Закон Дарси и границы его применимости

ЛЕКЦИЯ 2 2. Закон Дарси и границы его применимости. Закон Дарси устанавливает, что объемный расход несжимаемой жидкости Q через трубку с пористой средой прямо пропорционален потере напора и площади фильтрации S и обратно пропорционально длине трубки L, рис.3: (2.1) где: С - коэффициент фильтрации, характеризующий скорость потока через единицу площади сечения, перпендикулярного к потоку, под действием единичного градиента давления. H - напор в любом сечении определяется как: (2.2) где: z - высота положения, - пьезометрическая высота, p – гидростатическое давление,  - плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, - скоростной напор, В силу малости скорости фильтрации (ее порядок  10-5 - 10-6 м/с) скоростным напором в формуле (2.2) можно пренебречь. Поскольку коэффициент фильтрации С характеризует, как свойства породы, так и свойства воды, то при решении задач о течении других жидкостей и газов в пористой среде удобнее пользоваться понятием проницаемости в законе Дарси: (2.3) где: k – абсолютная проницаемость пористой среды, характеризующая способность горной породы пропускать сквозь себя жидкость или газ,  - динамическая вязкость, а - приведенное давление. Рис. 3. Схема опыта Дарси. При условии равенства высот положения z1 = z2 закон Дарси примет вид: (2.4) Закон Дарси в дифференциальной форме: (2.5) Коэффициенты фильтрации и проницаемости связаны соотношением: (2.6) При больших скоростях фильтрации закон Дарси нарушается вследствие того, что силы инерции, возникающие в жидкости, становятся соизмеримыми с силами трения. Скорость фильтрации (или дебит) при которой(м) происходит такое нарушение закона Дарси называется критической скоростью фильтрации vкр (критическим дебитом Qкр). Критерием выполнимости закона Дарси служит число Рейнольдса Re, которое, как и в трубной гидравлике, характеризует отношение сил инерции к силам вязкости: (2.7) где a – характерный размер задачи. В таблице 1 представлены выражения для определения чисел Рейнольдса, выведенных разными авторами, а также диапазоны критических чисел Рейнольдса Reкр (при которых происходит нарушение линейного закона Дарси). Таблица 1. Формулы разных авторов для чисел Рейнольдса. Автор Число Рейнольдса Диапазон критических чисел Н.Н. Павловский 7,5≤ Reкр ≤9 В.Н. Щелкачев 1≤ Reкр ≤12 М.Д. Миллионщиков 0.022≤ Reкр ≤0.29 Если в задаче необходимо определить нарушается ли закон Дарси при заданных параметрах, то полученное в ходе решения число Рейнольдса Re сравнивают с нижним значением Reкр. Если Re  Reкр, то закон Дарси выполняется, а если Re ≥ Reкр, то закон Дарси нарушается. При решении обратной задачи, где нужно определить критическую скорость фильтрации или критический дебит при превышении которых нарушается закон Дарси, выбирают одну из формул, указанных в таблице 1, и определенное значение Reкр, при котором v=vкр. При нарушении закона Дарси при больших скоростях фильтрации используют степенные законы: Формула Форшгеймера (двучленный закон фильтрации): (2.8) в диф. форме. (2.9) где  - дополнительная константа пористой среды, определяемая из эксперимента. Одночленный степенной закон: (2.10) - в диф. форме. (2.11) где С и n постоянные определяемые опытным путем, причем 1≤n≤2. При n = 2 выражение (2.10) и (2.11) носит название формулы А.А.Краснопольского. Отклонения от линейного закона Дарси наблюдаются и при малых скоростях фильтрации. Это связано с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся жидкостей, а также других физико-химических эффектов (учет сил межфазного и межмолекулярного взаимодействия). Для вязкопластичных жидкостей (обладающих, как свойствами жидкости, так и свойствами твёрдого тела) часто используют закон фильтрации с предельным градиентом: , (2.12) , В дифференциальной форме: (2.13) Из (2.12) следует, что при градиентах меньших предельного  жидкость неподвижна, а при превышении  течет по линейному закону. Величина  зависит от предельного напряжения сдвига 0 и среднего диаметра пор: , где  - безразмерная константа. Аналогом закона Дарси можно считать закон Пуазейля, если пористую среду представить в виде системы трубок одинакового сечения: или (2.14) где N - число трубок одинакового сечения, а r - радиус поровых каналов (или средний радиус пор среды). Если учесть, что пористость такой среды равна: , (2.15) где - число каналов на единицу площади поперечного сечения. Тогда формулу Пуазейля можно представить в виде: или (2.16) Задачи к разделу 2 Задача 2.1 Определить коэффициент фильтрации, если известно, что площадь поперечного сечения горизонтально расположенного образца песчаника S = 30 см2, длина образца L = 15 см, разность давлений на входе жидкости в образец и на выходе Dp = 19,6 кПа, плотность жидкости ρ = 1000 кг/м3 и расход Q= 5 л/час. Задача 2.2 Определить коэффициент пористости, если известно, что скорость движения жидкости через образец, определяемый с помощью индикатора, равна vср = 310-2 см/сек, коэффициент проницаемости  =0,2 Д, динамическая вязкость  = 4 мПас, а разность давления p=2кгс/см2 при длине образца L=15 см. Задача 2.3 Определить коэффициенты проницаемости и фильтрации для цилиндрического образца пористой среды диаметром d = 5 см, длиной L= 20 см, если разность давлений на концах образца составляет 300 мм рт.ст., расход жидкости Q = 0,017 л/ч, динамический коэффициент вязкости жидкости μ = 5 мПа·с, плотность её ρ = 0,85 г/см3. Найти также скорость фильтрации и среднюю скорость движения, если известно, что объем пор составляет Vп=74.6 см3. Задача 2.4 Определить по формуле Щелкачева, происходит ли фильтрация в пласте по закону Дарси, если известно, что дебит нефтяной скважины Q=200 м3/сут проницаемость пласта k = 0,2Д, мощность пласта h = 5м, пористость пласта m=16%, динамический коэффициент вязкости =5сПз, плотность нефти  =0,8 г/см3, радиус гидродинамически совершенной скважины rс=0,1 м. Задача 2.5 Определить критический дебит скважины в т/сут (дебит, при превышении которого в призабойной зоне нарушается закон Дарси), если известно, что проницаемость пласта k = 1Д, мощность пласта h=20м, пористость пласта m =18%, динамический коэффициент вязкости =5 сПз, плотность нефти  = 0,85 г/см3, радиус скважины rс. Указание: При определении значения числа Рейнольдса пользоваться формулой Щелкачёва, при Reкр=1