Знакопеременные ряды

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Определение. Ряд u1  u 2  ... u n ... называется знакопеременным, если числа u1 , u 2 ,...u n ,... могут быть как положительными, так и отрицательными. Теорема 1. (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда ). Если для знакопеременного ряда u1  u 2  ... u n ... (1) u1  u2  ...  u n  ... сходится ряд (2) составленный из абсолютных величин его членов, то  сходится, причем u n 1 данный знакопеременный ряд также  n   un . n 1 Примеры. (1) n сходится, так как ряд  5 n 1 n  1)  1 n n 1 сходится ( p  5  1). 5 sin n . n2 n 1  2) Исследуем на сходимость ряд  Рассмотрим ряд  n 1 sin n n 2  . Данный ряд сходится, так как sin n n 2  1 , а ряд n2  1 n n 1 2 сходится ( p  2  1 ). Следовательно, по теореме 1 исходный ряд также сходится.  Определение. Знакопеременный ряд u n 1 n называется абсолютно сходящимся, если сходится  u ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. n 1  Определение. Если ряд  u n (1) сходится, а ряд n 1 n .  u n 1 n расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Определение. Ряд называется знакочередующимся, если его члены с нечетными номерами положительны, а с четными – отрицательны (или наоборот). Запишем знакочередующийся ряд в следующем виде: u1  u 2  u3  u 4  ...  (1) n1 u n ... , где un  0 . Теорема Лейбница. (достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда). Пусть 1) u1  u2  ...  un  ...  0 2) lim u n  0 . n  n 1 Тогда ряд u1  u 2  u 3  u 4  ...  (1) u n ... сходится, причем его сумма S  u1 . (1) n1 .  n n 1  Пример. Исследовать на сходимость ряд Решение. Данный ряд является знакочередующимися. (1) n1 1 1 1 (1) n1  1     ...   ...  n 2 3 4 n n 1 1 1 1 1 u1  1, u 2  , u 3  , u 4  ,..., u n  , … 2 3 4 n  проверим выполнение условий признака Лейбница. 1) u1  u2  u3  ... u n  ...0 1 Действительно: 1  1 1 1 1    ...   ...  0 2 3 4 n 1 0 n  n 2) lim Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится. Исследуем данный ряд на абсолютную  сходимость. Рассмотрим  n 1  (1) n 1   - гармонический ряд расходится. n n 1 n Таким образом, исходный ряд сходится условно. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА Определение. Функциональным рядом (или рядом функций) называется ряд u1 ( x)  u2 ( x)  ...  un ( x)  ..., члены которого un (x) - функции от x , определенные в некоторой области изменения аргумента x .  Обозначение: u n 1 n ( x) (1) Если в ряд (1) придать x какое-либо значение x 0 из области определения функций u n (x) , то получим числовой ряд: u1 ( x0 )  u2 ( x0 )  ...  un ( x0 )  ...   u n 1 n ( x0 ) , который может сходиться или расходиться. Определение. Если при x  x0 ряд  u n 1 n ( x0 ) сходится, то точка x 0 называется точкой сходимости функционального ряда (1). Если при x  x0 ряд  u n 1 n ( x0 ) расходится, то точка x 0 называется точкой расходимости функционального ряда (1). Определение. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости. Пример. Определить область сходимости функционального ряда  1 x n 1 n  1 1 1 1  2  3  ...  n  ... x x x x Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q  1 . Известно, что x геометрическая прогрессия сходится, если q  1 , и расходится, если q  1 . q 1  1  1  x  1  x  (; 1)  (1; ) . x Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов (; 1) и (1; ) . 2 В области сходимости функционального ряда его частичные суммы, сумма ряда и остаток являются функциями от x и связаны соотношением: S ( x)  S n ( x)  rn ( x) , где S n ( x)  -я частичная сумма, S ( x)  lim n n  rn (x)  n u k  n 1 k u k 1 k n u k 1 k ( x) - n ( x) - сумма ряда, ( x) - остаток ряда. 2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ Степенные ряды являются важным частным случаем функциональных рядов. Определение. Степенным рядом называется ряд вида: a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a) 2  ...  an ( x  a) n  ... , где a и коэффициенты ряда a0 , a1 ,...,a n ,.. - постоянные. Частный случай. a  0 . Имеем ряд: a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... Про данный ряд можно сказать, что он сходится при x  0 . Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема Абеля.  1. Если степенной ряд a n 0 n ( x  a) n сходится при x  x0 , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении x , удовлетворяющем неравенству: x  a  x0  a .  2. Если степенной ряд a n 0 n ( x  a) n расходится при x  x1 , то он расходится и при всяком значении x , удовлетворяющем неравенству: x  a  x1  a . Геометрический смысл теоремы. Расположим точки x 0 и x1 на числовой оси, например, следующим образом: расходится расходится сходится х1 а 2а-х0 х0 х 2а-х1 Рис. 2 На рис. 2 показано, где выполняются утверждения теоремы. Следствие.  Пусть степенной ряд a n 0 n ( x  a) n сходится при некотором значении x  a . Тогда существует число R  0 такое, что ряд абсолютно сходится при x , для которых x  a  R , и расходится при x , для которых x  a  R . сходится расходится а-R а расходится х a+R Рис. 3 Определение. Интервал (а – R; a + R) называется интервалом сходимости степенного ряда, а число R – радиусом сходимости. 3 На концах интервала сходимости различные степенные ряды ведут себя по-разному. Поэтому для нахождения области сходимости какого-либо ряда требуется исследовать граничные точки его интервала сходимости: a – R, a + R. Если степенной ряд сходится только при x  a , то будем считать, что его радиус сходимости R=0. Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то будем считать, что радиус сходимости R =  .  Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда a n 0 n ( x  a) n (1) Можно использовать признак Даламбера для ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда:  a n 0 n ( x  a) n (2). Для этого найдем предел отношения последующего члена ряда u n 1  a n 1  ( x  a ) n 1 к n предыдущему u n  a n  ( x  a ) при n   : u n 1 a n 1  ( x  a) n 1 a lim  lim  x  a  lim n 1 . n n  u n  a  ( x  a ) n  a n n n u a n 1 1  0 . Обозначим его через . Тогда lim n 1  n  u n  a R n n Предположим, что существует lim xa  1 . R xa u n 1   1 , т.е. x  a  R , то n  u R n На основании признака Даламбера заключаем, что если lim xa u n 1   1 , то ряд (2) расходится. Возрастание членов n  u R n ряд (2) сходится абсолютно. Если же lim ряда при больших n свидетельствует о том, что lim u n  0 , т.е. не стремится к нулю и общий член n  u n ряда (1), а, значит, ряд (1) расходится. Если xa R  1 , т.е. x  a  R , то здесь признак Даламбера не применим и, следовательно, требуется дополнительное исследование. Таким образом, радиус сходимости ряда (1) R  lim n  an . a n 1 Замечание. a n 1  0, то R   . n  a n Если lim Пример. 3n  ( x  1) n .  n n 1  Найти область сходимости степенного ряда: Решение. Найдем интервал сходимости данного ряда. Для этого используем формулу: u n 1 1 n  u n lim 4 3n  ( x  1) n 3n1  ( x  1) n1 , u n 1  n 1 n n 1 n 1 u 3  ( x  1) n lim n 1  lim  n  n n  u n  n  1 3  ( x  1 ) n un  n 1  3 x 1  1  x 1  n n  1 3  3  x  1  lim Решим данное неравенство:  сходится расходится  1 1  x 1  , 3 3  4 2 x 3 3 расходится 4 3  Радиус сходимости ряда R  х 2 3 4 2 1 . Интервал сходимости ряда: ( ;  ) . 3 3 3 Исследуем сходимость ряда на концах интервала. 1 n 2 n 3 n  (  1) n  3 ( )  1 2 3 3 При x   имеем числовой ряд:    - гармонический   n n 3 n 1 n 1 n 1 n  ряд, расходится. При x 4 3 n  (  1) n 3   n n 1  4 3 имеем числовой ряд: 1 1 n n n 3 n  ( ) n  3  ( )  ( 1)  (1) n 3  3 .     n n n n 1 n 1 n 1  Данный ряд является знакочередующимся. Применим к нему признак Лейбница: 1 1 1 1    ...   ...  0 1 2 3 n 1 2) lim  0 n  n 1) Условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится. Проверим его на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его элементов.   n 1  (1) n 1   - гармонический ряд, расходится. n n 1 n Следовательно, при x   4 3 4 исходный степенной ряд условно сходится. Областью сходимости 3 2 3 является промежуток [ ; ) . Пример.  xn Найти область сходимости степенного ряда  . n 1 n! Решение. 