Пересечение и объединение множеств

В результате математических операций над множествами из исходных множеств получается новое множество, причем этот результат однозначен. Примерами таких операций являются пересечение и объединение множеств. Эти операции производятся по определенным правилам, о которых пойдет речь ниже.

Обозначения множеств. Знаки объединения и пересечения множеств

Для обозначения множеств применяется специальная система символов. Самый простой способ описать множество - использование фигурных скобок, внутри которых элементы перечисляются через запятую:

$A = \{0, -1, 2, 5, 8, 77\}$

Недостатком такой записи является то, что с ее помощью задать множество можно только если оно содержит конечное и не слишком большое количество элементов. Поэтому чаще используется универсальный способ определения множеств - с помощью характеристического свойства, т.е. такого, которое присуще всем его элементам множества, и которым не обладают объекты вне множества:

$A = \{x \vee P(x)\}$,

где $P(x)$ — характеристическое свойство.

В такой форме объединение записывается как

$A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$,

а пересечение как

$A \cap B = \{x | x \in A \wedge x \in B\}$

Знаки $\vee$ и $\wedge$ обозначают, соответственно, "или" и "и". Знак $|$ читается как "таких, что".

Для обозначения множеств как числовых интервалов используются круглые и квадратные скобки. Например, запись $[4, 24)$ означает, диапазон чисел от $4$ до $24$, причем число $4$ в это множество входит, а $24$ нет, хотя любое число меньше $24$ этому множеству принадлежит.

Для графического выражения операций пересечения и объединения применяются знаки пересечения и объединения множеств:

• $A \cup B$ - объединение множеств $A$ и $B$$;;
• $A \cap B$ - пересечение множеств $A$ и $B$$..

Для мнемонического запоминания этих знаков можно представить, что знак объединения $\cup$ похож на емкость с открытым верхом, куда можно что-то складывать. Знак пересечения $\cap$, напротив, представляет собой как бы перевернутый стакан, препятствующий проникновению внутрь неподходящих элементов.

Правила нахождения пересечений и объединений

Правила для нахождения пересечений и объединений множеств заключаются в следующем:

• для составления объединения числовых множеств нужно записать все элементы одного множества и к ним дописать недостающие элементы из остальных;
• для составления пересечения числовых множеств, надо последовательно брать элементы одного множества и проверять, принадлежат ли они другим исследуемым множествам; те, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Найдем объединение числовых множеств $A = \{3, 5, 7, 14\}$ и $B = \{2, 5, 8, 11, 12, 13\}$. К элементам множества $A$ $3, 5, 7, 14$ добавляем недостающие элементы множества $B$ $2, 8, 11, 13$. Результирующее множество будет выглядеть как $\{3, 5, 7, 14, 2, 8, 11, 13\}$. Это можно записать как

$A ∪ B = \{2, 3, 5, 7, 8, 11, 13, 14\}$.

Для нахождения пересечения этих же множеств, последовательно проверим элементы $A$ на их наличие внутри $B$. Так, элемент $3$ не принадлежит множеству $B$, значит он не войдет в состав пересечения. Число $5$ из $A$ принадлежит и $B$, а значит и пересечению.Число $7$ не принадлежит $B$ и пересечению, а число 14 принадлежит. Таким образом, пересечение $A = \{3, 5, 7, 14\}$ и $B = \{2, 5, 8, 11, 14, 13\}$ состоит из элементов $5$ и $14$. Это записывается как:

$A ∩ B = \{5, 14\}$.

Пересечение и объединение большего, чем 2 количества множеств сводится к последовательному нахождению пересечений и объединений: чтобы найти пересечение трех множеств $A$, $B$ и $C$ сначала находят пересечение $A$ и $B$, затем пересечение результирующего множества с $C$. Так, пересечение числовых множеств $A = \{3, 6, 4, 3, 55, 21\}$, $B = \{2, 7, 6, 21\}$ и $C = \{7, 6, 17, 3\}$ можно найти поэтапно. Сначала находим, что $A \cap B = \{6, 21\}$, затем полученное множество сравниваем с $C$ (это ${6}$). Получаем, что

$A \cap B \cap C = \{6\}$.

Метод нахождения объединений более двух множеств заключается в том, что к числам первого множества добавляют недостающие элементы из второго, затем недостающие из третьего и т.д. Например, если есть $A = \{1, 4\}$, $B = \{4, 3\}$ и $C = \{1, 3, 6, 7\}$, то к числам $1$ и $4$ из $A$ следует добавить число $3$ из $B$, а к полученному множеству ${1, 3, 4}$ нужно добавить $6$ и $7$ из $C$. В результате получаем объединение

$A \cup B \cup C = \{1, 3, 4, 6, 7\}$.

