Закон Гука

Ученик Роберта Бойля и современник Ньютона известный английский естествоиспытатель Роберт Уайт Гук (Рис.1) родился в небольшой деревушке Фрешуотер на острове Уайт в семье священника местной церкви в 1635г. Около 1660 года им была сформулирована закономерность «ut tensio sic vis», что в переводе с латыни означало «каково удлинение, такова сила». В печатных источниках это правило, носящее сегодня название «закон Гука», впервые было упомянуто в 1676г. в виде анаграммы «ceiiinosssttuv», а в более развёрнутом виде изложено в 1678г. в труде «De potentia restitutiva» Умер Роберт Уайт Гук в 1703 году в Лондоне. Его учёба и научная деятельность связаны с Оксфордским университетом и Лондонским королевским обществом.

Рисунок 1. Роберт Уайт Гук, 1635-1703гг. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Закон Гука в современном сопромате

Современная наука о сопротивлении материалов формулирует так: «В изотропном материале в интервале от 0 до предела пропорциональности, упругие деформации прямо пропорциональны напряжениям. Графически это иллюстрирует Рис.2.

Рисунок 2. Диаграмма напряжений для стали. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Следует подчеркнуть, что закон Гука выполняется только для напряжений, находящихся в пределах, не превышающих значения предела пропорциональности. Он описывает линейную зависимость между напряжением и деформацией, а не силой и перемещением, устанавливая линейные зависимости, присущие состоянию материала в точке. Из этого следует, что коэффициент пропорциональности представляет собой константу материала, а закон выражает свойства материала, а не изготовленной из него конструкции.

Одновременно заметим, что в описываемых пределах полагают действующим принцип суперпозиции (независимости) действующих сил. В соответствии с ним внутренние силы и перемещения, возникающие в упругом теле, полагаются независимыми от очерёдности приложения внешних сил. Это означает, что если к телу приложено несколько сил, то можно определить силы реакции (внутренние силы), а также напряжения, перемещения и деформации по отдельности для действия каждой внешней силы, а затем получить их равнодействующую как результат сложения векторов сил реакций на соответствующие внешние силы.

Рассмотрим приложение закона Гука к расчётным случаям:

1. «Растяжение - сжатие»;
2. «Изгиб».
3. «Произвольное нагружение» - обобщённый закон Гука.

Для 1-го и 2-го случаев полагаем, что нагрузки прилагаются к стержню, имеющему неизменное сечение по всей длине. Рассмотрим оговоренные схемы нагружений.

Случай 1

Для рассматриваемого интервала будет действовать зависимость:

$\large \sigma =E\varepsilon$, (1)

где:

• $σ$ – нормальное напряжение,
• $E$ - модуль упругости материала,
• $ε$ – относительная продольная деформация.

Поскольку $\large \sigma =F/S$ (2), где:

• $F$ – продольная сил,
• $S$ – площадь поперечного сечения стержня.

$\large \varepsilon =\frac{\Delta L}{L}$ (3), где

• $\Delta L$- удлинение стержня под действием силы $F$,
• $L$ – первоначальная длина стержня, то:

$\large \frac{F}{S}=E\frac{\Delta L}{L}$ ,(4) откуда:

$\large \Delta L=\frac{FL}{SE}$ (5)

Случай 2

Для описания изгиба в формуле (5) следует заменить величины, присущие случаю «растяжение - сжатие» на аналогичные, описывающие «изгиб». Таким образом получим:

$\large \frac{1}{\rho }=\frac{M}{E_{Jx}}$ , (6) где:

• $ ρ$ – радиус кривизны продольной оси стержня;
• $M$ – внутренний изгибающий момент;
• $ E$ - модуль Юнга;
• $J_x$ – момент инерции относительно оси X.

Случай 3. Обобщённый закон Гука

Рисунок 3. Обобщённый закон Гука. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В общем случае нагружения образца из изотропного материала произвольной нагрузкой, напряжённое состояние отличается от одноосного. В этом случае применяется закон Гука в обобщённом виде

Рисунок 4. Обобщённый закон Гука. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Где:

• $ε$ – относительные деформации вдоль соответствующих осей;
• $ν$ — коэффициент Пуассона;
• $σ$ — нормальные напряжения по соответствующим площадкам элемента.

Потому что деформации в поперечных направлениях тоже влияют на изменение продольных размеров.

Для чистого сдвига

Рисунок 5. Формулы для чистого сдвига. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Где:

• $γ$ — Угловое перемещение соответствующей площадки элемента;
• $τ$ — Касательные напряжения;
• $G$ — Модуль упругости II рода (модуль сдвига).