Высшая геодезия. Системы координат и преобразования между ними

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» К.Ф. Афонин ВЫСШАЯ ГЕОДЕЗИЯ. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЖДУ НИМИ Учебно-методическое пособие для студентов 3 курса специальности 120101 «Прикладная геодезия» и 4 курса специальности 552300 «Геодезия» Новосибирск СГГА 2011 УДК 528.236.3 Рецензенты: Доктор технических наук, профессор Новосибирского государственного педагогического университета М.Ф. Носков Кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой кадастра Сибирской государственной геодезической академии Е.И. Аврунев Кандидат технических наук, доцент Сибирской государственной геодезической академии В.А. Скрипников Афонин, К.Ф. Высшая геодезия. Системы координат и преобразования между ними [Текст]: учебно-методическое пособие / К.Ф. Афонин. – Новосибирск: СГГА, 2011.56с. Учебно-методическое пособие составлено на кафедре высшей геодезии СГГА профессором, к.т.н. К.Ф. Афониным. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 3 курса, обучающихся по специальности 120101 «Прикладная геодезия», и студентов 4 курса, обучающихся по специальности 552300 «Геодезия». Рассмотрены основные положения и даны практические рекомендации по преобразования координат из одной системы в другую. В учебно-методическом пособии приведены общие сведения об основных системах координат, применяемых в геодезии, и необходимые рабочие формулы, а также даны примеры расчетов. Для студентов 3 курса сформулированы требования по оформлению текстовой части курсовой работы. Пособием можно также пользоваться при изучении дисциплины «Системы координат» студентами 4 курса специальности 552300 «Геодезия». 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 1.Основные системы координат, используемые в геодезии 1.1.Классификации систем координат 1.2.Система геодезических пространственных координат 1.3.Система пространственных прямоугольных координат 1.4.Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера Контрольные вопросы по первому разделу 2.Преобразование координат из одной системы в другую 2.1.Основные параметры земного эллипсоида и соотношения между ними 2.2.Радиусы кривизны плоских кривых на поверхности эллипсоида вращения 2.3.Соотношения между геодезическими пространственными и пространственными прямоугольными координатами 2.4.Определение плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам 2.5.Вычисление геодезических координат по плоским прямоугольным координатам Гаусса-Крюгера 2.6.Определение сближения меридианов и масштаба изображения в проекции Гаусса-Крюгера 2.7.Связь прямоугольных пространственных общеземных и референцных координат 2.8.Связь геодезических пространственных общеземных и референцных координат Контрольные вопросы по второму разделу 3.Технологические схемы преобразования координат 4.Региональные и местные системы плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера 4.1.Способы ввода региональных и местных систем плоских прямоугольных координат 4.2.Изменения дирекционных углов и длин сторон при вводе региональных и местных систем координат Контрольные вопросы по четвертому разделу 5.Требования к оформлению и содержанию курсовой работы Список литературы Приложение 1. Задание на выполнение курсовой работы Приложение 2. Исходные данные для выполнения курсовой работы Приложение 3. Вычисление пространственных прямоугольных координат в системе СК-42 по пространственным прямоугольным координатам в системе ПЗ-90.02 Приложение 4. Вычисление пространственных прямоугольных координат в системе СК-95 по пространственным прямоугольным координатам в системе ПЗ-90.02 3 5 6 6 8 10 11 14 16 16 17 19 21 23 25 28 30 33 35 37 37 40 42 43 44 45 46 47 48 Приложение 5. Вычисление геодезических пространственных координат по пространственным прямоугольным координатам Приложение 6. Вычисление пространственных прямоугольных координат по геодезическим пространственным координатам Приложение 7. Вычисление геодезических пространственных координат в системе СК-42 по геодезическим пространственным координатам в системе ПЗ-90.02 Приложение 8. Вычисление геодезических пространственных координат в системе СК-95 по геодезическим пространственным координатам в системе ПЗ-90.02 Приложение 9. Вычисление плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам Приложение 10. Преобразование плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера из СК-95 в СКМ Приложение 11. Вычисление сближения меридианов и масштаба изображения в СК-95 и СКМ Приложение 12. Каталог координат пункта в различных системах 4 49 50 51 52 53 54 55 56 ВВЕДЕНИЕ Применение различных систем координат при решении практических задач