Теория автоматического управления. Виды математических моделей системы автоматического управления
Теория автоматического управления – это наука, которая изучает процессы автоматического управления объектами различной физической природы.
При помощи математических средств можно выявить свойства систем автоматического управления и разработать рекомендации по их проектированию. Для того, чтобы реализовать технологический процесс необходимо знать особенности конкретного технологического процесса, а также принципы и методы управления. Цель математического описания системы автоматического управления заключается в составлении математической модели, которая может быть использована для дальнейшего анализа и синтеза системы. Любая математическая модель представляет собой приближение к действительному состоянию взаимодействия отдельных информационных параметров объекта управления или всей системы Подавляющее большинство переменных величин объектов и систем управления подвергаются определенным ограничениям искусственным или естественным образом. Большинство зависимостей между информационными параметрами - нелинейны, поэтому представляются в виде нелинейных математических моделей.
Математическая модель – это приближенное описание объекта или явления при помощи математических символов.
Различают следующие математические модели систем автоматического управления:
- Частотные характеристики системы автоматического управления.
- Разностные и дифференциальные систем управления и их составляющих.
- Временные характеристики систем автоматического управления.
- Векторно-матричные модели в пространстве состояний.
- Направленные графы систем управления.
- Передаточные функции систем управления и их составляющих.
- Структурные схемы систем управления.
Уравнение звеньев. Линеаризация
Самой распространенной формой описания свойств систем управления и их звеньев являются дифференциальные уравнения, представляющие собой математическое выражение физических процессов в объекта и указывающие, каким образом происходит формирование выходного сигнала при воздействии входного сигнала. На начальном этапе составления дифференциального уравнения выделяются звенья, описываемые алгебраическими и дифференциальными уравнениями максимум первого порядка. На этой же стадии происходит линеаризация уравнений.
Линеаризация уравнений – это замена исходных нелинейных уравнений линейными, которые приближенно описывают процессы в системе.
Линеаризация допустима только в тех случаях, когда функция (описывающая процессы элементе) обладает непрерывной производной, то есть в графике отсутствуют изломы или разрывы. Самым удобным способом проводить линеаризацию - осуществлять ее по звеньям. Предположим, что в звене А выходная величина является нелинейной функцией одной входной величины, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 1. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если х = х0, то у = у0. Допустим, что входная величина получила, относительно начального значения, какое-либо приращение, так, что:
$х =х0+∆ х$
Тогда приращение выходной величины будет выглядеть следующим образом:
$∆у = у(х0+∆х)-у(х0)$
где y - выходная величина; х - входная величина; х0 - начальное значение входной величины.
Дифференциал функции у, который определяется, как главная часть приращения функции, при данном значении независимой переменной х равняется значению производной при данном значении, умноженному на дифференциал независимой переменной, то есть:
$dy = y’(x)dx$
В этом случае для малых значений приращения ∆х:
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
где оу - малая величина более высокого порядка.
В случае необходимости величина погрешности может быть оценена посредством разложения функции у(х) в ряд Тейлора в окрестности точки х0. Замена точного значения приращения функции ее дифференциалом в окрестности х0 называется линеаризацией зависимости у=у(х). Геометрически такая линеаризация выглядит следующим образом:
Рисунок 3. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Эта линеаризация означает замену исходной кривой АВ отрезком ее касательной А’B’ в точке О’. В том случае, когда выходная величина представляет собой функцию нескольких переменных, линеаризация осуществляется в соответствии с определением полного дифференциала функции нескольких переменных как суммы частных дифференциалов. Допустим, что выходная величина у является функцией переменных х и U, тогда приращение будет выглядеть следующим образом:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
