Навыки нахождения интегралов могут пригодиться не только в математике, но и в других точных дисциплинах. Рассмотрим различные примеры по решению неопределённых интегралов и правила, по которым они решаются.
Структура статьи следующая: сначала даётся правило, а затем приводятся примеры его применения. Для удобства мы также вставили таблицу с простейшими интегралами.
Использование таблицы
Рисунок 1. Табличные значения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таблица является основой интегрального исчисления. Для того чтобы использовать её, достаточно лишь найти необходимые значения. Рассмотрим примеры использования простейших табличных интегралов.
Найти, чему равны следующие выражения:
a) $\int x^6 dx$;
б) $\int e^x dx$;
в) $\int \cos x dx$.
Такие интегралы решать очень просто, нужно либо иметь таблицу под рукой, либо её помнить:
a) $\int x^6 dx= \frac{x^7}{7}+ C$. Здесь $n= 6$, соответственно, в знаменателе и в степени будет $n+1=7$.
б) $\int e^x dx= e^x + C$;
в) $\int \cos x dx = \sin x + C$.
Вынесение множителя за знак интеграла и интеграл от суммы
К сожалению, очень редко интегральные выражения представляют собой лишь простые табличные формулы. Поэтому при решении интегралов как минимум стоит помнить помимо самой таблицы ещё эти два правила:
$\int (a(x) + b(x)) dx = \int a(x) \cdot dx + \int b(x) \cdot dx$, здесь $a(x)$ и $b(x)$ — некоторые многочлены.
$\int k \cdot dx = k \cdot \int dx$, здесь $k$ — некоторый коэффициент-константа.
Осуществите нахождение значений следующих выражений:
a) $\int 5x + 7x^2$;
б) $\int (2x^2 + 1)^3 dx$.
a) $\int 5x + 7x^2= 5\int x dx + 7\int x^2 dx = \frac{5 \cdot x^2}{2} + \frac{7 \cdot x^3}{3} + C $.
Здесь пользуемся формулой интеграла суммы, а затем выносим пятёрку и семёрку за знак интеграла, в конечном итоге получаем сумму дробей.
б) $\int (2x^2 + 1)^3 dx = \int (8x^6 + 12 x^4 + 6x^2 + 1) dx = 8\int x^6 dx + 12 \int x^4 dx+ 6 \int x^2 dx + \int dx = \frac{8x^7}{7} + \frac{12 x^5}{5} + 2x^3 + C$
Здесь сначала необходимо возвести в куб всё выражение, а затем осуществить то же, что и в предыдущем примере — воспользоваться формулой для интеграла суммы и вынести постоянные коэффициенты за знак интеграла.
Интегрирование с использованием замены переменной
Этот способ подразумевает использование правила $\int f(x) dx = \int f(φ(t)) \cdot φ’(t)\cdot dt$. Сразу после вычисления подынтегрального значения переходят от введённой новой переменной $t$ к старой переменной $x$.
Найти следующие интегралы:
a) $e^{\frac{x}{5}}$;
б) $\int x \cdot \sqrt{x-7} dx$.
а) В этом примере мы имеем дело с интегралом от e, табличное значение для которого довольно простое.
Итак, произведём замену. Пусть $x=5t$, тогда $dx = 5dt$.
Подставим это в наше выражение:
$e^{\frac{x}{5}}=5 \int e^t dt = 5e^t + C = 5e^{\frac{x}{5}}$.
б) Здесь для замены возьмём $x-7=t$, тогда $x=t^2 + 7$, а $dx=2t \cdot dt$:
$\int x \cdot \sqrt{x-7} dx = \int (t^2 + 7) \cdot t \cdot 2t \cdot dt = 2 \int (t^4+7t^2) dt = 2 \int t^4 dt + 14 \int t^2 dt = 2 \cdot \frac{x^5}{5} + 14 \cdot \frac{t^3}{3} + C = \frac25 (x-7)^{5/2} + \frac{14}{3}(x-7)^{3/2} + C$.