геодезии, топографии, землеустройства неизбежно. Это вызвано наличием у каждой системы координат целого набора положительных и отрицательных свойств, которые делают удобным или неудобным использование той или иной системы. С другой стороны использование разных систем координат вынуждает геодезистов выполнять преобразования координат своих точек из одной системы в другую. Преобразования координат в геодезии осуществляется по специальным формулам, зачастую весьма громоздким. Однако специалистам геодезического профиля, на наш взгляд, необходимо иметь теоретические знания и приобрести практические навыки решения задач по преобразованию координат в различных системах. Для получения, закрепления и систематизации теоретических знаний и приобретения вышеназванных практических навыков предназначено данное учебно-методическое пособие. Оно может использоваться в двух качествах. Во-первых, как учебное пособие при изучении дисциплины «Системы координат» на 4 курсе и, во-вторых, как методическое пособие при выполнении лабораторной работы на 4 курсе специальности 552300 «Геодезия» и курсовой работы по дисциплине «Высшая геодезия». Курсовая работа по высшей геодезии на тему «Системы координат и преобразования между ними» выполняется студентами 3 курса специальности 120101 «Прикладная геодезия». Целями курсовой работы являются: • расширение, закрепление и систематизацию теоретических знаний, и приобретение навыков практического применения этих знаний для решения конкретных научно-технических и производственных задач по преобразованию координат в различных системах; • приобретение опыта математической обработки, анализа и систематизации результатов инженерных расчетов; • приобретение опыта представления и защиты результатов своей работы. В ходе выполнения курсовой работы студентами должны быть решены следующие задачи: • систематизация и анализ теоретического материала по указанной теме; • выполнение инженерных расчетов; • анализ полученных результатов и формирование выводов; • разработка оптимальных технологических схем решения поставленных задач. 5 1. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЕОДЕЗИИ 1.1. Классификации систем координат Для решения различных задач, связанных с осуществлением хозяйственной деятельности на территории государства или его субъектов, приходится, в силу ряда причин, использовать разные системы координат (Рис.1), каждая из которых имеет свои достоинства и недостатки. Существует несколько классификаций систем координат. С одной стороны имеются системы геодезических пространственных, прямоугольных пространственных, плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. Система геодезических пространственных координат связана с поверхностью эллипсоида вращения, принимаемого за модель Земли. Положение любой точки пространства в этой системе будет однозначно определяться тремя координатами: геодезической широтой B, геодезической долготой L и геодезической высотой HГ. Тремя координатами (X, Y, Z) определяется положение любой точки и в системе прямоугольных пространственных координат. Эта СК-42 ПЗ-90.02 ∆m' , ω X' , ' ' X ,Y , Z ' ω ,ω , ' Y ' ' Z ' x , y ,z ' − − − X ,Y , Z ' ' x , y ,z , ∆a , ∆e LP0 , a, e2 L0 , a, e2 x ', y ' x, y , z ∆m, ω X , − ωY , ω Z , − − B , L, H Г x, y , z , B , L, H Г ∆a, ∆e 2 2 − − L0 , a, e 2 LM0 , a, e2 − ' L0 , a, e2 LM0 , a, e2 LP0 , a, e2 − x, y x, y x P' , y P' x M' , y M' X ,Y , Z a,e2 ∆m ' , ω X' , ωY' , ω Z' , ωY , ω Z , 2 a , e B' , L' , H 'Г ∆m, ω X , − − a,e2 СК-95 xP , yP x M' , y M' xM , yM x M' , y M' Рис. 1. Основные системы координат, используемые в геодезии 6 система не связана с поверхностью модели Земли и поэтому используется при математической обработке результатов спутниковых наблюдений (например, для определения координат точки с помощью спутниковых радионавигационных систем ГЛОНАСС и GPS). Однако основной системой координат для выполнения геодезических, инженерно-геодезических и топографических работ, межевания земель и ведения земельного кадастра и осуществления других специальных работ является система плоских прямоугольных координат. Она всегда связана с тем или иным математическим законом (проекцией) изображения поверхности эллипсоида вращения на плоскости. На территории Российской Федерации используется проекция Гаусса-Крюгера. В любой проекции поверхность модели Земли должна делиться на участки (обычно они называются зонами), которые изображаются на плоскости независимо друг от друга. Граничными линиями зон в проекции ГауссаКрюгера являются геодезические меридианы. Размеры зон по долготе в принципе могут быть любыми. Обычно используются шести и трех градусные зоны. Меридиан, проходящий посредине зоны, называется осевым. Изображения