Для нахождения пересечения нескольких конечных множеств, нужно перебрать числа первого из них и выяснить, принадлежит ли текущий элемент каждому из рассматриваемых множеств. Если это условие не соблюдается, он не принадлежит пересечению. В качестве проверочного (элементы которого перебираются) следует выбирать множество с наименьшим числом элементов.

Рассмотрим множества $A = \{1, 3, 7, 12, 5, 2\}$, $B = \{0, 1, 2, 12\}$, $C = \{1, 2, 6, 7, 11\}$ и $D = \{1, 2, 6, 7, 8, 15\}$. Для поиска перебором задействуем $B$ как самое короткое. Элемент множества $B$ $0$ не входит в состав $A$, следовательно, в состав пересечения не войдет. Число $1$ входит в состав $A$, $C$ и $D$. Оно входит в состав их общего пересечения. Число $2$, принадлежащее $B$, входит в состав всех остальных множеств, т.е. входит в состав пересечения. Четвертый элемент проверяемого множества $12$ не входит в состав $D$ и в пересечение не войдет. Таким образом, найденное пересечение выглядит как

$A \cap B \cap C \cap D = \{1, 2\}$.

Исследование множеств с помощью координатной прямой

Исследовать и выражать пересечения и объединения числовых множеств удобно с помощью координатной прямой и выделяемых на ней числовых промежутков. Любая выбранная точка разбивает все расположенные на такой прямой числа на два открытых числовых луча. Например, точка с координатой $36,6$ создаст промежутки, записываемые как $(−∞, 36,6)$, $(36,6, +∞)$. Сама точка не входит в состав ни одного из них, поэтому числовая прямая, представляющая собой множество всех действительных чисел $R = (−∞, +∞)$, представляет собой в данном случае объединение $ (−∞, −36,6) \cup \{36,6\} \cup (36,6, +∞)$.

Если рассматриваемую точку со значением $36,6$ добавить к одному из открытых числовых лучей, т.е. промежутку $(−∞, 36,6)$ или $(36,6, +∞)$, то такой промежуток перестанет быть открытым. Это записывается как $(−∞, 36,6]$ или $[36,6, +∞)$, т.е. вхождение граничного числа в состав числового луча обозначается квадратной скобкой. Множество действительных чисел $R$ в этом случае будет выглядеть как

$(−∞, 36,6] \cup (36,6, +∞)$ либо $(−∞, 36,6) \cup [36,6, +∞)$.

Если разбить числовую прямую на части не точкой, а отрезком или лучом, то все рассмотренные закономерности будут соблюдаться и в этих случаях. Более того, они соблюдаются и при разбиении самих числовых промежутков (отрезков, лучей). Например, точка с координатой $14$ на промежутке $(5, 51]$ разобьет его на промежутки $(5, 14) ∪ \{14\} ∪ (14, 51]$. Включив точку в один из промежутков, можно получить такие записи, как $(5, 14] \cup (14, 51]$, $(5, 14) \cup [14, 51]$. Приняв за разбивающую точку число $51$, ограничивающее рассматриваемый промежуток справа и входящее в его состав, получим объединение множества $\{51\}$ и интервала $(5, 51)$, т.е. $(5, 51] = (5, 51) \cup \{51\}$.

Подобные закономерности справедливы и в случаях, когда координатная прямая разбивается на промежутки несколькими точками. Например, числа $−6$, $0$ и $7$ разобьют ее на промежутки $(−∞, −6)$, $(−6, 0)$, $(0, 7)$, $(7, +∞)$, а множество действительных чисел $R$ будет представлено как $(−∞, −6) ∪ \{−6\} ∪ (−6, 0) ∪ \{0\} ∪ (0, 7) ∪ \{7\} ∪ (7, +∞)$.

С помощью координатной прямой удобно анализировать пересечения и объединения множеств. Они изображаются друг под другом на координатных прямых с совпадающими точками и направлениями отсчета. Для отображения объединения множеств координатные прямые отмечают слева квадратной скобкой, для обозначения пересечения используется фигурная скобка.

На дополнительной координатной прямой, размещаемой под исходными, изображаются искомые пересечение или объединение. На ней все граничные точки исходных множеств отмечают поперечными чертами, а после уточнения - полыми или сплошными точками. Графически вхождение промежутка в пересечение или объединение изображается штриховкой, вхождение точки - сплошной точкой, невхождение – полой.

Пересечение множеств $A$ и $B$ графически отображается промежутками, над которыми есть штриховка, с добавлением отдельных точек, принадлежащих обоим множествам. Объединение графически проявляется там, где есть штриховка хотя бы у одного из множеств, а также всех сплошных точек.