Z-преобразование дискретных сигналов

Глава 1. Z – Преобразование дискретных сигналов. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является z – преобразование [1]. Это позволяет изменить решение разностных уравнений решением алгебраических уравнений, как преобразование Лапласа позволяет заменить решение системы дифференциальных уравнений аналоговых электрических цепей решением системы алгебраических уравнений [2]. Z – Преобразование последовательности отсчетов x(n) обозначается X(z) ,где z – комплексная переменная, равная: Z = x + jy = (1.1) При z – преобразовании последовательности x(n) ставится в соответствие функция комплексной переменной z [1], определяемая как: (1.2) Функция X(z) определена только для тех значений, при которых ряд (1.2) сходится. Вычислим z – преобразование для часто встречающихся дискретных сигналов. Единичная импульсная функция является дискретным аналогом дельта-функции и представляет собой одиночный отсчет с единичным значением. Его z – преобразование: = 1 Дискретный единичный скачок соответствует своему аналоговому прообразу, поэтому его z – преобразование: = где представленный ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем 1- , а 1. Дискретная экспоненциальная функция определяется как: X(n) = Для вычисления z – преобразования необходимо вычислить сумму ряда: Как и ранние, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии. Ряд сходится при , то есть при ,а его сумма равна (1.3) Дискретное z – преобразование связано с преобразованием Лапласа и Фурье. Рассмотрим последовательность, определяемую при n, и сопоставим ей временной сигнал в виде дельта-функций: S(t) = , (1.4) где Т – интервал дискретизации. Преобразование Лапласа для сигнала (4): Учитывая фильтрующее свойство дельта-функции s(p) = Если выполнить замену z = , то получим z – преобразование последовательности . Взаимное соответствие между z – преобразованием x(z) и преобразованием Лапласа S(p) описывается следующим образом: X(z) = S() S(p) = x() Связь z – преобразования X(z) с преобразованием Фурье (): X(z) = () () = x() (1.5) Выражение (1.5) позволяет определить спектр дискретной последовательности, заданной z – преобразованием. Существует много методов определения дискретного сигнала по его z – преобразованию: метод вычисления интеграла: (1.6) А также метод вычетов, метод разложения на простые дроби, метод непрерывного деления полинома числителя на полином знаменателя функции x(z) и метод разложения функции x(z) в смежный ряд [2]. Функция x(nT) (1.6) определяется суммой вычетов подынтегральной функции в полюсах, расположенных в области, охватываемой контуром интегрирования С [ 2]: Вычеты вычисляются во всех полюсах внутри окружности С. Если полюсы вещественные и простые, количество полюсов равно Q. При использовании метода разложения на простые дроби рассмотрим несколько примеров. Полюсы вещественные и простые. Функция x(z) разлагается на простые дроби по формуле где Q – количество полюсов, – вычет функции , равный: последовательность отсчетов x(nT) определяется по формуле: (1.7) Для нулевого полюса () в формуле (7) следует записать слагаемое вида Для случая, когда полюсы вещественные и кратные, порядок расчета x(nT) следующий. Функция разлагается на простые дроби по формуле: , где Q – количество полюсов, m – кратность полюсов, - вычет функции для k-го полюса i-го значения кратности m, равный Последовательность отсчетов определяется по формуле (1.8) где число комбинаций с n по i-1 определяется как Для нулевого полюса () в формуле (8) следует записать слагаемое вид где Для случая, когда полюсы комплексно-сопряженные, функция X(Z) разлагается на простые дроби по формуле где – вычет функции , равный Последовательность отсчетов определяется по формуле (1.9) В формуле (1.9) количество полюсов четное, и они образуют Q/2 пар комплексно- сопряженных полюсов, где вычеты этих полюсов тоже комплексно-сопряженные величины. При методе непрерывного деления числителя Z – преобразования сигнала на знаменатель, последовательность преобразования, следующая. Пусть функция имеет общий вид: Делим полином числителя функции на полином знаменателя, при этом в процессе деления на каждом его этапе исключаем член с наименьшей степенью [2]. При методе разложения Z – преобразования в степенной ряд последовательность вычисления, следующая. Пусть функция является Z – преобразование последовательности . Определим функцию следующим образом (1.11) Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки где сравнивая (11) и (12) получаем X(0)= X(1)= и т.