Занесение под дифференциал
Здесь в основе используется закономерность $f’(u)du=d(f(u))$. Смысл данного действия в том, что под буквой $d$ нужно получить новое значение, равное не $du$, а $d(f(u))$ и затем проинтегрировать.
Воспользуйтесь выше обозначенным методом и найдите следующие интегралы:
a) $\frac{dx}{x+5}$;
б) $(2x-3)^9 dx$.
а) $\frac {dx}{x+5} = \int \frac{d(x+5)}{x+5} = \ln|x+5| + C$
б) $(2x-3)^9 dx = \frac12 \int (2x – 3)^9 d(2x-3) = \frac12 \cdot \frac{(2x-3)^{10}}{10} + C = \frac{(2x-3)^{10}}{20} + C$
В примере а) под дифференциал заносится $(x+5)$ и так как при $x$ нет никаких коэффициентов, то и выносить перед интегралом ничего не нужно. В примере же
б) необходимо после занесения под знак дифференциала выражения $(2x – 3)$ для соблюдения равенства перед интегралом дописать $\frac12$.
Интегрирование по частям
Данное правило по сути является обратным к предыдущему:
$\int d(u \cdot v) = \int u \cdot dv + \int v \cdot du$ или в другой форме — $\int u dv = u \cdot v - \int v \cdot du$
Этот метод позволяет не вычислять интеграл $\int u \cdot dv$, а ограничиться вычислением интеграла $ \int v \cdot du$. Используя это правило, исходное выражение для проведения интегрирования разбивается на два множителя, причём к первому затем применяется дифференцирование, а ко второму — интегрирование.
Чему равно выражение $\int x^5 \ln x$?
Пусть $\ln x= u$, a $dv=x^4dx$, следовательно, $du=\frac{dx}{x}, v=\frac{1}{6} x^6$.
Подставляем всё и получаем:
$\int x^5 \ln x dx = \frac{1}{6} x^6 \ln x - \frac{1}{6} \int x^5 dx = \frac{1}{6} x^6 ln x - \frac{1}{36} x^6 + c$.
Интегралы от тригонометрических функций
Для того чтобы осуществить вычисление интеграла от подынтегрального выражения, содержащего тригонометрические функции, используется универсальная подстановка $\mathrm{tg} \frac{x}{2}= t$, например, в этом случае $\sin x$ приобретает следующий вид: $\sin x = \frac{2\mathrm{tg}\frac{x}{2}} {1 + \mathrm{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2t}{1+t^2}$.
Чему равен интеграл $\int \frac{dx}{3+\sin x + \cos x}$?
Воспользуемся подстановкой:
$\mathrm{tg} \frac{x}{2}= t$, в этом случае $dx= \frac{2dt}{1+t^2}, \sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, а $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
Получаем:
$\int \frac{dx}{3+\sin x + \cos x} = \int \frac{2dt}{(1+t^2)(3+\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2})}= \int \frac{dt}{t^2+t+2}= \int\frac{d(t+\frac12)}{(t+\frac12)^2 + \frac{7}{4}} = \frac{2}{\sqrt{7}} \mathrm{arctg} \frac{t+\frac12}{\sqrt{7}/2} + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \mathrm{arctg} \frac{1+2\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{\sqrt7} + C$.
Интегрирование выражений, содержащих иррациональности с возможностью выделить полный квадрат
К данным интегралам относятся интегралы, подходящие под следующие формулы:
$\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}; \int \sqrt{ax^2 + bx + c}dx$ и $\int \frac{mx+n}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$.
Для того чтобы их решить, под знаком корня выделяют полный квадрат:
$ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = a \cdot ((x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a^2}$.
После этого можно сделать замену $x+\frac{b}{2a}=t$, в результате чего данный тип интегралов можно свести к табличным или их сумме.