осевого меридиана и экватора эллипсоида на плоскости принимаются за координатные оси, а точка их пересечения за начало системы действительных плоских прямоугольных координат. При этом ось абсцисс направлена на север, а ось ординат на восток. Таким образом, в каждой зоне имеется своя система координат. Для того, чтобы различать зоны необходимо знать либо ее номер, присвоенный заранее, либо долготу ее осевого меридиана L0. Для выполнения взаимных преобразований координат из одной системы в другую с необходимой точностью в геодезической литературе имеются строгие формулы, которые позволяют решать эти задачи на любом эллипсоиде вращения [1-6]. Для выполнения вычислений (переходов, изображенных вертикальными стрелками на рис. 1) необходимо использовать параметры применяемого эллипсоида вращения ( a , e 2 ) и долготу осевого меридиана L0 выбранной зоны. С другой стороны каждая из перечисленных систем координат может быть общеземной и государственной. Примерами общеземных систем координат являются в настоящее время системы ПЗ-90.02 (ранее ПЗ-90) и WGS84, а государственных – СК-42 и СК-95. Для горизонтальных связей между системами (рис.1) также имеются специальные формулы [3,4,6,7]. Однако числовые значения параметров преобразования систем СК-42 и ПЗ-90 известны с недостаточной для решения многих задач точностью. Это явилось одной из причин ввода на территории России новой единой государственной системы координат 1995 года (СК-95). Новая система координат введена постановлением №586 Правительства Российской Федерации от 28 июля 2000 года и обязательна при осуществлении геодезических и картографических работ начиная с 1 июля 2002 года. Кроме этого система плоских прямоугольных координат ГауссаКрюгера может быть местной. Под местной системой понимается такая система координат, в которой начало отсчета координат и ориентировка осей 7 координат смещены по отношению к началу отсчета и положению координатных осей в единой государственной системе координат. В свою очередь внутри систем местных плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера можно выделить две группы: региональные (СКР) и собственно местные (СКМ) [8]. Региональными плоскими прямоугольными координатами ГауссаКрюгера (СКР) следует считать те, которые реализуются в нескольких зонах на территории субъектов Российской Федерации, а местными те, которые вводятся на территории населенных пунктов, строительных площадок и т. п. и реализуются в одной зоне. В последующих разделах методических указаний рассмотрим перечисленные системы координат, их достоинства и недостатки, а также приведем формулы для взаимного преобразования координат из одной системы в другую. 1.2. Система геодезических пространственных координат В системе геодезических пространственных координат положении любой точки пространства можно задать тремя координатами (рис. 2): геодезической широтой В, геодезической долготой L и геодезической высотой НГ. К HГ P Гр L О n К1 В G P1 Рис. 2. Система геодезических пространственных координат Геодезической широтой В называется острый угол, образованный нормалью Kn к поверхности эллипсоида вращения и плоскостью его экватора. Нормалью к поверхности в заданной точке является перпендикуляр к касательной плоскости в точке К1. Геодезическая широта изменяется от 0 на экваторе до 90 градусов на полюсах. Различают северные и южные широты для соответствующих полушарий. Координатная линия равных широт называется геодезической параллелью. С геометрической точки зрения она представляет собой линию пересечения поверхности эллипсоида вращения и плоскости перпендикулярной оси 8 его вращения. Все геодезические параллели - окружности разного радиуса. Если секущая плоскость будет проходить через центр эллипсоида, то будет получена параллель максимального радиуса называемая экватором. Геодезической долготой L называется двугранный угол, образованный плоскостями геодезических меридианов начального (Гринвича) и точки К (меридиан РК1GР1). Долгота может изменяться от 0 до 360 градусов и отсчитываться от Гринвичского меридиана на восток или изменяться от 0 до 180 градусов. В последнем случае необходимо указывать к востоку или к западу от Гринвича находится точка К. Координатная линия равных долгот является геодезическим меридианом. Геодезический меридиан это части линии пересечения поверхности эллипсоида вращения и плоскости, содержащей ось вращения и заключенная между полюсами. Все геодезические меридианы одинаковы и являются половинами эллипсов. Геодезической высотой НГ принято называть отрезок нормали КК1 к поверхности эллипсоида вращения, заключенный между этой поверхностью и точкой К (НГ=КК1). Геодезическая высота обычно положительна, но встречаются особые случаи, когда она может быть отрицательной (например, в шахтах, карьерах и т. п.). Геодезическую высоту не следует путать с ортометрической и нормальной высотами, которые отсчитываются от начальных уровенной (геоид) или почти уровенной (квазигеоид) поверхностей соответственно. Различия между ними могут достигать десятков метров. На территории РФ в каталогах координат пунктов и реперов хранятся нормальные высоты. Данная система координат обладает рядом достоинств: 1. Триада координат B, L, HГ однозначно определяет положение любой точки пространства. 