Левый и правый предел

Возможно, ранее вы уже познакомились с определением предела функции в точке, но для тех, кто подзабыл, напомним его:

Некоторое число называется пределом функции в точке $x_0$, если для любого $ε$ неравенство $|x-x_0|$

Математически это записывается в следующем виде: $\lim_{x \to x_0} f(x)= A$.

Данное определение также называется определением по Коши.

Теперь перейдём к определению понятия одностороннего предела.

Если функция стремится к какому-либо значению слева направо, то есть все значения, которые она принимает, меньше её предела, такой предел носит название правостороннего предела.

Если же все значения, которые она принимает, больше её предельного значения, то есть функция «подходит» к предельному значению справа налево, то она носит название левостороннего предела.

Выше мы привели более простые определения односторонних левых и правых пределов, а вот ниже мы дадим определения по Коши:

Левым пределом функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ называется такое число $A_1$, для которого будут выполняться следующие условия: для любого $ε$ > $0$ имеется $δ=δ(ε)$ > $0$, причём если $x$ будет принадлежать отрезку $(x_0-δ; x_0)$, то будет выполняться неравенство: $|f(x)-A_1|$

Математическая форма записи выглядит так:

$\lim_{x \to x_0-0} f(x)=A_1$ или так: $f(x_0 - 0)=A_1$.

Правый предел определяется подобным же способом:

Правый предел некоторой функции $y=f(x)$ в точке по оси икс $x_0$ — это число $A_2$, причём такое, что для любого $ε$ > $0$ имеется $δ=δ(ε)$, такое что если $x$ принадлежит $(x_0; x_0+δ)$, то справедливо равенство $|f(x)-A_2|$

Записывается кратко в следующем виде:

$\lim_{x \to x_0+0} f(x)=A_2$ или $f(x_0 + 0)=A_2$.

Существует одно важное свойство односторонних пределов.

Если у некоторой функции $y=f(x)$ существуют левый $f(x_0-0)$ и правый $f(x_0 + 0)$ пределы, причём они являются равными между собой, то у этой функции есть и обычный предел, равный значению этих пределов.

Обратное утверждение также верно.