След квадратной матрицы

Источник статьи

Автор статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Следом (от английского «trace», что в переводе значит «отпечаток, след») матрицы называют сумму её элементов, стоящих на главной диагонали.

Математически след для матричной таблички размерности $n$ в общей форме записывается так:

$\mathrm{tr} A = \sum \limits_i^n a_{11} + a_{22} + … + a_{nn}$ .

Замечание 1

Определить след можно только для квадратных матриц.

Если значение $\mathrm{tr} A$ равно нулю, то такую матрицу принято называть бесследовой.

Основные свойства следа:

След суммы двух матриц $A$ и $B$ равен сумме следов этих матриц;
След $A^T$ равен следу $A$ ;
$\mathrm{tr} (AB) =\mathrm{tr}(BA)$ ;

Пример 1

Найти след $A$ :

$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$

$\mathrm{tr}A = 0 + 4 + 5 = 9$ .

Рассмотрим также для примера матрицу размерностью четыре.

Пример 2

Найдите след $B$ :

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & -9 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ .

$\mathrm{tr} B = 1 + 6 + 9 + 0 = 16$ .

Ну и напоследок табличка размером пять:

Пример 3

$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -2 & -3 & -2\\ \end{pmatrix}$

$\mathrm{tr} C = 1 + 4 + (-3) + 0 + ( -2) = 0$ — а вот и бесследовая матрица.

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2024

Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot