Кроме сложения, вычитания и умножения матриц существует еще операция над матрицами, которая называется транспонированием матрицы. Полученная в результате данной операции матрица называется транспонированной и обозначается $A^{T} $.
Транспонированная матрица -- это матрица, которая получается из исходной матрицы А путем перестановки строк и столбцов.
Исходя из определения можно записать следующее: пусть дана матрица $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n} $, тогда транспонированная матрица будет иметь вид $A^{T} =\left(a_{ji} \right)_{n\times m} $.
Другими словами, чтобы получить транспонированную матрицу, необходимо взять каждую строчку по очереди и переписать ее в виде столбца, не меняя порядка следования.
Дана матрица $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)$. Составить матрицу $A^{T} $.
Решение:
\[A^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)\]Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:
- $(A^{T} )^{T} =A$;
- $(A+B)^{T} =A^{T} +B^{T} $;
- $(A\cdot B)^{T} =B^{T} \cdot A^{T} $;
- $(k\cdot A)^{T} =k\cdot A^{T} $;
- $\det A=\det A^{T} $
Даны матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)$ и число $k=4$.
Продемонстрируем на примерах некоторые свойства операции транспонирования.
Решение:
1) \[A^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right); \] \[(A^{T} )^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)=A.\] 2) \[A+B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {4} \\ {4} & {7} & {7} \\ {10} & {10} & {13} \end{array}\right)\] \[(A+B)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {4} \\ {4} & {7} & {7} \\ {10} & {10} & {13} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {10} \\ {4} & {7} & {10} \\ {4} & {7} & {13} \end{array}\right); \] \[B^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {2} & {2} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right)\] \[A^{T} +B^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {2} & {2} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {10} \\ {4} & {7} & {10} \\ {4} & {7} & {13} \end{array}\right)=(A+B)^{T} \] 3) \[k\cdot A=4\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {4} & {8} & {12} \\ {16} & {20} & {24} \\ {28} & {32} & {36} \end{array}\right)\] \[(k\cdot A)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {4} & {8} & {12} \\ {16} & {20} & {24} \\ {28} & {32} & {36} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {4} & {16} & {28} \\ {8} & {20} & {32} \\ {12} & {24} & {36} \end{array}\right)=4\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)=k\cdot A^{T} \]С понятием транспонированная матрица тесно связаны понятия симметрической матрицы и антисимметрической матрицы.
Симметрическая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет соотношению $A^{T} =A$.
Чтобы матрица А являлась симметрической, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
- матрица А -- квадратная матрица;
- равенство симметричных относительно главной диагонали элементов, т.е. $A_{ij} =A_{ji} $.
$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {0} & {-4} & {3} \\ {2} & {3} & {-1} \end{array}\right)$ - симметрическая матрица, так как $A^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {0} & {-4} & {3} \\ {2} & {3} & {-1} \end{array}\right)$.
Антисимметрическая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет соотношению $A^{T} =-A$.
Чтобы матрица А являлась антисимметрической, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
- матрица А -- квадратная матрица;
- равенство по модулю и различность по знаку симметричных относительно главной диагонали элементов, т.е. $A_{ij} =A_{ji} $.
Элементы, расположенные на главной диагонали антисимметрической матрицы, равны нулю.
$A=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-2} \\ {-1} & {0} & {5} \\ {2} & {-5} & {0} \end{array}\right)$ - антисимметрическая матрица
