена следующим образом:

$Тпп = 3т$

Учитывая выше представленное выражение, получается, что решение дифференциального уравнения расчета переходного процесса в цепи первого порядка может быть записано следующим образом:

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таким образом, для расчета Uc и IL, необходимо определить следующие величины

1. Постоянную интегрирования.
2. Принужденную составляющую.
3. Постоянную времени для свободной составляющей.

Расчет переходного процесса в электрических цепях первого порядка

Рассмотрим электрическую цепь, которая изображена на рисунке ниже.

Рисунок 4. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Данная цепь питается от источника постоянного напряжения Е, также в ней происходит замыкание ключа S. Необходимо определить закон изменения тока в индуктивности. Схема после коммутации выглядит следующим образом.

Рисунок 5. Схема цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

При анализе данной цепи становится понятно, что сопротивление r3 не участвует в переходном процессе, который развивается за счет источника Е, а также энергии магнитного поля. Система уравнений по закону Кирхгофа после коммутации выглядит следующим образом:

$–i1 + i2 + IL = 0$

$u1 + u2 = E$

$–u2 + UL = 0$

Подставляем компонентные соотношения, которые связывают напряжения и токи в отдельных составляющих цепи и получаем следующую систему уравнений

$i = i2 + IL$

$r1i1 + r2i2 = E$

$UL = L(diL / dt) = r2i2$

Теперь подставляем третье и первое уравнение во второе и таким образом получаем одно уравнение относительно первой составляющей iL

$((r1 + r2) / r2) * L * (diL / dt) + r1iL = E$

Чтобы получить уравнение для свободной составляющей режима работы приравняем правую часть к нулю

$((r1 + r2) / r2) * L * (diLсb / dt) + r1iLсb = E$

Переход к характеристическому уравнению осуществляется посредством замены d/dt на р, а iLcb на единицу

$((r1 + r2) / r2) * Lp + r1 = 0$

Отсюда

$р = - ((r1 * r2) / L * (r1 + r2)$

Постоянная времени в данном случае является обратной по отношению к коэффициенту затухания:

$т = L / Rэ$

$Rэ = (r1 * r2) / (r1 + r2)$

где, Rэ - эквивалентное резистивное сопротивление

Анализ последних двух выражений показывает, что постоянная времени пропорциональна индуктивности и обратно пропорциональна эквивалентному резистивному сопротивлению. Его величина совпадает с входным сопротивлением рассматриваемой цепи. Данный вывод распространяется на любую электрическую цепь первого порядка, в которой содержатся одна индуктивность и неограниченное количество резистивных элементов и источников энергии. Получается, что определить конечное выражение для постоянной времени можно и без составления систем уравнения - достаточно определить входное сопротивление цепи со стороны реактивного элемента и воспользоваться формулой для постоянной времени. Входное сопротивление определяется в три этапа:

1. Изображается схема после процесса коммутации
2. Реактивный элемент заменяется на разомкнутые зажимы, по отношению к которым потом определяется входное сопротивление. После этого исключаются источники энергии: источники электрического тока разрываются, а источники напряжения замыкаются накоротко.
3. Производится последовательное упрощение рассматриваемой электрической цепи, посредством объединения параллельно и последовательно соединенных резистивных элементов, из-за чего цепь сводится к эквивалентному сопротивлению, являющемуся искомым входным сопротивлением.

Для рассматриваемой цепи преобразованная схема будет выглядеть следующим образом

Рисунок 6. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На этой схеме вместо индуктивности изображены разомкнутые зажимы, со стороны которых определяется входное сопротивление, а вместо источника напряжения показана короткозамкнутая перемычка. Для определения тока в индуктивности также рассчитываются постоянная интегрирования и принужденная составляющая.