Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя было открыто шведским математиком Иоганном Бернулли, который затем рассказал в письме о нём Лопиталю. Лопиталь же опубликовал это правило в первом учебнике по дифференциальному исчислению в 1696 году со своим авторством.

Правило Лопиталя применяется для выражений, сводимых к неопределенностям следующего вида:

$\frac{0}{0} \begin{array}{ccc} {} & {} & {\frac{\infty }{\infty } } \end{array}$

Вместо нуля в первом выражении может быть какая-либо бесконечно малая величина.

В общем случае правилом Лопиталя можно воспользоваться, если и в числителе, и в знаменателе одновременно нуль или бесконечность.

Условия, при которых можно применять правило Лопиталя:

• Соблюдается условие, при котором пределы функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x$ стремящемся к $a$ равны между собой и стремятся к нулю или бесконечности: $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to a} g(x)=0$ или $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to a} g(x)=\infty$;
• Возможно получить производные $f(x)$ и $g(x)$ в окрестности $a$;
• Производная функции $g(x)$ не нулевая $g'(x)\ne 0$ в окрестности $a$;
• Предел отношения производных функций $f(x)$ и $g(x)$, в записи выглядящий как $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ существует.

Доказательство правила Лопиталя:

1. Пусть даны функции $f(x)$ и $g(x)$, причём наблюдается равенство пределов:
2. $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} g(x)=0$.
3. Доопределим функции в точке $a$. Для этой точки будет справедливым условие:
4. $\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} =\frac{f'(c)}{g'(c)}$.
5. Величина $c$ зависит от $x$, но если $x\to a+0$, то $c\to a$.
6. $\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} \frac{f(x)}{g(x)} =\mathop{\lim }\limits_{c\to a+0} \frac{f'(c)}{g'(c)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a+0} \frac{f'(c)}{g'(c)}$.

Алгоритм вычисления решения с использованием правила Лопиталя

1. Проверка всего выражения на неопределенность.
2. Проверка всех условий, изложенных выше перед дальнейшим использованием правила Лопиталя.
3. Проверка стремления производной функции к $0$.
4. Повторная проверка на неопределенность.

Пример № 1:

Найти предел:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} +5x}{3x}$

Решение:

Проверим условия применимости правила Лопиталя:

• Предел функции $f(x)$ равен пределу $g(x)$ и оба они равны нулю: $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} (x^{2} +5x)=0$; $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} g(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} (3x)=0$
• $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в окрестности $a$
• $g'(x)=3\ne 0$ в окрестности $a$
• $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{2x+5}{3}$

Запишем производную и найдем предел функции:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} +5x}{3x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(x^{2} +5x\right)'}{\left(3x\right)'} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{2x+5}{3} =\frac{0+5}{3} =\frac{5}{3}$

Пример № 2:

Найти предел:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} +2x}{x^{3} -x}$

Решение:

Проверим условия применимости правила Лопиталя:

• $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (x^{3} -3x^{2} +2x)=\infty$; $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} g(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (x^{3} -x)=\infty$
• $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в окрестности $a$
• $g'(x)=6\ne 0$ в окрестности $a$
• $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3x^{2} -6x+2}{3x^{2} -1}$

Запишем производную и найдем предел функции:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} +2x}{x^{3} -x} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(x^{3} -3x^{2} +2x\right)'}{\left(x^{3} -x\right)'} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3x^{2} -6x+2}{3x^{2} -1} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle$

Повторяем вычисление производной пока не избавимся от неопределенности:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(3x^{2} -6x+2\right)'}{\left(3x^{2} -1\right)'} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{6x-6}{6x} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(6x-6\right)'}{\left(6x\right)'} =\frac{6}{6} =1$

Пример № 3:

Найти предел:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{x}$

Решение:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(\sin 5x\right)'}{\left(x\right)'} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{5\cos 5x}{1} =5\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \cos 5x=5$

Пример № 4:

Найти предел:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (1+x^{2} )^{1/x}$

Решение:

Прологарифмируем функцию:

$\ln y=\frac{1}{x} \ln (1+x^{2} )=\frac{\ln (1+x^{2} )}{x}$

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\ln (1+x^{2} )}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left[\ln (1+x^{2} )\right]'}{x'} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\frac{2x}{1+x^{2} } }{1} =0$

Поскольку функция $ln(y)$ — непрерывная, получим:

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (\ln y)=\ln (\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y)$

Следовательно,

$\ln (\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y)=0$

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y=1$

Значит,

$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (1+x^{2} )^{1/x} =1$