Геометрический смысл определённого интеграла кроетсят в том, что он собой представляет площадь фигуры, ограниченной кривой графика и линиями координатной оси $OX$, а также границами отрезка.
Рисунок 1. Геометрический смысл определенного интеграла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим непрерывную функцию, заданную на отрезке $[a;b]$.
Фигура, образуемая графиком этой кривой, а также прямыми $ОХ$ и $x=a$, $x=b$ называется криволинейной трапецией.
Площадь этой трапеции ищется через нахождение площади элементарных трапеций, на которые мы разобьём её для нашего примера.
Отрезок $[a;b]$ разобьём на $n$ равных элементарных отрезков с помощью точек $x_1...x_n$, в середине каждого возьмём точку $c_i$ и вычислим значение функции $y=f(x)$ в ней.
Теперь можно вычислить площадь каждого образованного таким рассечением элементарного прямоугольника:
$S_i=f(c_i) \cdot Δx_i$.
Тогда вся площадь криволинейной трапеции на участке $[a;b]$ равна сумме всех площадей элементарных прямоугольников:
$S=\sum^n_{i=1} f(c_i) \cdot Δx_i$.
При $Δx \to 0$ это равенство приобретает форму:
$S=\lim_{n\to \infty} \sum^n_{i=1} f(c_i) \cdot Δx_i=\int_a^b f(x)dx$.
То есть геометрический смысл интеграла в том, что он равен площади криволинейной трапеции.
