Закон Архимеда. Давление жидкости на плоские, наклонные и цилиндрические поверхности

Лекция 2 ЗАКОН АРХИМЕДА. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКИЕ, НАКЛОННЫЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ Закон Архимеда. Выталкивающая сила (архимедова сила) Рвыт равна весу жидкости в объеме данного тела Точкой приложения архимедовой силы является центр тяжести объема Wт.д., эта точка называется центром водоизмещения. В общем случае центр водоизмещения не совпадает с центром тяжести тела, где приложен собственный вес тела. В зависимости от соотношения между P и G тело либо тонет, если P < G; всплывает, если P > G; плавает в погруженном состоянии, если P = G. Давление жидкости на плоскую наклонную стенку Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом . Ширина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (от читателя), равна (рис.2.3). Стенка условно показана развёрнутой относительно оси и заштрихована на рисунке. Построим график изменения избыточного гидростатического давления на стенку . Так как избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закону , то для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например и . Рис. 2.3. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую поверхность Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно PA = γh = γ·0 = 0 Соответственно давление в точке В: PB = γh = γH где H – глубина жидкости в резервуаре. Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей поверхности. Следовательно, гидростатическое давление в точке , величина которого равна , надо направлять перпендикулярно к стенке АВ. Соединив точку с концом отрезка , получим треугольную эпюру распределения давления с прямым углом в точке . Среднее значение давления будет равно Если площадь наклонной стенки , то равнодействующая гидростатического давления равна где – глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости. Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления ц.д. не всегда будет совпадать с центром тяжести плоской поверхности. Эта точка находится на расстоянии от центра тяжести и равна отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки. где – момент инерции площади относительно центральной оси, параллельной . В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления ц.д. находится на расстоянии  от нижней стороны. Давление жидкости на цилиндрическую поверхность Пусть жидкость заполняет резервуар, правая стенка которого представляет собой цилиндрическую криволинейную поверхность (рис.2.1), простирающуюся в направлении читателя на ширину . Восстановим из точки перпендикуляр к свободной поверхности жидкости. Объём жидкости в отсеке находится в равновесии. Это значит, что силы, действующие на поверхности выделенного объёма , и силы веса взаимно уравновешиваются. Рис. 2.1. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на цилиндрическую поверхность Представим, что выделенный объём представляет собой твёрдое тело того же удельного веса, что и жидкость (этот объём на рис.2.4 заштрихован). Левая поверхность этого объёма (на чертеже вертикальная стенка ) имеет площадь , являющуюся проекцией криволинейной поверхности на плоскость . Сила гидростатического давления на площадь равна . С правой стороны на отсек будет действовать реакция  цилиндрической поверхности. Пусть точка приложения и направление этой реакции будут таковы, как показано на рис.2.4. Реакцию разложим на две составляющие и . Из действующих поверхностных сил осталось учесть только давление на свободной поверхности . Если резервуар открыт, то естественно, что давление одинаково со всех сторон и поэтому взаимно уравновешивается. На отсек будет действовать сила собственного веса , направленная вниз. Спроецируем все силы на ось Ох: Fx – Rx = 0 откуда Fx = Rx = γSxhc Теперь спроецируем все силы на ось Оz: Rx – G = 0 откуда Rx = G = γV Составляющая силы гидростатического давления по оси Oy обращается в нуль, значит Ry = Fy = 0. Таким образом, реакция цилиндрической поверхности в общем случае равна а поскольку реакция цилиндрической поверхности равна равнодействующей гидростатического давления , то делаем вывод, что Закон Архимеда и его приложение Тело, погружённое (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объёме погруженной части тела. Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение где  – объём плавающего тела; – плотность тела. Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории. Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объёме погружённой части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) – центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести и центр водоизмещения лежат на одной вертикальной прямой O'-O", представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис.2.2). Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол , часть судна вышла из жидкости, а часть , наоборот, погрузилось в неё. При этом получили новое положении центра водоизмещения . Приложим к точке подъёмную силу и линию её действия продолжим до пересечения с осью симметрии O'-O". Полученная точка называется метацентром, а отрезок называется метацентрической высотой. Будем считать положительным, если точка лежит выше точки , и отрицательным – в противном случае. Рис. 2.2. Поперечный профиль судна Теперь рассмотрим условия равновесия судна: 1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение; 2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия; 3) если h < 0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна. Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна. Поверхности равного давления Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причём если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем. Рассмотрим два примера такого относительного покоя. В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.3). Рис. 2.3. Движение цистерны с ускорением К каждой частице жидкости массы должны быть в этом случае приложены её вес и сила инерции , равная по величине . Равнодействующая этих сил направлена к вертикали под углом , тангенс которого равен . Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом . Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир). В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом случае (рис.2.4) на любую частицу жидкости при её относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести и центробежная сила , где – расстояние частицы от оси вращения, а – угловая скорость вращения сосуда. Рис. 2.4. Вращение сосуда с жидкостью Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил и представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим С другой стороны: где – координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем: откуда или после интегрирования В точке пересечения кривой с осью вращения r = 0, z = h = C, поэтому окончательно будем иметь т.е. кривая является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня. Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объём жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки (точка ) на произвольном радиусе и высоте и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учётом уравнения (2.11) будем иметь После сокращений получим Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу и уменьшается пропорционально высоте .