2. Она едина для всей поверхности Земли, что позволяет объединять в общей координатной системе материалы геодезических, съемочных и картографических работ. 3. Координатными линиями в этой системе являются геодезические меридианы и параллели, относящиеся непосредственно к поверхности эллипсоида вращения. Поэтому они являются основными линиями любой картографической проекции, их используют для составления карт и объединения всех съемочных и картографических материалов в единое целое. 4. Геодезические широта и долгота определяют положение нормали к поверхности принятого эллипсоида. Это обстоятельство используется при определении составляющих уклонений отвесных линий и проведении других исследований поверхности Земли. 5. Геодезические широта и долгота точек К и К1 одинаковы, а высоты разные (НГ1=0). Поэтому использование данной системы позволяет общую сложную задачу по определению координат разделить на две подзадачи и тем самым уменьшить размерность вектора совместно вычисляемых координат точек. Так для определения B, L (х, у) на объекте создаются плановые 9 геодезические сети, а третья координата высота вычисляется по результатам нивелирования. 6. Поправки в измеренные величины (редукции) за переход с физической поверхности Земли на поверхность эллипсоида вращения обычно незначительны. Во-первых, это позволяет использовать приближенные (грубые) значения аргументов для их вычисления, а во-вторых, не учитывать такие поправки при выполнении работ невысокой точности. К недостаткам системы геодезических пространственных координат обычно относят следующее: 1. Трудности вычисления широт и долгот, так как решение прямых и обратных геодезических задач в этой системе выполняется по очень сложным громоздким формулам. 2. При использовании спутниковых технологий создания геодезических сетей поправки в результаты измерений за редукцию на поверхность эллипсоида вращения станут большими, соизмеримыми с самими измерениями. Поэтому применение геодезических пространственных координат будет не выгодным или даже невозможным. 1.3. Система пространственных прямоугольных координат За начало координат в этой системе принимается центр эллипсоида – точка О (Рис. 3.). Ось аппликат OZ направлена вдоль полярной оси на север. К4 Z P Гр X К O К2 К3 К1 Y Рис. 3. Система пространственных прямоугольных координат Ось абсцисс ОХ расположена по линии пересечения плоскостей Гринвичского меридиана и экватора. Ось ординат OY совпадает с линией пересечения плоскостей геодезического меридиана с долготой 90 градусов и экватора и дополняет систему до правой. Положение любой точки пространства будет однозначно определяться тремя координатами (Рис. 3.): абсцисса равна отрезку ОК2 (Х=ОК2), ордината соответствует отрезку координатной оси ОК3 (Y=ОК3), а аппликата равна отрезку ОК4 (Z=ОК4). 10 Достоинствами этой системы координат являются: 1. В этой системе можно однозначно определить положение любой точки пространства. 2. Для применения системы пространственных прямоугольных координат не нужно иметь поверхность относимости (поверхность эллипсоида вращения). 3. Следствием второго преимущества является то, что здесь отсутствует необходимость в редуцировании результатов полевых измерений на поверхность относимости. Поэтому эта система координат практически незаменима при математической обработке результатов спутниковых измерений. В качестве недостатков системы пространственных прямоугольных координат можно назвать следующие: 1. Здесь нельзя уменьшить размерность задач по определению координат точек (размерность вектора координат). Имеется в виду, что необходимо сразу выполнить такое количество измерений, которое позволит вычислить три координаты определяемых точек. 2. Систему пространственных прямоугольных координат неудобно использовать в топографии, при проектировании и строительстве инженерных сооружений. 3. Основной системой для решения практических задач геодезии, топографии, землеустройства является система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. Однако строгих формул для прямого перехода от пространственных прямоугольным к плоским прямоугольным координатам нет. Поэтому такой переход обычно осуществляется в два этапа: сначала необходимо вычислить пространственные геодезические координаты по пространственным прямоугольным координатам, а затем плоские прямоугольные координаты по геодезическим. 