Следом (от английского «trace», что в переводе значит «отпечаток, след») матрицы называют сумму её элементов, стоящих на главной диагонали.
Математически след для матричной таблички размерности $n$ в общей форме записывается так:
$\mathrm{tr} A = \sum \limits_i^n a_{11} + a_{22} + … + a_{nn}$.
Определить след можно только для квадратных матриц.
Если значение $\mathrm{tr} A$ равно нулю, то такую матрицу принято называть бесследовой.
Основные свойства следа:
- След суммы двух матриц $A$ и $B$ равен сумме следов этих матриц;
- След $A^T$ равен следу $A$;
- $\mathrm{tr} (AB) =\mathrm{tr}(BA)$;
Найти след $A$:
$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$
$\mathrm{tr}A = 0 + 4 + 5 = 9$.
Рассмотрим также для примера матрицу размерностью четыре.
Найдите след $B$:
$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & -9 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$.
$\mathrm{tr} B = 1 + 6 + 9 + 0 = 16$.
Ну и напоследок табличка размером пять:
$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -2 & -3 & -2\\ \end{pmatrix}$
$\mathrm{tr} C = 1 + 4 + (-3) + 0 + ( -2) = 0$ — а вот и бесследовая матрица.
