Модель парной линейной регрессии

Понятие линейной регрессии

Теоретическая экономика строится на математических вычислениях и моделировании, которые позволяют описывать события, явления, динамику их изменения. Так же язык математики позволяет прогнозировать будущее положение экономических систем, субъектов и объектов.

Теория вероятности использует регрессию, как метод математической статистики. Она позволяет выявить прямую зависимость между величинами случайной природы. Основным отличием регрессии от функциональной зависимости является факт того, что одному и тому же значению искомой переменной может соответствовать множество других переменных.

Линейная регрессия представляет зависимость в виде линейной модели с учетом ошибки распределения. При этом значения каждой величины заранее неизвестны. Параметры для уравнения описывают выборочные оценки, важные для конкретного исследования. Обычно для исчисления используются экспериментальные данные.

Модель линейной регрессии активно применяется в эконометрике. Она удобна для изучения свойств оценок параметров, а так же для исследования случайных ошибок модели. С точки зрения эконометрической науки линейность чаще всего применяется для параметров, а не для факторов. Линейная модель может иметь константу, либо рассматриваться без нее. В этом случае первый фактор модели будет равным единице, либо останется обычным фактором.

Существует частный случай парной простейшей регрессии. В этом случае на модель воздействует только один фактор. Если количество факторов увеличивается, что регрессия становится множественной. В практической деятельности линейную регрессию применятся для расчета затрат организации, потребительских расходов.

Парная линейная регрессия

Зависимость меду одной переменной и средним показателем другой называется парной линейной регрессией.

Модель математически записывается следующим образом:

$Y = ax + b + e$

где x – факторная переменная, y – зависимая, e – отклонение или остаток

Решение подобных задач в математике проводится по определенному алгоритму, который позволяет найти уравнение регрессии. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построение модели уравнения. Для подбора данных может использоваться графический метод, который заключается в построении диаграммы рассеивания и ее последующем анализе.
2. Поиск параметров уравнения. Самым удобным считается метод наименьших квадратов.
3. Коэффициент корреляции проверяется на значимость.
4. Проверка модели на ее качественность с помощью критерия Фишера.
5. Анализ остатков.
6. Вычисление стандартной ошибки.
7. Прогноз модели, если того требует исследование.

Парная регрессия позволяет установить связь между несколькими переменными. Ее называют однофактороной, если одна независимая величина влияет на другой зависимый элемент уравнения. В практической деятельности парная регрессия используется для прогнозирования, поиска утерянных неизвестных. Если она строится для генеральной совокупности, то необходимо чтобы данные о каждом элементе были доступны. Обычно, на практике исследователь не обладает полной информацией, поэтому он использует данные об элементах из некоторой статистической выборки.

Чтобы рассмотреть генеральную совокупность, параметры заменяются на те, что известны в выборке. То есть свободный член регрессии генеральной совокупности заменяется соответствующим из выборки, параметры которой заранее известны. Такая же замена происходит для коэффициента направления регрессии.

Применение метода наименьших квадратов в парной регрессии

Если исследователь изначально знает, что зависимость между фактором и переменной линейная, то он выражает ее в форме стандартного линейного уравнения y = ax + b. Задача заключается в поиску группы точек, которые помогут построить оптимальную для заданных параметров прямую. Эта прямая и будет демонстрировать распределение точек парной линейной регрессии. Значение коэффициентов или параметров уравнения осуществляется с помощью метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов является математическим. Он применяется для решения различных задач, чтобы минимизировать отклонения результатов исследования при заданных условиях. Его применяют для решения уравнений в случае их переопределения, в случае, если количество уравнений превышает количество неизвестных, а так же для приближения точечных значений. Метод наименьших квадратов является базовым для регрессионного анализа.

Сущность метода заключается в подборе таких значений неизвестных, которые позволяет построить наиболее точную функцию к заранее заданным значениям. То есть, метод позволяет выбрать «меру близости» для левой и правой части уравнения. В регрессионном анализе он используется для уточнения заданной функциональной связи. Если в регрессионной модели единственным регрессором стала константа, то метод наименьших квадратов покажет, что она равна среднему значению той переменной, которую можно объяснить.

Уравнение регрессии устанавливает связь между фактором и результатом. Чтобы определить тип будущего уравнения строят зависимость графически. Но есть другие рекомендации, которые позволяют установить форму связи без дополнительных построений. Если факторный и результативный признаки изменяются одинаково, то между ними существует линейная связь. Если процесс идет неравномерно или в обратную сторону, то связь является гиперболической. Оценка параметров такого уравнения проводится методом наименьших квадратов. Он предполагает, что переменные независимы. Выбранный уровень регрессии должен сводить сумму квадратов отклонений к минимуму. Проверка в этом случае будет считаться законченной.