Графическое изображение синусоидальных величин. Вычитание и сложение синусоидальных величин

Графическое изображение синусоидальных величин

Синусоидальные величины графически могут быть изображены двумя способами:

• временными диаграммами или синусоидами,
• вращающимися векторами.

При применении временной диаграммы ординаты синусоиды представляют собой мгновенные значения величины, а абсциссы промежутки времени. Данный способ изображения позволяет определить амплитуду, начальную фазу, период. При расчете электрической цепи необходимо производить различные математические операции над этими функциями, даже простое сложение двух синусоидальных функций при помощи временных диаграмм является громоздким процессом.

Для того, чтобы упростить расчет рекомендуется использовать метод вращающихся векторов при изображении синусоидальных величин. Стоит отметить, что напряжения и токи, которые были изображены при помощи векторов не являются векторными величинами в обычном смысле этого слова. При данном способе синусоидальная величина изображается в виде вектора, который вращается против часовой стрелки с угловой скоростью w, а его длина равняется амплитудному значению величины. Угол, который образовывается вектором и горизонтальной осью в начальный момент времени равняется начальной фазе. Мгновенные значения синусоидальной величины выражаются посредством проекции вращающегося вектора на вертикальную ось, как это показано на рисунке ниже.

Рисунок 1. Графическое изображение синусоидальных величин. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Направление вектора в любой момент времени указывает фазы синусоидальной функции в данный момент - угол, на который повернулся вектор в определенный промежуток времени. Совокупность нескольких векторов, которые изображают синусоидальные величины одинаковой частоты в начальный момент времени называется векторной диаграммой. На ней изображаются только величины определенной частоты. Получается, что вращение вектора осуществляется с одинаковой угловой скоростью, взаимное расположение остается постоянным. Если сравниваются синусоидально изменяющиеся величины, то начало отсчета можно выбрать произвольно, то есть один из векторов направляется произвольно. Другие векторы необходимо располагать по отношению к первому под углами, которые равняются соответствующим углам сдвига фаз, положительные углы должны откладываться в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Вычитание и сложение синусоидальных величин

При сложении синусоидальных величин могут использоваться следующие методы:

1. Аналитический метод.
2. Векторный метод.
3. Метод комплексных чисел.

Для реализации аналитического метода сложения синусоидальных величин необходимо алгебраически сложить их мгновенные значения. Рассмотрим пример схемы электрического угла, который изображен на рисунке ниже.

Рисунок 2. Схема электрического угла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Согласно закону Кирхгофа общий ток для рассматриваемой схемы можно рассчитать следующим образом:

$i = i1+i2$

Допустим, что

$w=w1=w2$

$i1 = Im1sin(wt+a1)$

$i2 = Im2sin(wt+a2)$

где: Im1, Im2 - амплитуды синослидальныx ток i1 и i2; wt - фаза синусоидального тока; а - начальные фазы переменного синусоидальных токов i1 и i2.

Таким образом получается, что:

$i = i1+i2 = Im1sin(wt+a1) + Im2sin(wt+a2)$

Для упрощения расчета предположим, что Im1 = Im2. Тогда:

$i = Im1[sin(wt+a1) + sin(wt+a1)] = Im1*((2sin(wt+a2+wt+wt+a1) / (2cos(wt+a2+wt-wt-a1)) = 2Im1sin(wt+(a2+a1/2)cos((a2-a1)/2))$

Обозначим следующее:

$2Im1cos((a2-a1)/2) = Im$

$((a2+a1) /2) = a$

Таким образом в конечном виде формула для расчета общего тока рассматриваемой цепи имеет следующий вид:

$i = 2Im1cos((a2-a1)/2) * sin(wt+((a1+a2)/2)) = Imsin(wt+a)$

По полученному результату видно, что у результирующего или общего электрического тока схемы такая же частота - w, амплитуда равна Im и начальная фаза - а.

Комплексные амплитуды токов i1 и i2 можно записать в тригонометрической форме:

$im1 = Im1(cosa1+ysina1)$

$Im2 = Im2(cosa2+ysina2)$

Сумма косинусов выглядит следующим образом:

$cosa1+cosa2 = (2cos(a1+a2)/2)*((cos(a2-a1)/2)$

Тогда получается:

$Im = (2im1*cos(a2-a1)/2)[cos((a2+a1)/2) + ysin((a2+a1)/2)$

Обозначим следующее:

$2Im1*(cos(a2-a1)/2)) = Im$

$a = (a1+a2) / 2$

Отсюда получается:

$Im=Im(cosa+ysina)$

Таким образом формула для расчета мгновенного значения результирующего электрического тока будет иметь следующий вид:

$i = i1+i2 = Imsin(wt+a)$

Процесс вычитания синсоидальныx величин в расчетах заменяется слоением уменьшаемой величины с вычитаемой, которая берется обратным математическим знаком, то есть:

$i1-i2 = i1+(-i2)$

При этом необходимо помнить, что изменение знака синусоидальной величины соответствует изменению начального фазового угла на 180 градусов.