1.4. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера При производстве массовых топографо-геодезичеких работ, таких как производство топографических и кадастровых съемок, геодезическое обеспечение проектирования, строительства и эксплуатации инженерных сооружений и других применение систем пространственных прямоугольных или пространственных геодезических координат становится неудобным и обременительным. В практическом использовании наибольшее применение находит система плоских прямоугольных координат. Однако ввод такой системы координат всегда сопряжен с отображением поверхности модели Земли (поверхности эллипсоида вращения) на плоскости по какому-либо математическому закону. Закон, связывающий геодезические координаты на поверхности эллипсоида вращения и плоские прямоугольные координаты, называется проекцией. В математической картографии существует большое количество геодезических проекций и соответствующих им систем плоских прямоугольных координат. При изображении 11 поверхности модели Земли на плоскости в любой проекции неизбежно деление ее на отдельные участки, которые принято называть зонами. На территории России используется проекция Гаусса-Крюгера. В этой проекцией поверхность эллипсоида вращения делится на зоны геодезическими меридианами. В нашей стране установлены размеры зон в шесть и три градуса по долготе. Первые считаются основными, поэтому математическая обработка результатов измерений и оформление материалов топосъемок выполняются в шестиградусных зонах. Трехградусные зоны используются при производстве крупномасштабного картографирования (масштабов 1:5000 и крупнее) и вводе систем региональных плоских прямоугольных координат. Меридианы, проходящие посредине зон, называются осевыми. На рисунке (Рис. 4) изображена поверхность эллипсоида вращения, на которой показаны граничные, осевой меридианы произвольной зон и экватор. Западный граничный меридиан первой шестиградусной зоны совпадает с Гринвичским меридианом. Осевые меридианы первой шести и первой трех градусных зон совпадают. Нумерация зон ведется на восток от Гринвича. Р Гринвичский меридиан Гр Осевой меридиан К О Граничные меридианы О1 Экватор Р1 Рис. 4. Деление поверхности эллипсоида на зоны Долготы осевых меридианов L0 шести и трех градусных зон можно вычислить по формулам [1-4] L0(6)=6n - 3, L0(3)=3n’, где n, n’ – номера шести и трех градусных зон соответственно. При изображении поверхности эллипсоида вращения на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера только осевые меридианы зон и экватор становятся прямыми линиями, которые принимаются за координатные оси (Рис. 5). 12 х K1 К О1 K2 y Рис. 5. Изображение отдельной зоны на плоскости в проекции ГауссаКрюгера Их пересечение является началом системы действительных плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. Все остальные кривые поверхности эллипсоида вращения (граничные меридианы зон, параллели и др.) остаются на плоскости кривыми линиями. Действительными плоскими прямоугольными координатами ГауссаКрюгера для точки К будут являться отрезки координатных осей х=О1К1=КК2, у=О1К2=КК1. К положительным свойствам данной системы координат и проекции обычно относят: 1. Отсутствие искажений вследствие равноугольности проекции. 2. Зоны в проекции Гаусса-Крюгера совершенно одинаковые и поэтому вид применяемых формул для связи систем координат и редуцирования измеренных величин на плоскость не будут зависеть от номера зоны. 3. Пара действительных координат абсцисса х и ордината у однозначно определяет положение любой точки внутри одной зоны. 4. Применение системы плоских прямоугольных координат позволяет значительно упростить решение многих задач геодезии, топографии, землепользования. Поэтому в массовых работах она является основной. Недостатков у проекции Гаусса-Крюгера, по мнению специалистов, два. Во-первых, в данной системе координат возникают трудности при математической обработке результатов полевых измерений на объектах, вытянутых вдоль параллели и занимающих значительную площадь (объектах, расположенных в нескольких зонах). Во-вторых, действительные плоские прямоугольные координаты не дают представление о том, где на поверхности земли находится точка. Она может располагаться в любой из 60 шестиградусных зон. Для того чтобы по значениям координат можно было судить о местоположении точки на Земле в каталогах координат пунктов принято помещать так называемые условные координаты Гаусса-Крюгера x’, y’. При этом действительные и условные координаты связаны соотношениями [1-4] 13 x’=x, y’=n*106+5*105+y. Действительные и условные абсциссы равны. Для получения условной ординаты надо к действительной прибавить номер зоны умноженный на 106 и 500000. Перенос начала координат к востоку на 500 километров необходим для исключения отрицательных ординат. 