Основы комплексного расчета электрических цепей
Комплексный ток — это комплексное действующее значение синусоидального тока.
Одним из основных способов расчета электрических цепей переменного тока является символический или комплексный метод. Как правило, он используется при анализе электрических схем с гармоническими токами, напряжениями и электродвижущей силой. В результате решения получается комплексное значение напряжений и токов. Синусоидальная величина может быть представлена:
- В форме вращающегося вектора.
- В виде комплексного числа.
Пример вращающегося вектора изображен на рисунке ниже.
Рисунок 1. Пример вращающегося вектора. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
По данному рисунку видно, что синусоидальная величина а изменяется с течением времени, которая может быть входным напряжением или любым другим параметром электрической сети. Величина имеет некоторое начальное значение (t=0) при начальной фазе ф:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
При угле Wt3, когда сумма Wt3+ф=90 и соответственно:
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Синусоидальная величина при угле Wt7, когда сумма Wt7 + ф = 270 будет иметь отрицательное значение:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Величина будет иметь отрицательное значение при углах Wtn + ф = 0, когда Wtn = –ф (данная область на рисунке не отмечена), таким образом:
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Также нулевое значение у синусоидальной величины будет при угле Wt11, когда Wt11+ ф = 360:
Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Именно по такому закону может меняться синусоидальная величина, например напряжение, изменяясь от 0 до максимального значения и обратно.
Другая форма представления — комплексная
Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для этого строится график (комплексная плоскость) зависимости двух величин, как на рисунке ниже.
Рисунок 8. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Длина вектора Аm равна максимальному значению амплитуды рассматриваемой величины. Если учитывать начальную фазу (ф), то это число записывается следующим образом.
Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В практических расчетах комплексного метода применяют не амплитудное значение, а действующее, которое меньше в корень из 2 амплитудного:
Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
При работе с комплексными числами применяется один из трех способов записи комплексного числа: тригонометрическая форма, алгебраическая форма, показательная форма. Например, имеется комплексное число в показательной форме:
Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В тригонометрической форме оно будет иметь следующий вид:
Рисунок 12. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В итоге при переходе в алгебраическую форму, учитывая, что:
Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
получаем:
Рисунок 14. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, ReA = 8,66 – действительная составляющая комплексного числа; ImA = 5 – мнимая составляющая комплексного числа.
При переходе от алгебраической формы к показательной получаем число следующего вида
Рисунок 15. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Оно переходит к показательной форме следующим преобразованием:
Рисунок 16. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
А угол рассчитывается по формуле
Рисунок 17. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
И в итоге получается:
Рисунок 18. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример расчета электрической цепи комплексным методом
Алгоритм комплексного расчета электрической цепи выглядит следующим образом:
- Составляется комплексная схема электрической цепи, в которой мгновенные значения токов, напряжений и электродвижущей силы заменяются на комплексные.
- Выбираются и обозначаются направления токов.
- Составляется комплексное уравнение.
- Решается уравнение относительно комплексного значения искомой величины.
- При необходимости записываются мгновенные значения полученных комплексных величин.
Рассмотрим схему электрической цепи с последовательным соединением (рисунок ниже), в которой нам известны сопротивления — R1, R2 и R3, емкость — С, индуктивность — L и частота — f, электродвижущая сила е = 141sin*Wt (закон изменения ЭДС)
Рисунок 19. Схема электрической цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Сначала составляется комплексная схема, на которой обозначаются комплексные токи и напряжения.
Рисунок 20. Комплексная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Ток в цепи равен:
Рисунок 21. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где, U – входное комплексное напряжение; Z – полное сопротивление всей электрической цепи.
Комплексное напряжение рассчитывается по формуле:
Рисунок 22. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В данном случае начальная фаза ф=0, потому что для мгновенного значения напряжения вида
Рисунок 23. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
при ф =0 получаем:
Рисунок 24. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таким образом в показательной форме напряжение записывается:
Рисунок 25. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Комплексное сопротивление имеет следующий общий вид:
Рисунок 26. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Комплексное сопротивление емкости имеет следующий вид
Рисунок 27. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Откуда общее комплексное сопротивление электрической сети рассчитывается по формуле:
Рисунок 28. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таким образом, после нахождения комплексного сопротивления становится возможным найти комплексный ток по второму закону Ома. Далее находятся комплексные напряжения на элементах цепи:
Рисунок 29. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для проверки результатов можно использовать второй закон Кирхгофа, согласно которому должно выполняться равенство:
Рисунок 30. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В результате проверки допускается небольшое расхождение, которое может получиться в результате промежуточных округлений при расчете комплексных величин, а также преобразовании их из одной формы в другую.
Комплексный метод расчета электрических сетей уже давно доказал свою эффективность на практике. Его активно применяют на промышленных предприятиях, при строительстве объектов различного назначения, в том числе и объектах электроснабжения. Один из недостатков метода заключается в его большом объеме вычислительных и преобразовательных действий, поэтому для ускорения процесса используют электронно-вычислительные процессы и специальные программы.