5 un  xn , n! u n 1  x n 1 (n  1)! u n 1 x n 1 n 1  lim  n  x  lim  x 0  0 1 n  u n  ( n  1)! x ! n  n  1 n данное неравенство выполняется для всех x  R , следовательно, областью сходимости данного lim ряда является вся числовая ось. 3. СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.  Пусть степенной ряд a n  ( x  a) n (1) имеет интервал сходимости n 1 ( R; R) . 1. Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в каждой точке его интервала сходимости ( R; R) . 2. Ряд, полученный из данного степенного ряда (1) почленным его дифференцированием, имеет тот же интервал сходимости, что и данный, при этом его сумма равна производной суммы исходного ряда S ' ( x) . Таким образом, если S ( x)  a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a) 2  ...  an ( x  a) n  ... , то  S ' ( x)  a1  2a2 ( x  a)  ...  an n( x  a) n1  ...    a n n( x  a) n 1 , x  (R; R) . n 1 3. Ряд, полученный из данного степенного ряда (1) почленным его интегрированием, имеет тот же интервал сходимости, сто и данный, при этом его сумма равына интегралу от суммы исходного x ряда  S ( x)dx . a Это значит, что если S ( x)  a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a) 2  ...  an ( x  a) n  ... , то x  a a n ( x  a) n1 S ( x)dx   a0 dx   a1 ( x  a)dx  ...   a n ( x  a) dx  ...    , x  (R; R) . n 1 n 0 a a a x x x n  4. Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать в интервале сходимости ( R; R) , т.е. если x1 и x 2 - точки, принадлежащие ( R; R) , то x2  (a  a1 ( x  a) a2 ( x  a) 2  ...  an ( x  a) n  ...)dx = x1 x2 x2 x2 x2   a0 dx   a1 ( x  a)dx   a2 ( x  a) dx  ...   an ( x  a) n dx  ... 2 x1 x1 x1 x1 Пример. Найти сумму ряда S ( x)    (n  1)x n . n 0 Решение. Найдем интервал сходимости данного ряда. 6 u n 1 (n  2)  x n 1 n2  lim  x  lim  x  1  x  (1;1) n n  u n  ( n  1)  x n n  1 n Следовательно, радиус сходимости R  1 , интервал сходимости (-1;1). lim Проинтегрируем ряд: x x 1 2 n  S ( x)dx  (1  2 x  3x  ...  (n  1) x  ...)dx = x , т.к. при x  1 полученный ряд 1 x x x является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Имеем:  S ( x)dx  при x  1 . 1 x = ( x  x 2  x 3  ...  x n  ...) |0x  x  x 2  x 3  ...  x n  ...  x 1 x  x 1 , при x  1 . )'   2 1 x (1  x) (1  x) 2 Следовательно, S ( x)  ( 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. Пусть функция f (x) является суммой степенного ряда: f ( x)  a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a) 2  ...  a n ( x  a) n  ..., (1) интервал сходимости которого (a  R; a  R) . В этом случае говорят, что функция f (x) разлагается в степенной ряд (представлена степенным рядом) в окрестности точки а или по степеням x  a . Определение. Ряд f ( x)  f (a )  f ' (a) f ' ' (a) ( x  a)  ( x  a) 2  1! 2! ( n) f ' ' ' (a) f (a)  ( x  a) 3  ...  ( x  a) n  ... 3! n! (2) называется рядом Тейлора для функции f (x) . Определение. В частном случае, при a  0 , ряд (n) f (0) n f ' (0) f ' ' (0) 2 x  ... f (0)  x x  ...  1! 2! n! называется рядом Маклорена для функции f (x) . Определение. Частичная сумма ряда Тейлора (n) f f ' (a) f ' ' (a) S n ( x)  f (a)  ( x  a)  ( x  a) 2  ...  ( x  a) n называется многочленом Тейлора 1! 2! n! степени n . Определение. Разность между функцией f (x) и ее многочленом Тейлора называется остаточным членом ряда Тейлора и обозначается Rn ( x) : Rn ( x)  f ( x)  S n ( x) . Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке a функция f (x) являлась суммой составленного для ее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член Rn (x) стремился к нулю при n   . ( n 1) f (c ) Определение. Выражение остаточного члена по формуле Rn ( x)  ( x  a) n1 , где c (n  1)! заключено между a и x , называется остаточным членом в форме Лагранжа. 7 5. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. 8 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 6.1. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ 6.2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 9 6.3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 10 11 12