14 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ 2.1. Основные параметры земного эллипсоида и соотношения между ними Поверхность земного эллипсоида, принимаемая за геометрическую модель нашей планеты, можно построить путем вращения плоской кривой эллипса вокруг его малой оси. В этом случае можно говорить о том, что поверхность земного эллипсоида является эллипсоидом вращения и состоит из бесчисленного множества совершенно одинаковых эллипсов. К основным параметрам эллипса относят [1,2]: большую a и малую b полуоси, полярное сжатие α, квадраты первого е2 и второго е’2 эксцентриситетов. Полуосями являются отрезки (Рис. 6) a =ОЕ=ОЕ1, b=ОР=ОР1. Р О Е Е1 Р1 Рис. 6. Параметры эллипса Остальные параметры связаны с полуосями формулами [1-3] a−b , a a2 − b2 2 e = , a2 α = a2 − b2 e' = . b2 2 (1) (2) (3) Для того чтобы построить поверхность эллипсоида вращения достаточно задать два параметра, один из которых обязательно должен быть линейным (например, a и α). Связь между квадратами эксцентриситетов и полярным сжатием осуществляется с помощью соотношений [1-3] e'2 2 e = , (4) 1 + e'2 e2 2 e' = , (5) 1− e2 e2 = 2α − α 2 . (6) 15 2.2. Радиусы кривизны плоских кривых на поверхности соида вращения эллип- Через любую точку поверхности эллипсоида вращения можно провести бесчисленное множество кривых. Эти кривые можно разделить на две группы: так называемые плоские кривые и кривые двоякой кривизны. В геодезии находят применение и те, и другие. Однако в данном пособии нас будут интересовать только плоские кривые. Плоские кривые это такие кривые, которые получены от пересечения поверхности эллипсоида вращения и какойлибо плоскости. Таких кривых также можно провести бесчисленное множество в любой точке поверхности. В свою очередь плоские кривые могут быть нормальными и наклонными сечениями. Нормальным сечением называется линия пересечения поверхности эллипсоида и плоскости, содержащей нормаль к этой поверхности. Примерами нормальных сечений являются геодезический меридиан, первый вертикал, экватор. Наклонным сечением является линия пересечения поверхности эллипсоида и плоскости, не содержащей нормаль к этой поверхности. Геодезические параллели (кроме экватора) представляют собой наклонные сечения. Нормальные сечения, проходящие через произвольную точку поверхности эллипсоида, будут иметь различную кривизну. И среди бесчисленного множества нормальных сечений можно будет выделить два взаимно перпендикулярных с экстремальными значениями радиусов кривизны: геодезический меридиан и первый вертикал (Рис. 7). Первым вертикалом называется нормальное сечение К1G, плоскость которого перпендикулярна плоскости геодезического меридиана. Р K1 T О B Е n 900 Е1 G Р1 Рис. 7. Геодезический меридиан, первый вертикал и геодезическая параллель Радиусы кривизны геодезического меридиана M и первого вертикала N можно определить по формулам [1-3] M = a (1 − e 2 ) , W3 16 (7) N= a W , (8) где W называется первой сфероидической функцией геодезической широты и вычисляется следующим образом W = 1 − e 2 Sin 2 B . (9) Радиус кривизны первого вертикала имеет очень важную геометрическую интерпретацию. Это отрезок нормали к поверхности эллипсоида вращения, заключенный между его поверхностью и точкой пересечения с малой осью N=K1n. При возрастании геодезической широты от 0 до 90 градусов радиусы нормальных сечений возрастают. Так на экваторе W0=1 и, следовательно, M 0 = a (1 − e 2 ) , N 0 = a . На полюсах W90 = 1 − e 2 , поэтому радиусы кривизны главных нормальных сечений достигают своих максимальных значений M 90 = a 1 − e2 , N 90 = a 1 − e2 . Однако эти радиусы оказываются равными. Ра- диус кривизны нормальных сечений на полюсах называют полярным радиусом c = M 90 = N 90 . Учет формулы (4) дает возможность представить полярный радиус несколько иначе с = a 1 + е' 2 . Использование полярного радиуса и квадрата второго эксцентриситета позволяет упростить формулы (7), (8) c , V3 c N= . V M = (10) (11) Здесь буквой V обозначена вторая сфероидическая функция геодезической широты V = 1 + e' 2 Cos 2 B . (12) Почленное деление выражения (11) на (10) дает дробь N =V 2 M (13) анализ, которой позволяет сделать следующие выводы: • радиус кривизны первого вертикала не может быть меньше радиуса кривизны меридиана ( N ≥ M ); • на полюсах радиусы кривизны нормальных сечений равны и равны полярному радиусу; • среди нормальных сечений минимальное значение имеет радиус кривизны меридиана на экваторе. Радиус кривизны геодезической параллели r =K1T можно вычислить по 17 формуле (Рис. 7) r = NCosB . (14) Максимального значения радиус параллели достигает на экваторе при широте равной нулю градусов. Здесь радиус параллели равен большой полуоси. Экватор является единственной параллелью, которая является и нормальным сечением. При движении точки к полюсам радиус параллели будет убывать. 