Линейные цепи с магнитными связями

Линейные цепи с магнитными связями

Типичными представителями электрических цепей с магнитными связями являются:

1. Трансформаторы.
2. Антенны.
3. Электрические машины.

При изменении электрического тока в одной из катушек цепи из-за изменения общего магнитного поля во второй катушке наводится напряжение взаимной индукции. Рассмотрим цепь, представленную на рисунке ниже.

Рисунок 1. Цепь. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На выше представленном рисунке катушки индуктивности (L1, L2) магнитосвязанные, что обозначено на нем стрелкой с указанием взаимной их индуктивности М21. Взаимная индуктивность представляет собой коэффициент пропорциональности между напряжением взаимной индукции, которое наводится во второй катушке и производной электрического тока в первой катушке:

$u2M(t) = M21*(di/dt).$

Знак наводимого напряжения зависит от направления тока в катушках и направления намотки в них. В том случае, когда магнитные поля, создаваемые токами в катушках, складываются, то данное включение называется согласованным. Напряжения взаимной индукций и самоиндукции также складываются. Если магнитные поля вычитаются, то такое включение называется встречным и напряжения взаимной индукции и самоиндукции вычитаются. Пример схемы с встречным включением изображен на рисунке ниже.

Рисунок 2. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Звездочками на выше представленных схемах обозначаются одноименные зажимы катушек индуктивности. если токи в катушках одинаково направлены по отношению к одноименным зажимам, то включение согласное. Когда токи в катушках направлены неодинаково относительно одноименных зажимов - включение встречное. В линейных электрических цепях с магнитными связями согласно принципу взаимности, верно следующее:

$М21=М12=М$

где М - коэффициент взаимной индуктивности катушек.

Уравнение Кирхгофа для рассматриваемой схемой с согласным включением будет выглядеть следующим образом:

$e(t) = UL1+UL2=L1*(di/dt) + M*(di/dt) + L2*(di/dt)+M*(di/dt) = L1*(di/dt)+L2*(di/dt)+2M*(di/dt)$

В символической форме данное уравнение будет иметь следующий вид:

$Em = jwL1Im + jwL2Im+2jMIm = jwLэквIm$

где Lэкв = L1+L2+2M

Для электрической цепи с встречным включением уравнение Кирхгофа, в символической форме, записывается следующим образом:

$Em = jwL1Im+jwL2Im-2jMIm=jwLэквIm$

где Lэкв = L1 + L2 - 2M

Линейный трансформатор

Пример схемы линейного трансформатора представлен на рисунке ниже.

Рисунок 3. Схема линейного трансформатора. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В первичной обмотке рассматриваемого трансформатора действует источник переменного напряжения (Е1), индуктивность первичной обмотки - L1, а сопротивление R1, соответственно индуктивность и сопротивление вторичной обмотки L2 и R2. Комплексная нагрузка во вторичной обмотке может быть рассчитана по формуле:

$Zн = Rн+jXн$

Уравнение по второму закону Кирхгофа для рассматриваемого трансформатора составляется следующим образом (направления обхода по контуру показаны на рисунке).

$R1+jwL1I1-jwMI2=E1$

$I2*R2+I2*Rн+jXнI2+jwL2I2-jwMI1=0$

По данным уравнения необходимо построить векторную диаграмму напряжений и токов в рассматриваемом трансформаторе. Диаграмма строится в следующей последовательности: I2, RнI2, jXнI2, jwL2I2, R2I2, -jwMI1. При построении диаграммы учитывается, что реактивное сопротивление нагрузки имеет индуктивный характер. Из-за этого вектор напряжения jXнI2 будет опережать ток I2 на 90 градусов, а сама диаграмма будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 4. Диаграмма. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Вектор -jwMI1 замыкает данную диаграмму напряжений вторичного контура, в котором отсутствует источник напряжения. По данному вектору можно определить вектор тока I1, который повернут на +90 градусов и уменьшенный в wM раз. После этого строятся вектора - jwL1I1, -jwMI2, R1I1 и E1.

В рассматриваемой схеме линейного трансформатора токи не изменятся, если соединить точки b и a в узел ab. Теперь воспользуемся правилами развязки электрических цепей с магнитными связями. Первое правило гласит, что, если зажимы магнитосвязанных индуктивностей расположены одинаково относительно узла, то они могут быть заменены эквивалентной схемой с тремя индуктивностями без магнитной связи. Согласно второму правилу развязки, если зажимы индуктивностей с магнитной связью расположены неодинаково относительно узла, то они могут быть заменены на три индуктивности без магнитной связи (индуктивность с отрицательным значением будет иметь расчетный характер).

К данному узлу индуктивные катушки трансформатора подключены одинаково, поэтому его схема замещения будет выглядеть следующим образом (согласно первому правилу развязки)

Рисунок 5. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В получившейся схеме линейного трансформатора магнитные связи отсутствуют, контуры связаны электрически через сопротивление общей ветви.