Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Производная от синуса

Производная от синуса x получается путём стандартной процедуры для вывода производных, а именно, функция y, равная sinx рассматривается как функция f от икс: f(x)=sinx. Рассмотрим функцию y в точке x, придав ей приращение, равное Δx:

f(x+Δx)=sin(x+Δx);

Напишем, чему равно приращение Δy в этом случае:

Δy=f(x+Δx)f(x)=sin(x+Δx)sinx(1)

Вспомним формулу разности синусов, она выглядит следующим образом:

sinαsinβ=2sinαβ2cosα+β

Применим её для преобразования полученного нами ранее равенства (1):

sin(x+Δx)sinx=2sinx(x+Δx)x2cos(x+Δx)x2=2sinΔx2cos2x+Δx2=2sinΔx2cos(x+Δx2).

Теперь рассмотрим, чему равно отношение приращения y к приращению x:

ΔyΔx=2sinΔx2cos(x+Δx2)Δx(2).

Обозначим дробь Δx2 за новую переменную, назовём её a и перепишем выражение (2) с её использованием:

ΔyΔx=sinacos(x+a)a(2).

Определим, чему равен предел выражения (3) при Δx0:

limΔx0ΔyΔx=limΔx0sinacos(x+a)a(3).

Так как Δx0, а a есть не что иное, как Δx2, то a также стремится к нулю. Перепишем выражение (3) в соответствии с этим:

lima0ΔyΔx=lima0sinaalima0cos(x+a).

Первый предел в получившемся выражении равен единице, а второй, так как функция косинуса непрерывна, равен cosx.

Таким образом, мы с вами вывели доказательство того, что производная от sinx равна косинусу

(sinx)=cosx.

Пример 1

Найти, чему равны производные функций:

  1. y=sin x+ 3

  2. y=4sin x+ cos x.

Решение:

  1. (sinx+3)=cosx

  2. (4sinx+cosx)=4cosxsinx

Дата последнего обновления статьи: 16.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Производная от синуса"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant