Контурные токи и метод узлового напряжения

Метод контурных токов

Рисунок 1. Метод контурных токов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Контурные токи находятся в результате решения системы уравнения, которое составляется по закону Кирхгофа для каждого контура. После определения контурных токов рассчитываются токи ветвей электрической схемы. Алгоритм расчета электрической цепи методом контурных токов выглядит следующим образом:

1. Сначала задаются направления токов ветвей, затем их обозначение отображают в схеме.
2. Выбираются независимые контуры, после чего они нумеруются.
3. Затем выбираются направления контурных токов, как правило в одну сторону, и составляет уравнение по методу контурных токов.
4. Полученная система алгебраических уравнений решается относительно неизвестных контурных токов.
5. Рассчитывают токи в ветвях электрической схемы, представляющие собой сумму контурных токов, которые проходят по данным ветвям.

Определим токи в ветвях электрической схемы, представленной на рисунке ниже.

Рисунок 2. Электрическая схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На данной схеме уже отмечены направления токов ветвей, согласно алгоритму. На данной схеме также определены независимые контуры (a, b, c, d). Теперь необходимо определить контурные токи Ik1, Ik2 и Ik3. Так как в одной из ветвей содержится источник тока (J), то контурный ток Ik3=J. Для остальных токов составляется система уравнений, имеющая следующий вид:

Рисунок 3. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Это же уравнение может иметь и другой вид:

Рисунок 4. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если мы подставим в данные уравнения численное значение сопротивления независимого контура, то получится следующая система уравнений:

Рисунок 5. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решая выше представленную систему уравнений находятся значения контурных токов Ik1 и Ik2 по методу контурных токов (I1=Ik1, I2=Ik2). Токи I3 и I4 определяем по первому закону Кирхгофа. Согласно данному закону уравнение для узла а будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 6. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Откуда,

Рисунок 7. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для узла b уравнение будет иметь следующий вид:

Рисунок 8. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Откуда,

Рисунок 9. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проверить правильность решения можно по балансу мощностей, но предварительно необходимо найти напряжения на зажимах источника питания электрической цепи:

Рисунок 10. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Тогда, согласно балансу мощностей, получаем:

Рисунок 11. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если данное уравнение выполняется, то расчет электрической цепи методом контурных токов выполнен верно.

Метод узлового напряжения

Метод узлового напряжения - один из методов расчета электрической цепи при помощи алгебраических линейных уравнений, где неизвестными величинами являются потенциалы в ее узлах.

Метод узлового напряжения используется для расчета электрических цепей, количество элементов в которых более десяти. Этот метод применяется для адаптации законов Ома и Кирхгофа к расчету электрических цепей любой сложности.

Перед началом расчета выбирается базовый узел, в котором потенциал равен 0. После этого каждый узел нумеруется и составляется система уравнений. Слева от знака равенства записывается:

1. Потенциал рассматриваемого узла, который умножается на проводимость его ребер, примыкающих к нему. Проводимости ребер, в которых содержится источник электрического тока, принимается равным 0 и не учитывается при расчетах.
2. Отрицательные значения потенциалов, которые примыкают к исследуемому узлу и помноженные на проводимости ребер, соединяющих их с ним. В случае, если узел соединен с рассматриваемым узлом ребром, котором содержится источник тока, то такой узел не учитывается при расчетах.

В правой части уравнения записываются: сумма произведений всех электродвижущих сил, которые примыкают к исследуемому узлу, умноженные на проводимость соответствующего звена; сумма всех источников электрического тока, примыкающих к рассматриваемому узлу. Если источник тока направлен в сторону исследуемого узла, то он записывает с положительным знаком, если направлен противоположно, то с отрицательным знаком.

Рассмотрим электрическую схему (рисунок ниже), в которой четыре узла.

Рисунок 12. Электрическая схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Примем, что потенциал в узле 0 равен нулю (ф=0), тогда система уравнений для узлов 1,2 и 3 будет выглядеть следующим образом:

Рисунок 13. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проводимости ребер равны:

$Y¬_1=1/R_1$

$Y_2=1/R_2$

$Y_3=1/R_3$

$Y_4=1/R_4$

$Y_5=1/R_5$

$Y_6=1/R_6$

Метод узловых потенциалов применяется для расчета эквивалентной схемы электрической цепи, поэтому имеет такие же ограничения, как у применимости эквивалентной схемы. Если исходная схема реальна, то сначала необходимо составить эквивалентную ей схему, по которой и осуществляются дальнейшие расчеты. Получается, что схема, для расчета которой используется метод узловых напряжений, не содержит реальных составляющих таких, как транзисторы, гальванические элементы, диоды, лампы и т. п.