Символы узлов

Кристаллографическое индицирование

Допустим, что один из узлов пространственной решетки (представленной на рисунке ниже) выбран за начало координат, тогда любой узел этой решетки может быть определен радиус-вектором:

$R = m1a+m2b+m3c$

где, m1. m2. m3 - индексы данного узла; a. b. c - параметры элементарной ячейки рассматриваемой пространственной решетки.

Рисунок 1. Пространственная решетка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Совокупность чисел m, которая записывается следующим образом - $[[m1m2m3]]$ - символ узла. Здесь числа должны записываться в ряд без запятой, но читаются порознь. Запятая может быть поставлена только в том случае, если индекс состоит из двух знаков. Знак минус записывается над цифрой.

На первом представленном выше рисунке указаны символы нескольких узлов в косоугольной плоской сетке, на втором рисунке обозначены символы вершин, центра элементарной ячейки, центров граней, такая запись возможна в том случае, когда одна из вершин ячейки принимается за начало координат. В сложных кристаллических решетках для тех узлов, которые не лежат в вершинах элементарных ячеек числа m будут в виде дробей.

Индексы узловых рядов и сеток. Межплоскостные расстояния

В любой решетке можно провести большое количество узловых рядов ориентации, как показано на рисунке ниже. Серии узловых рядов, которые параллельны друг другу в качестве символа приписываются индексы самого близкого к началу координат узла, через который проходит ряд узлов, непосредственно пересекающий начало координат. Семейство узловых рядов обозначается следующим образом $[mnp]$. В рассматриваемой решетке указаны узловые ряды четырех различных серий со следующими символами $[210], [010], [110], [120]$. В данном случае подразумевается, что изображенные на рисунке узловые ряды находятся в плоскости XY кристалла, поэтому третий индекс во всех символах равен нулю.

Рисунок 3. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В любой кристаллической решетке возможно провести большое количество серий узловых сеток различной ориентации, как показано на рисунке ниже.

Рисунок 4. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Каждая серия узловых сеток характеризуется следующими параметрами:

1. Наклон к координатным осям.
2. Собственное межплоскостное расстояние.

Наклон семейства сеток передается при помощи символов $[hkl]$. Индексы серии сеток h,k,l являются количеством частей, на которое разбиваются ребра элементарной ячейки рассматриваемом семействе узловых сеток. На вышепредставленном рисунке изображены сетки с индексами (100), (110) и (320). В данном случае подразумевается, что показанные решетки параллельны оси Z - не пересекается с ребром, поэтому третий индекс везде равняется нулю. Предположим, что оси X, Y, Z выбраны таким образом, что построенный на параметрах a, b, c параллелепипед пустой, то есть в нем не содержится дополнительных узлов ни на гранях, ни в объеме. Такая решетка называется примитивной. Можно доказать следующее, очень важное положение: индексы любого семейства узловых сеток в примитивной решетке не имеют общего множителя. Сетка, которая относится к серии (hkl) и самая близкая к началу координат отсекает на осях следующие отрезки:

1. a/h,
2. b/k,
3. c/l.

Уравнение для такой сетки выглядит следующим образом:

$x/(a/h)+y/(b/k)+z/(c/l) = 1$

или

$h*(x/a)+k*(y/b)+l*(z/c)=1$

Таким образом рассматриваемая сетка узлов является узловой. Такая узловая сетка проходит через некоторые точки со следующими координатами:

$x=m*a$

$y=n*b$

$z=p*c$

где, m, n, p - целые числа

Получается, что удовлетворяется следующее равенство:

$mh+nk+pl = 1$

Это возможно только в том случае, когда mh, nk, pl, а следовательно, и h, k, l не имеют общего множителя.

Важной характеристикой семейства узловых сеток является межплоскостное расстояние, зависящее от индексов серии и параметров решетки. В общем случае данная зависимость выглядит следующим образом:

Рисунок 5. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, dhkl - межплоскостное расстояние; $s = 1-cos^2a-cos^2β-cos^2y+2cosa\cosβ\ cosy$.