Модели пористых сред. Закон Дарси

Закон Дарси. Техническая реализация закона. Способы записи закона Дарси

Анри Дарси получил известность благодаря сооружению водопровода в городе Дижон. В 1856 году он смог обосновать закон, который связывал скорость фильтрации жидкости с градиентом давления. В последние годы своей жизни Дарси занимался опытами в области законов движения воды в открытых каналах. Благодаря его исследованиям удалось сделать полезные выводы относительно воздействия профиля русла на коэффициенты сопротивления движению воды.

Закон Дарси устанавливает линейную зависимость между гидравлическим градиентом (перепад давления, уклон) и объемным расходом газа или жидкости в таких пористых структурах, как:

1. Мелкозернистые грунты.
2. Глинистые грунты.
3. Песчаные грунты.

Данный закон можно выразить через следующую формулу:

Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, Q - объемный расход жидкости; v - скорость фильтрации жидкости или газа; F - эффективная площадь рассматриваемого объема пористой среды (площадь поперечного сечения образца); k - коэффициент проницаемости пористой среды; р1, р2 - давления, которые созданы на концах испытуемого образца; u - абсолютная вязкость (для жидкости); L - длина фильтрующей части породы.

Коэффициент фильтрации в законе Дарси представляет собой одновременно характеристики среды и жидкости. Значение данного коэффициента зависит от следующих факторов: вязкости жидкости, размер частиц, пористость среды, форма частиц, степень шероховатости. Он применяется, как правило, в гидротехнических расчетах, в которых жидкостью является вода.

При изучении течений газов и жидкостей в пористой среде, в фундаментальной механике сплошных сред, используется дифференциальная форма закона Дарси, которая выглядит следующим образом:

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, P - внешнее давление; p - плотность флюида; n - динамическая вязкость флюида; g - ускорение свободного падения; z - вертикальная координата; K - коэффициент проницаемости.

Закон Дарси также возможно представить в виде уравнения баланса сил:

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, f - поле внешних сил; n - динамическая вязкость газа или жидкости; K = nk / pg - коэффициент проницаемости.

Таким образом, полную систему уравнений фильтрации, включающую условие не сжимаемости, можно записать следующим образом:

Рисунок 4. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

При условии, что поле скорости фильтрации имеет скалярный потенциал (то есть коэффициент проницаемости постоянен), то закон Дарси можно записать в форме уравнения Лапласа:

Рисунок 5. Уравнение Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, h - напор

Из условия не сжимаемости получается уравнение Лапласа с граничным условием:

Рисунок 6. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где n - вектор нормали к поверхности.

Техническая реализация закона Дарси происходит при помощи лабораторной установки, использующейся для изучения реальных и модельных характеристики пористых пород. Схема данной установки изображена на рисунке ниже.

Рисунок 7. Схема установки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1 - насос с жидкостью или баллон с газом; 2 - вентиль; 3 - регулятор давления; 4 - входной манометр; 5 - модель пористой среды; 6 - выходной манометр; 7 - расходомер.

Закон Дарси используется для расчета фильтрации жидкостей, которые подчиняются закону Навье-Стокса. Для фильтрации некоторых видов нефтей связь между скоростью фильтрации и градиентом давления может быть нелинейной. Для ньютоновских жидкостей применение закона Дарси ограничено маленькими скоростями фильтрации (число Рейнольдса).

Модели пористых сред

Первые исследования порового пространства осуществлялись при помощи идеализированных моделей грунта, называемых:

1. Идеальным грунтом.
2. Фиктивным грунтом.

Под идеальным грунтом понимается модель пористой среды, каналы которой представляют собой пучки тонких капилляров в виде цилиндров, имеющих параллельные оси. Фиктивный грунт - модель пористой среды, которая состоит из шариков одинакового диаметра. Американский гидрогеолог Слихтер смог упростить теорию фильтрации, что позволило сравнить течение жидкости по порам с движением жидкости по цилиндрическим трубкам. Слихтер, основываясь на модели фиктивного грунта, рассмотрел геометрическую задачу, что позволило связать пористость с углами, которые образованы радиусами соприкасающихся между собой шаров - моделирующих пористую среду, при различной упаковке.

Если объем пустот при воздействии нагрузок не деформируется, то среда – недеформируемая, если деформируется и после снятия нагрузки не восстанавливается, то среда – деформируемая, в случае, если деформируется, но при снятии нагрузки восстанавливается – среда упругая.

Геометрическим параметром, который характеризует размер порового пространства является эффективный диаметр. Данный показатель определяется при помощи механического анализа грунта. Эффективный диаметр, который слагает пористую среду, представляет собой диаметр шаров, которые образовывают фиктивный грунт, в котором гидравлическое давление (оказываемое фильтрующей жидкостью) в эквивалентном и реальном фиктивном грунте одинаково. Эффективный диаметр можно выразить следующей формулой:

Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, di - средний диаметр i фракции; n - число частиц фракции.

Использование закона Дарси и моделей пористых систем в нефтегазовой промышленности позволяет уже на ранних стадиях проектирования разработки месторождения нефти или природного газа качественно определить основные параметры работы, что будет способствовать техническому и экономическому успеху.