2.3. Соотношения между геодезическими пространственными и пространственными прямоугольными координатами Формулы для вычисления пространственных прямоугольных координат точки по ее геодезическим пространственным координатам можно получить из решения прямоугольных треугольников (Рис. 8) КК6n, К1К2О, КК4n [3]. ( ) X = N + H Г CosBCosL , Y = ( N + H Г )CosBSinL , Z = ( N (1 − e 2 ) + H Г ) SinB . К4 (15) (16) (17) Z P Гр К К5 X O К2 L B n К3 К1 K6 Y Рис. 8. Связь геодезических и прямоугольных пространственных координат Примеры вычисления пространственных прямоугольных координат по геодезическим пространственным координатам для эллипсоидов с разными параметрами приведены в приложении 6. Обратный переход выполнить несколько сложнее. И эти трудности связаны с определением геодезических широт и высот. Формулу для вычисления геодезической долготы можно получить путем почленного деления выражения (16) на (15) 18 tgL = Y X . (18) Затем можно вычислить расстояние ОК1=Q между центром эллипсоида вращения и проекцией точки К на плоскость экватора. Его можно определить как гипотенузу прямоугольного треугольника К1К2О Q= X 2 +Y 2 . (19) С другой стороны расстояние Q можно выразить через геодезические широту и высоту. Из треугольника КК6n с учетом того, что отрезок К6n также равен Q, можно записать Q = ( N + H Г )CosB . (20) Почленное деление (17) на (20) дает выражение tgB = Z Q 1 . Ne 2 (1 − ) (N + H Г ) (21) Неизвестные величины широта B и высота НГ находятся в этом уравнении слева и справа от знака равенства. Поэтому, чтобы решить поставленную задачу обычно применяют метод последовательных приближений [3, 5, 6, 9]. Использование итерационных алгоритмов обычно предполагает решение двух подзадач: 1. Отыскание начального значения неизвестных. 2. Выработка признака (условия) окончания итерационного процесса. Наиболее удачный, на наш взгляд, способ решения задачи был предложен К.А. Лапингом [9]. Формулу для вычисления начального значения широты B(1) можно получить из выражения (21), временно предполагая, что геодезическая высота равна нулю (НГ=0). Тогда tgB (1) = Z 1 Q (1 − e 2 ) . (22) После этого можно построить итерационный процесс по определению геодезической широты, в котором внутри каждой итерации (i=1, 2, 3, . . .) необходимо вычислять: W ( i ) = 1 − e 2 Sin 2 B (i ) , a N (i ) = (i ) , W (i ) T = Z + N (i ) e 2 SinB ( i ) , 19 (23) (24) (25) tgB (i +1) = T (i ) Q . (26) Здесь и далее буквой i обозначен номер итерации. Итерационный процесс заканчивается в том случае, когда модуль разности широт, вычисленных в двух смежных итерациях, не будет превышать какой-то наперед заданной величины εВ (при выполнении курсовой работы εВ=0.001”) B ( i +1) − B (i ) ≤ ε B . (27) Если условие (27) не выполняется, то номер итерации увеличивается на единицу и вычисления повторяются, начиная с формулы (23). При выполнении условия (27) геодезическая широта считается найденной. Последний этап решения задачи заключается в определении геодезической высоты. Для этого итерационный процесс не нужен. Здесь можно воспользоваться одной из формул HГ = Q −N , CosB Z − (1 − e 2 ) N , SinB = QCosB + ZSinB − N (1 − e 2 Sin 2 B) . HГ = HГ (28) (29) (30) Предпочтение следует отдавать универсальной формуле (30), которая позволяет определить геодезическую высоту с меньшей погрешностью. В частном случае, когда точка К находиться на поверхности эллипсоида вращения и геодезическая высота равна нулю, формула (22) позволяет сразу вычислить окончательное значение широты. В приложении 5 приведены примеры вычисления геодезических пространственных координат по пространственным прямоугольным координатам для эллипсоидов ПЗ-90 и Красовского, и для разных систем координат (ПЗ-90.02, СК-42, СК-95). 2.4. Определение плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам Аргументами формул, связывающих плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера и геодезические координаты, являются геодезическая широта B и разность долгот l точки К и осевого меридиана зоны (Рис. 9). Рабочие формулы и технологическая последовательность вычисления плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам заключаются в следующем [1-3, 8]: 1.