Транспонированная матрица

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Кроме сложения, вычитания и умножения матриц существует еще операция над матрицами, которая называется транспонированием матрицы. Полученная в результате данной операции матрица называется транспонированной и обозначается $A^{T}$ .

Определение 1

Транспонированная матрица -- это матрица, которая получается из исходной матрицы А путем перестановки строк и столбцов.

Исходя из определения можно записать следующее: пусть дана матрица $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ , тогда транспонированная матрица будет иметь вид $A^{T} =\left(a_{ji} \right)_{n\times m}$ .

Другими словами, чтобы получить транспонированную матрицу, необходимо взять каждую строчку по очереди и переписать ее в виде столбца, не меняя порядка следования.

Пример 1

Дана матрица $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)$ . Составить матрицу $A^{T}$ .

Решение:

$A^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)$

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:

$(A^{T} )^{T} =A$ ;
$(A+B)^{T} =A^{T} +B^{T}$ ;
$(A\cdot B)^{T} =B^{T} \cdot A^{T}$ ;
$(k\cdot A)^{T} =k\cdot A^{T}$ ;
$\det A=\det A^{T}$

Пример 2

Даны матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)$ , $B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)$ и число $k=4$ .

Продемонстрируем на примерах некоторые свойства операции транспонирования.

Решение:

$(A^{T} )^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)=A.$ 2)

$A+B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {4} \\ {4} & {7} & {7} \\ {10} & {10} & {13} \end{array}\right)$

$(A+B)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {4} \\ {4} & {7} & {7} \\ {10} & {10} & {13} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {10} \\ {4} & {7} & {10} \\ {4} & {7} & {13} \end{array}\right);$

$B^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {2} & {2} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right)$

$A^{T} +B^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {2} & {2} & {2} \\ {1} & {1} & {4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {10} \\ {4} & {7} & {10} \\ {4} & {7} & {13} \end{array}\right)=(A+B)^{T}$ 3)

$k\cdot A=4\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {4} & {8} & {12} \\ {16} & {20} & {24} \\ {28} & {32} & {36} \end{array}\right)$

$(k\cdot A)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {4} & {8} & {12} \\ {16} & {20} & {24} \\ {28} & {32} & {36} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {4} & {16} & {28} \\ {8} & {20} & {32} \\ {12} & {24} & {36} \end{array}\right)=4\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9} \end{array}\right)=k\cdot A^{T}$

«Транспонированная матрица» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

С понятием транспонированная матрица тесно связаны понятия симметрической матрицы и антисимметрической матрицы.

Определение 2

Симметрическая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет соотношению $A^{T} =A$ .

Чтобы матрица А являлась симметрической, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

матрица А -- квадратная матрица;
равенство симметричных относительно главной диагонали элементов, т.е. $A_{ij} =A_{ji}$ .

Пример 3

$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {0} & {-4} & {3} \\ {2} & {3} & {-1} \end{array}\right)$ - симметрическая матрица, так как $A^{T} =\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {0} & {-4} & {3} \\ {2} & {3} & {-1} \end{array}\right)$ .

Определение 3

Антисимметрическая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет соотношению $A^{T} =-A$ .

Чтобы матрица А являлась антисимметрической, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

матрица А -- квадратная матрица;
равенство по модулю и различность по знаку симметричных относительно главной диагонали элементов, т.е. $A_{ij} =A_{ji}$ .