Формулировка, преимущества и недостатки критерия Гурвица
Критерий Гурвица – это способ анализа стационарной динамической системы на устойчивость, который был разработан немецким ученым Адольфом Гурвицем.
Наряду с критерием Рауса, критерий Гурвица представляет семейство алгебраических критериев устойчивости системы. Его главное достоинство - принципиальная простота, а главный недостаток заключается в том, что существует необходимость выполнения операции вычисления определителя, связанной с многочисленными вычислительными тонкостями. Данный метод определения устойчивости связан с коэффициентами характеристического уравнения. Предположим, что:
$W(s) = Y(s)/U(s) $- передаточная функция.
U(s) - характеристическое уравнение рассматриваемой системы.
Теперь представим характеристический полином U(s) в следующем виде:
Рисунок 1.
где, s - комплексный аргумент.
Затем строится определитель Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения системы по следующему алгоритму:
- По правой диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения системы.
- От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя таким образом, чтобы индексы убывали сверху вниз.
- На место коэффициентов, у которых индекс меньше нуля или больше n, ставятся нули.
Размерность таблицы Гурвица определяется максимальной степенью s в характеристическом уравнении.
Рисунок 2.
Тогда, в соответствии с критерием Гурвица для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо, чтобы все n главных диагональных миноров определителя Гурвица были положительными, при условии, что a0 > 0. Если проанализировать условия критерия Гурвица, то заметна его избыточность. Количество неравенств может быть уменьшено в два раза, для чего используется теорема Льенара-Шипара.
Еще один недостаток критерия Гурвица - его малая наглядность. А достоинство заключается в том, что он удобен для реализации на электронно-вычислительной машине. Он часто используется для определения влияния одного из параметров системы автоматического управления на уровень ее устойчивости. Например, равенство главного определителя нулю говорит о том, что система находится на границе устойчивости. Параметры автоматической системы управления определяют значения коэффициентов динамического уравнения, таким образом изменение любого параметра системы влияет на значение определителя.
Решение задачи при помощи критерия Гурвица
Допустим задана автоматическая система управления, структурная схема которой изображена на рисунке ниже.
Рисунок 3. Схема автоматической системы управления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Сначала необходимо получить для нее передаточные функции и определить соотношение параметров, которые обеспечивают ее устойчивость. По задающему воздействию передаточная функция разомкнутой системы будет иметь следующий вид:
Рисунок 4.
По возмущающему воздействию передаточная функция разомкнутой системы будет выглядеть следующим образом:
Рисунок 5.
Передаточная функция разомкнутой цепи выглядит следующим образом:
Рисунок 6.
Допустим:
$К = К1К2Кос$ - коэффициент передачи разомкнутой цепи.
Тогда:
Рисунок 7.
По задающему воздействию передаточная функция замкнутой системы выглядит следующим образом:
Рисунок 8.
По возмущающему воздействию передаточная функция замкнутой системы имеет следующий вид:
Рисунок 9.
Характеристический полином автоматической системы управления, то есть знаменатель любой из передаточных функций замкнутой системы, выглядит следующим образом:
Рисунок 10.
Где:
- $а0=1+Кр$
- $а1 = Т1+Т2+Тос$
- $а2 = Т1(Т2+Тос)+Т2Тос$
- $а3 = Т1Т2Тос$
Видно, что характеристический полином замкнутой системы автоматического управления равняется сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой цепи. Так как все коэффициенты характеристического полинома больше нуля, то в соответствии с условием устойчивости все сводится к следующему неравенству:
Рисунок 11.
Полученное неравенство показывает, что устойчивость системы автоматического управления в конце нарушится в случае неограниченного увеличения коэффициента передачи при любых положительных значениях постоянных времени. Предельная величина значения коэффициента передачи, при котором автоматическая система управления теряет устойчивость называется граничным, а для рассматриваемого примера рассчитывается следующим образом:
Рисунок 12.
