Производная от синуса

Производная от синуса x получается путём стандартной процедуры для вывода производных, а именно, функция $y$, равная $\sin x$ рассматривается как функция $f$ от икс: $f(x)= \sin x$. Рассмотрим функцию $y$ в точке $x$, придав ей приращение, равное $Δx$:

$f(x+ Δx)=\sin(x + Δx)$;

Напишем, чему равно приращение $Δy$ в этом случае:

$Δy=f(x + Δx) - f(x)=\sin(x + Δx)-\sin x\left(1\right)$

Вспомним формулу разности синусов, она выглядит следующим образом:

$\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α-β}{2} \cdot \cos{α + β}$

Применим её для преобразования полученного нами ранее равенства $(1)$:

$\sin(x + Δx)-\sin x=2\sin x \frac{ (x + Δx)-x}{2} \cdot \cos \frac{ (x + Δx)-x}{2} = 2 \sin \frac{Δx}{2} \cdot \cos \frac{2x+Δx}{2}=2 \sin \frac{ Δx}{2} \cos(x+\frac{Δx}{2})$.

Теперь рассмотрим, чему равно отношение приращения $y$ к приращению $x$:

$\frac{Δy}{Δx}=\frac{2 \sin \frac{Δx}{2} \cos(x+\frac{Δx}{2})}{Δx}\left(2\right)$.

Обозначим дробь $\frac{Δx}{2}$ за новую переменную, назовём её $a$ и перепишем выражение $(2)$ с её использованием:

$\frac{Δy}{Δx}=\frac{\sin a \cos (x+a)}{a}\left(2\right)$.

Определим, чему равен предел выражения $(3)$ при $Δx \to 0$:

$\lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx \to 0}\frac{\sin a \cos (x+a)}{a}\left(3\right)$.

Так как $Δx \to 0$, а $a$ есть не что иное, как $\frac{Δx}{2}$, то $a$ также стремится к нулю. Перепишем выражение $(3)$ в соответствии с этим:

$\lim_{a \to 0} \frac{Δy}{Δx}=\lim_{a \to 0} \frac{\sin a}{a} \cdot \lim_{a \to 0} \cos(x+a)$.

Первый предел в получившемся выражении равен единице, а второй, так как функция косинуса непрерывна, равен $\cos x$.

Таким образом, мы с вами вывели доказательство того, что производная от $\sin x$ равна косинусу

$(\sin x)’= \cos x$.