д., в общем случае Рассмотрим применение метода на простой функции С другой стороны Выше были рассмотрены необходимые соотношения для анализа дискретных систем, которые будут приведены в следующих главах. Глава 2. Дискретные системы 2.1. Передаточная функция дискретной системы Дискретная система или дискретный фильтр – это произвольная система обработки сигнала, обладающая свойствами линейности и стационарности [1]. Линейность означает, что выходная реакция на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные по отдельности на вход, а стационарность – что задержка входного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы. Существуют и фильтры с переменными параметрами, не обладающие свойствами стационарности. Это адаптивные фильтры, изменяющие свои параметры в зависимости от статистических свойств входного сигнала, как правило. От дисперсии и функции корреляции входного сигнала. Любой фильтр обладает определенной частотной характеристикой. Чтобы коэффициент передачи фильтра на разных частотах был разным, выходной сигнал у(n)должен зависеть от нескольких отсчетов входного сигнала х(n). Следовательно, дискретный фильтр должен обладать памятью. Чтобы обеспечить линейность и стационарность, дискретный фильтр производит только операции сложения и умножения на постоянный множитель. В общем случае разностное уравнение, описывающее работу дискретной системы можно представить так: (2.1), где (М+1) равно числу входных сигналов, (К) – числу обратных связей, связанных с выходным сигналом. Вид дискретной цепи зависит от вида разностного уравнения (2.1). Если разностное уравнение имеет как прямые, так и обратные связи, то ему соответствует рекурсивная дискретная цепь (Рис.2.1) Рис.2.1 – Схема рекурсивной дискретной цепи Если в уравнении (2.1) нет обратных связей, то ему соответствует нерекурсивная цепь (Рис.2,2), который называют трансверсальным фильтром! Рис. 2.2 – Схема нерекурсивной дискретной цепи Нерекурсивный фильтр имеет конечную импульсную реакцию, и он всегда устойчив, не зависимо от начальных условий. Если уравнение (2.1) переписать в разнообразных формах, то схема дискретной цепи (рис.2.1) может быть представлена в различных вариантах [2]. Передаточной функцией дискретной цепи H(z) называют отношение Z – преобразования выходной последовательности к Z – преобразованию входной последовательности (2.2) Для получения выражения H(z) применим Z – преобразование к разностному уравнению (2.1) то есть разделим уравнение на Далее , отсюда (2.3) Передаточная функция (2.3) представляет собой отношения двух полиномов переменной (2.4) Передаточную функцию, если полиномы знаменателя и числителя имеют корни, можно представить в виде отношения множителей нулей и полюсов функции , (2.5) где соответственно нули и полюсы функции передачи k=– коэффициент усиления. Выражение (2.4) как показано в [2], может быть представлено как (2.6) где и – полюсы и вычеты функции передачи Коэффициенты представляют целую часть функции передачи . Представление дискретной цепи в виде наборов полюсов и вычетов соответствует параллельной форме реализации фильтра. При определении разностного уравнения по передаточной функции представим передаточную функцию: В соответствии с правилом получим разностное уравнение Далее: Рассмотрим методы определения выходного сигнала при известной передаточной функции дискретной цепи. Определяем Z – преобразование входной последовательности : Определяем Z – преобразование выходной последовательности Далее, зная , определяем выходной сигнал . Для определения выходной последовательности можно воспользоваться любым из методов, изложенных выше при определении последовательности по ее Z – преобразованию. Пример 1. Передаточная функция цепи имеет вид (2.7) Найти выходной сигнал при нулевых начальных условиях, если входной сигнал , методом непрерывного деления полинома числителя на полином знаменателя. Z – преобразование входного сигнала: Z – преобразование выходного сигнала Определяем значение отсчетов выходного сигнала Отсчеты выходного сигнала равны Передаточная функция (2.7) дискретной цепи, которая может быть представлена в виде структурной схемы Рис.2.3 Структурная схема дискретной цепи для передаточной характеристики (2.7) Структурная схема (рис.2.7) может быть представлена как параллельное соединение фильтров, предварительно разложив на простые дроби где Q – количество полюсов, – вычеты функции , равный = k=1,2,…,Q Таким образом, выражение (2.7) может быть разложено следующим образом. Передаточная функция : (2.8) Преобразуем (2.8) как Вычеты : = , где полюс z0 = 0, z1 = 0,3, z2 = -0,5 Отсюда = = = Таким образом (2.9) Структурная схема (рис.2.4) может быть представлена в виде суммы Рис.2.4 Структурная схема дискретной цепи согласно выражению (2.9), где H(z) = H1(z) +H2(z) Рис.2.5. Структурная схема дискретной цепи согласно выражению (2.8), где H(z) = H11(z) H22(z) Рассмотрим несколько примеров по преобразованию дискретных цепей. На рис.2.6 и рис.2.7, рис.2.8 и рис.2.9 показаны примеры преобразования дискретных цепей. На рис. 2.6 линии показывают формирование передаточной характеристики дискретной цепи, где входные сигналы определяют числитель передаточной характеристики, а обратные связи определяют множитель в знаменатели. Рис.2.6. Структурная схема дискретной цепи, где стрелочками (- - - - - -) показаны входные сигналов, для формирования выражения числителя передаточной функции H(z) (2.10), (_._._._.) – обратную