История появления линейного программирования
Основа выполнения любой задачи – это приятие кем-либо оптимального решения. Оптимальное решение позволяет достичь цель в заданных условиях с максимальным эффектом. Появление математических исследований конкретных проблем экономики приходится на конец 19-го- начало 20-го века.
К. Маркс описал в своей модели расширенного воспроизводства традиционное использование математических методов для формализованной характеристики. Данная модель стала первой макроэкономической моделью, которая позволяет открыть важные особенности производства.
Создатель математической школы Л. Вальрас в 1974 году разработал единую статистическую экономико-математическую модель народного хозяйства, которая стала называться системой общего равновесия экономики.
В модели Вальраса рациональными элементами являются постановка экстремальной задачи на экономики в целом и подход к стоимости как составляющей поиска общего оптимума.
В 1897 году известным буржуазным экономистом-математиком Парето на основе статистического материала была установлена закономерность распределения доходов в обществе в виде гиперболы – «кривая Парето».
В 1904 году русский экономист-математик В. К. Дмитриев создал уравнения связи расходов и выпуска продукции, использованные в дальнейшем американским экономистом В. Леонтьевым с целью построения баланса «затраты-выпуск».
Данные работы являются первыми попытками построить экономико-математическую модель. Их разработка разделила экономико-математический анализ статистических данных на два направления:
- Использование методов с целью характеристики экономических явлений;
- Для определения зависимости между ними.
В 1939 году ленинградским государственным университетом была выпущена книга Л.В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». И лишь только через десять лет метод линейного программирования был переоткрыт в другой форме в США. Статьи по данной проблеме были опубликованы в 1949 году, в них Дж. Данциг излагал свой симплексный метод, который имеет много общих черт с методом последовательного преобразования плана, применявшимся Л. В. Канторовичем в решении практических задач.
Еще до Канторовича в России публиковались работы, содержавшие предпосылки к определению линейного программирования. Например, в 1930 году экономисты-транспортники, чтобы построить оптимальный план перевозок, разработали транспортную задачу в сетевом виде и решили ее без использования математического обоснования.
Работы по линейному программированию стали часто издаваться в 1950-х годах, когда велась детальная разработка основных методов решения, создавалось множество различных алгоритмов, применялись в практике новые методы, появлялась обширная литература.
Помимо методов решения задач линейного программирования, выпускались работы, содержащие методы динамического и нелинейного программирования.
Характеристика метода линейного программирования
Линейное программирование в экономическом анализе позволяет обосновать наиболее оптимальные экономические решения при жестких ограничениях, которые относятся к применяемым ресурсам в производстве (основные фонды, трудовые ресурсы, материалы и т.д.).
Применяя данный метод, можно решать задачи планирования деятельности предприятия. С его помощью можно определить оптимальную величину выпуска продукции, направления эффективного применения имеющихся производственных ресурсов.
Метод линейного программирования позволяет решать экстремальные задачи, когда определяются крайние значения, т.е. максимум и минимум функций переменных.
Линейное программирование применяется также при анализе переменных величин, когда имеют место определенные ограничивающие факторы.
Распространено решение транспортной задачи посредством линейного программирования. Сущность данной задачи состоит в минимизации затрат, которые возникают при эксплуатации транспортных средств в условиях ограничений относительно количества данных транспортных средств, продолжительности работы, грузоподъемности и т.д.
Помимо этого, линейное программирование позволяет решить задачу составления расписания. Необходимо распределить время функционирования персонала таким образом, чтобы оно было приемлемым для каждого сотрудника, а также для клиентов компании. Задача в данном случае состоит в максимизации количества клиентов при ограничениях количества персонала и рабочего времени.
Из всего вышесказанного следует, что линейное программирование в экономическом анализе весьма распространено: оно применяется при анализе использования и размещения ресурсов, при планировании и прогнозировании деятельности компании.
Общая задача линейного программирования
Среди большого количества оптимизационных задач выделяются задачи линейного программирования, которые имеют специфические черты.
В каждой задаче элементы решения – это ряд неотрицательных переменных $x_1, x_2,…, x_n$. Следует так выбирать значения данных переменных, чтобы:
- Действовали некоторые ограничения вида линейных неравенств или же неравенств в отношении переменных $x_1, x_2,…, x_n$.
- Линейная функция $f$ переменных являлась максимумом (минимумом).
Общая задача линейного программирования – это задача, где оптимизируемая функция цели является линейной комбинацией известных коэффициентов $c_j$ и неизвестных переменных $x_j$ вида:
Рисунок 1. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Функция $f$ также называется целевой функцией или же критерием эффективности.
Найти решение задачи линейного программирования означает отыскать значения переменных $x_j$, которые удовлетворяют ограничениям, а целевая функция при таких значениях принимает максимальное или минимальное значение.
