Задача двух тел

Задача двух тел Лекция Д. А. Тельнов Задача двух тел Лекция по теоретической механике – углубленный курс (лекция № 4) Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Д. А. Тельнов кафедра квантовой механики Санкт-Петербургский государственный университет Критерий замкнутости траектории .1 Содержание лекции Задача двух тел Д. А. Тельнов 1 Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение 2 Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .2 Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Задача двух тел – это задача о движении двух взаимодействующих материальных точек при отсутствии внешних сил. Другими словами, рассматривается замкнутая система из двух точек. Значение этой задачи весьма велико: ее решение лежит в основе небесной механики, теории столкновений и рассеяния частиц, а также используется в статистической механике. Рассмотрим две материальные точки с массами m1 и m2 . Будем считать, что потенциальная энергия их взаимодействия зависит только от расстояния между точками: U = U (|r1 − r2 |). (1) Такой вид потенциальной энергии автоматически удовлетворяет третьему закону Ньютона. Действительно, ∂ ∂U (r) ∂ U (|r1 − r2 |) = − U (r) = − er , F1 = − ∂r1 ∂r ∂r F2 = − ∂ ∂ ∂U (r) U (|r1 − r2 |) = U (r) = er . ∂r2 ∂r ∂r Задача двух тел Д. А. Тельнов Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории (2) Критерий замкнутости траектории (3) .3 В уравнениях (2) и (3) введено обозначение r = r1 − r2 Задача двух тел (4) для радиус-вектора первой частицы относительно второй, а также для единичного вектора вдоль направления вектора r: r er = . (5) r Сила F1 действует на первую материальную точку, а сила F2 , соответственно, на вторую. Уравнения второго закона Ньютона для рассматриваемой системы из двух точек запишутся тогда следующим образом: ∂U m1 r̈1 = − er , ∂r ∂U m2 r̈2 = er . ∂r (6) Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Складывая эти два уравнения, придем к ожидаемому уравнению движения центра масс: m1 r̈1 + m2 r̈2 = (m1 + m2 )r̈c = 0. Д. А. Тельнов Критерий замкнутости траектории (7) .4 Задача двух тел Таким образом, центр масс данной замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно: rc (t) = r0 + v0 t. Д. А. Тельнов (8) Поделим теперь первое уравнение в (6) на m1 , второе – на m2 и вычтем одно из другого:   1 ∂U 1 r̈1 − r̈2 = − + er . (9) m1 m2 ∂r Иначе уравнение (9) можно записать так: ∂U µr̈ = − er , ∂r (10) m1 m2 . m1 + m2 Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения где введено обозначение для приведенной массы двух материальных точек: µ= Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Закон движения Уравнение траектории (11) Критерий замкнутости траектории .5 Уравнение (10) есть уравнение относительного движения двух точек. Его решение фактически решает и всю задачу двух тел, так как позволяет выразить радиус-векторы обеих материальных точек через известные законы движения центра масс и относительного движения: Задача двух тел Д. А. Тельнов m1 r1 = (m1 + m2 )rc − m2 r2 = (m1 + m2 )rc − m2 (r1 − r). ⇓ (m1 + m2 )r1 = (m1 + m2 )rc + m2 r. (12) ⇓ r1 = rc + m2 r. m1 + m2 r2 = r1 − r = rc − m1 r. m1 + m2 Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле (13) Как видно, вектор r с точностью до множителей m2 /(m1 + m2 ) и −m1 /(m1 + m2 ) соответственно совпадает с радиус-вектором первой и второй точки относительно центра масс. Зная r, мы знаем, как движутся частицы в системе центра масс. Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .6 Интегралы движения материальной точки в центральном поле Перейдем к решению задачи об относительном движении. Уравнение (10) описывает движение материальной точки с массой µ в центральном поле с потенциальной энергией U (r) [и силой −(∂U/∂r)er ]. Таким образом, задача двух тел сводится к задаче о движении одной материальной точки с приведенной массой в центральном поле. Найдем интегралы движения этой задачи. Во-первых, это момент импульса L = µ[r × ṙ]. (14) Действительно, при движении в центральном поле момент импульса сохраняется: d ∂U dL = µ[r × ṙ] = µ[r × r̈] = −[r × er ] = 0. dt dt ∂r (15) Д. А. Тельнов Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Во-вторых, это полная механическая энергия, так как потенциальная энергия U (r) стационарна: E = T + U (r). Задача двух тел Критерий замкнутости траектории (16) .7 Кроме указанных первых интегралов движения, легко найти один из вторых интегралов. Рассмотрим скалярное произведение (L · r). С одной стороны, с помощью определения момента импульса получаем: (L · r) = µ(r · [r × ṙ]) = µ(ṙ · [r × r]) = 0. С другой стороны, L – постоянный вектор. Поэтому равенство (L · r) = 0 Задача двух тел Д. А. Тельнов (17) (18) означает, что радиус-вектор r обязательно лежит в неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору момента L и проходящей через центр силы. Уравнение (18) есть второй интеграл движения, указывающий на то, что движение в центральном поле является плоским. Рассмотрим теперь плоскость, проходящую через центр силы и перпендикулярную вектору L, в которой происходит движение. Введем в этой плоскости полярные координаты r и ϕ, которые представляют собой частный случай цилиндрических координат при z = 0 (см. рис. 1). Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .8 Задача двух тел y Д. А. Тельнов r ϕ x Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Рис. 1. Полярные координаты в плоскости движения в центральном поле. Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .9 В полярных координатах законы сохранения момента импульса и энергии запишутся в следующем виде: Задача двух тел Д. А. Тельнов 2 µr ϕ̇ = L, µ 2 (ṙ + r2 ϕ̇2 ) + U (r) = E. 2 (19) Выразим из первого уравнения (19) угловую скорость ϕ̇: ϕ̇ = L µr2 (20) Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение и подставим в закон сохранения энергии: L2 µ 2 ṙ + + U (r) = E. 2 2µr2 (21) Как видно, в итоге получился закон сохранения энергии для материальной точки, совершающей одномерное движение (координата r) в поле с эффективной потенциальной энергией: L2 Ueff (r) = U (r) + . (22) 2µr2 Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории Величина L2 /(2µr2 ) носит название центробежной энергии. .10 Закон движения для радиальной координаты Уравнение (21) есть дифференциальное уравнение 1-го порядка, которое может быть решено методом разделения переменных: r 2 [E − Ueff (r)], (23) ṙ = ± µ r dr µ p dt = ± , (24) 2 E − Ueff (r) r Zr dr0 µ p t − t0 = ± . 2 E − Ueff (r0 ) (25) r0 Уравнение (25) определяет закон движения для радиальной координаты, так как задает в неявном виде зависимость r(t). Знак перед правой частью выбирается, исходя из начального значения радиальной скорости ṙ. Для того, чтобы выражение (23) для радиальной скорости имело физический смысл, нужно потребовать выполнения неравенства E ≥ Ueff (r). (26) Задача двух тел Д. А. Тельнов Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .11 Разрешенные и запрещенные области. Точки поворота Области значений координаты r, удовлетворяющие неравенству (26), называются разрешенными областями. Другие области, удовлетворяющие противоположному неравенству [E < Ueff (r)], называются запрещенными областями, там движение не происходит. Точки на границе разрешенных и запрещенных областей [E = Ueff (r)] носят название точек поворота. При приближении частицы к точке поворота радиальная скорость уменьшается, обращается в ноль непосредственно в этой точке, а затем меняет знак, и частица удаляется от точки поворота. Характер движения материальной точки определяется свойствами эффективной потенциальной энергии Ueff (r), как это следует из формулы (25). Пример изменения функции Ueff (r) при изменении радиальной координаты приведен на рис. 2. Как правило, при r → 0 Ueff (r) неограниченно растет за счет центробежной энергии, поэтому область вблизи r = 0 является запрещенной. На рис. 2 запрещенными являются области [0, r1 [ и ]r2 , r3 [, а разрешенными – [r1 , r2 ] и [r3 , ∞]. Задача двух тел Д. А. Тельнов Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .12 Задача двух тел Ueff(r) Д. А. Тельнов E r1 r2 r3 r Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Рис. 2. Точки поворота, разрешенные и запрещенные области на полуоси r. Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .13 Область [r1 , r2 ] отвечает финитному движению, а [r3 , ∞] – инфинитному движению. Финитное движение в центральном поле, вообще говоря, не является периодическим. Оно периодично только по радиальной координате. Период радиальных колебаний найдем из закона движения для радиальной координаты (25). Это есть удвоенное время движения между точками поворота r1 и r2 : Задача двух тел Д. А. Тельнов r2 p Z Tr = 2µ p r1 dr E − Ueff (r) . (27) По истечении этого времени радиальная координата и радиальная скорость принимают прежние значения, но угловая координата, вообще говоря, изменяется на величину, не соответствующую возврату материальной точки в прежнее положение. Рассмотрим изменение угловой координаты со временем. Как следует из формулы (20), угловая скорость ϕ̇ в любой момент времени неотрицательна и равна нулю только тогда, когда равен нулю момент импульса. Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .14 Закон движения для угловой координаты Таким образом, если L 6= 0, то при движении в центральном поле вращение материальной точки вокруг оси, направленной вдоль вектора L, происходит всегда против часовой стрелки. Зависимость угла поворота ϕ от времени можно найти прямым интегрированием уравнения (20) после того, как найден закон движения для радиальной координаты: Zt dt0 L . (28) ϕ = ϕ0 + µ r2 (t0 ) t0 С течением времени угол ϕ монотонно возрастает. Если из уравнений (25) и (28) исключить время, то мы получим связь между координатами r и ϕ, то есть уравнение траектории. Удобнее, однако, исключить время еще из дифференциальных уравнений (20) и (23) и получить дифференциальное уравнение траектории. Поделив уравнение (20) на уравнение (23), найдем: dϕ L 1 p = ±√ . 2 dr 2µ r E − Ueff (r) Задача двух тел Д. А. Тельнов Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории (29) .15 Уравнение траектории Интегрируя уравнение (29), получим зависимость угловой координаты ϕ от радиальной координаты r, то есть уравнение траектории материальной точки: L ϕ − ϕ0 = ± √ 2µ Zr r0 dr0 r02 p E − Ueff (r0 ) . Задача двух тел Д. А. Тельнов (30) Знак перед интегралом в правой части (30) должен меняться всякий раз после прохождения точки поворота, чтобы обеспечить монотонность изменения угла ϕ при движении вдоль траектории. При финитном движении траектория лежит внутри кольца с радиусами, равными расстояниям до точек поворота (рис. 3). При этом траектория, вообще говоря, незамкнута и с течением времени плотно заполняет всю область внутри кольца. Траектория обладает симметрией при отражении относительно линий апсид – линий, проведенных из центра силы в точки поворота на траектории (апсиды): участки траектории между апсидами переходят друг в друга при отражении относительно линий апсид. Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .16 Задача двух тел Д. А. Тельнов Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Рис. 3. Участок траектории движения в центральном поле. Синим цветом показаны линии апсид, проходящие через ближние точки поворота, а зеленым цветом – через дальние точки поворота. Радиусы красных окружностей равны расстояниям до точек поворота. Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .17 Критерий замкнутости траектории. Теорема Бертрана Этот вывод следует непосредственно из уравнения траектории (30), согласно которому точки траектории, лежащие на одном и том же расстоянии от центра по разные стороны от линии апсиды, имеют один и тот же угол отклонения от этой линии апсиды. Как уже отмечалось, финитное движение в центральном поле в общем случае не является периодическим, а его траектория незамкнута. Найдем критерий замыкания траектории и, следовательно, периодичности движения. Для этого прежде всего определим угол поворота радиус-вектора за один период радиальных колебаний. За один период радиальных колебаний материальная точка дважды проходит расстояние между точками поворота r1 и r2 [см. формулу (27)]. На этом же участке траектории, согласно уравнению (30), радиус-вектор поворачивается на угол Задача двух тел Д. А. Тельнов Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории r Zr2 2 dr p . ∆ϕ = L µ r2 E − Ueff (r) (31) Критерий замкнутости траектории r1 .18 Радиальная координата принимает прежнее значение по истечении времени, равного целому числу периодов радиальных колебаний, nTr . За это же время радиус-вектор поворачивается на угол n∆ϕ. Условие замыкания траектории и, следовательно, периодичности движения состоит в том, что этот угол должен быть равен целому кратному 2π: n∆ϕ = 2mπ, ∆ϕ = 2π m n (32) (m и n – целые числа). Поскольку в заданном центральном поле величина ∆ϕ определяется значениями энергии и момента импульса, уравнение (32) есть условие, которому должны удовлетворять эти интегралы движения для замыкания траектории. Значения энергии и момента импульса, в свою очередь, задаются начальными условиями. Поэтому в общем случае для периодичности финитного движения в центральном поле нужно специальным образом подобрать начальные условия. Задача двух тел Д. А. Тельнов Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .19 Задача двух тел Д. А. Тельнов Существует лишь два центральных поля притяжения, в которых финитное движение обязательно периодично и траектории замкнуты независимо от начальных условий. Это гравитационное поле (или кулоновское поле притяжения) с потенциальной энергией U (r) = −α/r и поле гармонического осциллятора с потенциальной энергией U (r) = kr2 . Данное утверждение известно как теорема Бертрана [J. L. F. Bertrand, 1873]. И в том, и в другом случае траектории являются эллипсами. Центр силы находится в центре эллипса в случае гармонического осциллятора и в фокусе эллипса в случае гравитационного поля. Задача двух тел: движение центра масс и относительное движение Движение материальной точки в центральном поле Интегралы движения Закон движения Уравнение траектории Критерий замкнутости траектории .20