Производная от синуса x получается путём стандартной процедуры для вывода производных, а именно, функция y, равная sinx рассматривается как функция f от икс: f(x)=sinx. Рассмотрим функцию y в точке x, придав ей приращение, равное Δx:
f(x+Δx)=sin(x+Δx);
Напишем, чему равно приращение Δy в этом случае:
Δy=f(x+Δx)−f(x)=sin(x+Δx)−sinx(1)
Вспомним формулу разности синусов, она выглядит следующим образом:
sinα−sinβ=2sinα−β2⋅cosα+β
Применим её для преобразования полученного нами ранее равенства (1):
sin(x+Δx)−sinx=2sinx(x+Δx)−x2⋅cos(x+Δx)−x2=2sinΔx2⋅cos2x+Δx2=2sinΔx2cos(x+Δx2).
Теперь рассмотрим, чему равно отношение приращения y к приращению x:
ΔyΔx=2sinΔx2cos(x+Δx2)Δx(2).
Обозначим дробь Δx2 за новую переменную, назовём её a и перепишем выражение (2) с её использованием:
ΔyΔx=sinacos(x+a)a(2).
Определим, чему равен предел выражения (3) при Δx→0:
limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0sinacos(x+a)a(3).
Так как Δx→0, а a есть не что иное, как Δx2, то a также стремится к нулю. Перепишем выражение (3) в соответствии с этим:
lima→0ΔyΔx=lima→0sinaa⋅lima→0cos(x+a).
Первый предел в получившемся выражении равен единице, а второй, так как функция косинуса непрерывна, равен cosx.
Таким образом, мы с вами вывели доказательство того, что производная от sinx равна косинусу
(sinx)′=cosx.
Найти, чему равны производные функций:
y=sin x+ 3
y=4sin x+ cos x.
Решение:
(sinx+3)′=cosx
(4sinx+cosx)′=4cosx−sinx