связь знаменателя выражения (2.10). Как видно из рис.2.6 числитель равен = 8z- 1, а знаменатель – 1 – 6z-1, где значение обратной связи равно 6z-1. Таким образом, передаточная характеристика: (2.10), а структурная схема дискретной цепи в соответствии с (2.10) представлена на рис.2.7 Рис.2.7. Структурная схема дискретной цепи в соответствии с (2.10) В соответствии с методикой, изложенной выше, структурная схема дискретной цепи, представленная на рис.2.8 преобразована в другую структурную схему, изображенная на рис. 2.9 в соответствии с передаточной характеристикой . Рис.2.8 Структурная схема дискретной цепи до преобразования. Рис.2.9 Структурная схема дискретной цепи после преобразования На рис.2.10 и рис.2.11 показано, как определить передаточную функцию сложной системы и преобразовать в простую дискретную цепь. Рис.2.10 Структурная схема сложной дискретной цепи. На рис.2.11 представлена структурная схема дискретно цепи, где в цепи обратной связи находится фильтр с передаточной характеристикой , при этом передаточная схема дискретной цепи : Рис.2.11. Пример структурный схемы сложной дискретной цепи. Сложные дискретные цепи, представляющие параллельные или последовательные соединения, а также набор фильтров в цепях обратной связи могут быть описаны по методике, описанной выше. 2.1. Характеристики дискретных цепей К характеристикам дискретных цепей относятся: – дискретная импульсная характеристика h(nT); – комплексная частотная характеристика H(); Комплексной частотной характеристикой H() называют отношение преобразования Фурье Y() выходной последовательности к преобразованию Фурье Х(): Зная передаточную функцию H(Z), подстановкой Z= можно определить комплексную частотную характеристику дискретного фильтра Комплексную частотную характеристику можно представить в виде где | H()| – модуль частотной характеристики, амплитудно-частотная характеристика дискретного фильтра (АЧХ), – фазочастотная характеристика дискретного фильтра (ФЧХ). Импульсная характеристика дискретной цепи h(nT) - это реакция дискретной цепи у(nT) на единичный импульс Для определения выходной последовательности у(nT) на любую входную последовательность х(nT), используем формулу для линейной дискретной свертки Если входная последовательность и импульсная характеристика h(nT) конечны и отличны от нуля только в N точках (n=0,1; N-1). Тогда или Импульсная характеристика цепи h(nT) и комплексная частотная характеристика цепи H() связаны преобразованием Фурье в дискретной форме: или для физически реализуемой цепи: Связь импульсной характеристики и передаточной функции дискретной системы представим как: Для нерекурсивной цепи имеем: Рассмотрим пример определения коэффициента передачи для дифференциатора и сглаживающего устройства, применяемые для коррекции изображений, при выделении границ и удаление импульсных помех. Передаточная (системная) функция дифференциатора [3]: H(z) = 1 – z-1. Далее: Рис.2.12. Амплитудно-частотная характеристика дифференциатора Фазо-частотная характеристика: Рис.2.13. Фазо-частотная характеристика дифференциатора/ Системная функция цифрового фильтра, усредняющего текущее значение входного сигнала и двух предшествующих отсчетов: . (2.11) Частотный коэффициент передачи: . Элементарные преобразования позволяют получить следующий результат для амплитудно-частотной характеристики усреднителя: Рис.2.14 Амплитудно-частотная характеристика усреднителя. Фазо-частоная характеристика данной системы: Рис.2.15. Фазо-частотная характеристика усреднителя Предположим [4], например, что ωТ =600, т.е.на один период гармонического входного колебания приходится 6 отсчетов. Входная последовательность будет иметь следующий вид:…,0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,… При этом абсолютные значения отсчетов роли не играют, поскольку фильтр линеен. Используя алгоритм (2.11), находим выходную последовательность: …,2/3,2/3,0,-2/3,-2/3,0,… Можно заметить, что ей отвечает гармонический выходной сигнал той же частоты, что и на входе, с амплитудой в 2/3 от амплитуды входного колебания и с начальной фазой, смещенной на 600 в сторону запаздывания. Если, ωТ<1200 то рассматриваемый фильтр, сглаживая входную последовательность, может играть роль фильтра нижних частот (ФНЧ). Однако, частотная характеристика фильтра периодична и немонотонна. Если исходный аналоговый сигнал не был подвергнут предварительной частотной фильтрации и в нем присутствуют составляющие, для которых (условия теоремы Котельникова не выполняются), то они не будут ослабляться данным цифровым фильтром. Более того, по отсчетам этих высокочастотных компонент цифроаналоговый преобразователь восстановит некоторое низкочастотное колебание, которое совсем не содержалось во входном сигнале. Это паразитное явление, (эффект «наложения» или «маскировки» высокочастотных составляющих спектра), в принципе, присуще любым дискретным системам и заставляет уделить серьезное внимание предварительной обработке сигнала, повергаемое цифровой фильтрации.