Основные понятия нечетких множеств
Нечеткие множества – это расширение классического понятия множества, построенное на допущении, что характеристическая функция множества (называемая для нечеткого множества функцией принадлежности) принимает любые значения от 0 до 1 (а не только 0 и 1, как в случае классического множества).
В англоязычной литературе используется термин «fuzzy set», который на русский иногда переводят не как «нечеткое множество», а как «размытое множество», «туманное множество» и даже «пушистое множество».
Под нечетким множеством А понимают совокупность пар, состоящих из элементов х универсального множества Х и соответствующих им степеней принадлежности, указывающих уровень принадлежности элемента х множеству А.
Иными словами, для элементов некоторого универсального множества определяют, насколько они принадлежат некоторому подмножеству. Множество значений, принимаемых функцией принадлежности, называют множеством принадлежностей. Если оно содержит только два элемента – 0 и 1 – т. е. M = {0, 1}, речь идет об обычном классическом множестве. Четкое множество – это вырожденный случай нечеткого множества.
Мощностью, или кардинальным числом нечеткого множества называют сумму соответствующих его элементам степеней принадлежности.
Проиллюстрируем примером. Пусть нечеткое множество А={(1|0.8), (2|0.3), (3|0.5), (4|0.1)}.
M = {0.8, 0.3, 0.5, 0.1}, card(A) = 0.8+0.3+0.5+0.1=1.7.
Под носителем (суппортом) нечеткого множества понимают множество элементов, для которых значение функции принадлежности больше нуля.
Если суппорт нечеткого множества пуст, такое нечеткое множество называют пустым.
Под ядром нечеткого множества понимают множество элементов, для которых значение принадлежности равно 1.
Высотой нечеткого множества называют супремум по значениям функции принадлежности.
Для любого нечеткого множества высота существует и всегда равна некоторому действительному числу, принадлежащему интервалу $[0,1]$. Для пустого нечеткого множества высота равна 0. Значение, равное высоте, может быть поставлено в соответствие одному или нескольким элементам. Но есть нюанс: если в случае с конечными нечеткими множествами высота равна максимальному значению из значений их функций принадлежности, то для бесконечных множеств речь идет о наименьшей верхней грани.
Рассмотрим пример – два нечетких множества:
- А - «небольшое натуральное число»;
- В – «большое действительное число».
Пусть множество А задано следующим образом: А={(1|1), (2|0.9), (3|0.5), (4|0.2)}. Его высота равна 1 и соответствует элементу 1.
Функцию принадлежности множества В зададим математическим выражением: $m(x) = (x-1)/x$ для действительных х при х > 1 (для x ∠ 1 и х=1 положим m(x)=0). Высота этого нечеткого множества тоже равна 1, но элементов, для которых значение функции принадлежности строго равно 1, не существует – оно будет стремиться к 1, всегда оставаясь меньше.
Нечеткое множество называют нормальным, если максимальное значение его функции принадлежности равно 1.
Чтобы нечеткое множество было нормальным, необходимо и достаточно наличие у него непустого ядра.
В приведенном примере множество А («небольшое натуральное число») нормально, а множество В («большое действительное число») не нормально.
Если множество не является нормальным, а его высота равна 1, оно называется субнормальным.
Любое нечеткое множество можно свести к субнормальному, осуществив нормирование – деление каждого значения функции принадлежности на высоту нечеткого множества.
Границы нечеткого множества – это элементы, для которых значения функции принадлежности лежат в интервале (0,1) (т. е. отличны от 0 и 1).
Точками перехода нечеткого множества называют элементы, значение функции принадлежности для которых равно 0.5.
Для нечетких множеств определяют понятие ближайшего четкого множества, значение принадлежности элементов которого получается по правилам округления с одним нюансом:
- 0, если значение функции принадлежности нечеткого множества меньше 0.5,
- 1, если значение функции принадлежности нечеткого множества больше 0.5,
- 0 или 1 для граничных элементов, у которых значение функции принадлежности равно 0.5.
Построение функций принадлежности нечетких множеств
Распространенным методом построения функций принадлежности являются прямые экспертные методы, предусматривающие, что эксперт просто ставит в соответствие элементам множества значения функции принадлежности (или описывает функцию). Прямые методы хорошо подходят для задания функции принадлежности по измеримым величинам – расстоянию, температуре, скорости, времени и т. д., или в случае выделения полярных значений. Часто задачи позволяют характеризовать объект набором признаков, для каждого из которых задаются полярные значения (со значением функции принадлежности 0 и 1).
Разновидностью прямых методов являются прямые групповые методы.
Например, группе экспертов предлагают оценить, является ли чай горячим. Далее количество положительных ответов делят на количество задействованных в опросе экспертов и получают оценку для конкретного объекта (в дальнейшем можно использовать это значение для любого чая, имеющего такую же температуру). Другой пример – эксперты по фотографии определяют, является ли человек лысым. Формально, можно было бы посчитать количество волос, но на практике такие измерения нецелесообразны, больше полагаются на субъективное восприятие.
Косвенные методы применяют, когда элементарные измеримые свойства, позволяющие определить нечеткое множество, отсутствуют. Распространен метод попарных сравнений. В матрицу сравнений эксперт записывает единицы по диагонали, а в другие ячейки – свою оценку, во сколько раз один элемент является сильнее другого.
Можно отметить другие популярные подходы:
- использование для задания функций принадлежности типовых форм кривых. Их параметры уточняют по данным эксперимента;
- использование в качестве значений принадлежности относительных частот, полученных эмпирически.