Определение номера зоны n по формуле 20 n = целое1( ( L + 30 ) ) , 60 (31) где "целое1" означает процедуру получения целого числа путем округления результата вычисления по правилам Гаусса. х l К1 К3 х Вx К Х у О К2 Рис. 9. Связь геодезических и плоских прямоугольных координат 2. Вычисление долготы осевого меридиана L0 зоны с номером n и получение разности долгот l L0 = 6 0 n − 3 0 , (32) l = L − L0 . (33) 3. Определение действительных плоских прямоугольных координат ГауссаКрюгера х, у  l 2 Cos 2 B  1+ (5 − tg 2 B + 9η 2 ) +  2 2  12 ρ NCosBSinBl   x=X +  4 , 2 4 2ρ l Cos B 2 4 + (61 − 58tg B + tg B ) + ......  360 ρ 4   l 2Cos 2 B  l 4Cos 4 B 2 2 1 + ( 1 − tg B + ) + * η NCosBl   2 4 6ρ 120 ρ y=   , ρ * (5 − 18tg 2 B + tg 4 B + 14η 2 − 58η 2tg 2 B) + ......   (34) (35) где Х – длина дуги меридиана от экватора до параллели с широтой В, которую можно вычислить по формуле X = a (1 − e 2 )(G0 B ρ + G1Sin 2 B + G2 Sin 4 B + G3 Sin6 B + ......) . 21 (36) Для получения коэффициентов G0, G1, G2, G3 можно использовать соотношения G0 = 1 + 3 e 2 + 45 e 4 + 175 e 6 + 11025 e 8 + ...... , 4 64 256 16384 G1 = − 3 e 2 − 15 e 4 − 525 e 6 − 2205 e 8 − ...... , 8 32 1024 4096 G2 = 15 e 4 + 105 e 6 + 2205 e 8 + ...... , 256 1024 16384 G3 = − 35 e 6 − 315 e 8 − ...... . 3072 12288 (37) (38) (39) (40) Эти коэффициенты являются функцией только квадрата эксцентриситета эллипсоида вращения, поэтому для используемого эллипсоида они могут вычисляться только один раз. 4. Определение условных плоских прямоугольных координат ГауссаКрюгера x' = x , y ' = y + n * 10 6 + 5 * 10 5 . (41) (42) В учебном пособии [3] утверждается, что погрешность вычисления плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по формулам (34)-(40) не превышает 0.001 м при разности долгот l до 30 30'. Примеры определения условных плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам для систем координат (ПЗ90.02, СК-42, СК-95) приведены в приложении 9. 2.5. Вычисление геодезических координат по плоским прямоугольным координатам Гаусса-Крюгера Формулы, по которым можно вычислить геодезические координаты по известным плоским прямоугольным координатам Гаусса-Крюгера, широко освещены в специальной литературе [1-3, 8]. Технологическая цепочка преобразования условных плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера х', y' в геодезические координаты содержит пять этапов: 1.Определение номера n шестиградусной государственной зоны по формуле n = целое( y ' 10 6 ), (43) где "целое" означает процедуру выделения целого путем отбрасывания дробной части. 2.Получение действительных плоских прямоугольных координат ГауссаКрюгера х, у 22 х = х', y = y' - n*106 - 5*105. (44) (45) 3.Вычисление геодезической широты Bх вспомогательной параллели (Рис. 9) x , G0 a (1 − e 2 ) (46) Bx = ( β + Q1 Sin 2 β + Q2 Sin 4 β + Q3 Sin6 β ) ρ . (47) β= Вспомогательные коэффициенты Q1, Q2, Q3 также зависят только от квадрата эксцентриситета и могут определяться по формулам Q1 = 3 e 2 + 3 e 4 + 213 e 6 + 255 .e 8 + ..... , (48) 8 16 2048 4096 Q2 = 21 e 4 + 21 e 6 + 549 e 8 + ...... , 256 256 8192 Q3 = 151 e 6 + 4065 e 8 + ...... . 6144 24576 (49) (50) 4.Определение геодезической широты B и разности долгот l   y2 2 2 2 2 1 −  12 N 2 (5 + 3tg Bx + η x − 9η x tg Bx ) +  2 2 y (1 + η x )tgBx   x B = Bx − ρ , 2 4 2N x y + (61 + 90tg 2 Bx + 45tg 4 Bx ) + ......  360 N x4    y2 2 2 1 −  6 N 2 (1 + 2tg Bx + η x ) +  y   x l= ρ . 4 N x CosBx  y 2 4 2 2 2 + (5 + 28tg Bx + 24tg Bx + 6η x + 8η x tg Bx ) + ...  120 N x4  (51) (52) Здесь индекс х означает, что радиус кривизны первого вертикала N должен вычисляться с использованием вспомогательной широты Вх по формулам (11), (12). Через ηх2 обозначено произведение η x2 = e' 2 Cos 2 B x . (53) 5.Вычисление долготы осевого меридиана L0 шестиградусной зоны по формуле (32) и геодезической долготы L точки L = L0 + l . (54) Погрешность вычисления геодезических координат по формулам (46)(52) не превышает 0.0001" при разности долгот l до 30 30' [3]. 23 Пример преобразования условных плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера в геодезические координаты для СК-95 приведен в приложении 10.1. 2.6. Определение сближения меридианов и масштаба изображения в проекции Гаусса-Крюгера Сближением меридианов γ в проекции Гаусса-Крюгера называется угол, образованный касательной к изображению геодезического меридиана точки и линией параллельной изображению осевого меридиана зоны (Рис. 10). Сближение меридианов используется для связи двух ориентирующих углов: геодезического азимута А12 и дирекционного угла α12 направления К1К2. x γ1 α12 A12 К1 δ12 К2 O y Рис. 10. Связь между геодезическим азимутом и дирекционным углом Необходимость ввода нового ориентирующего угла на плоскости вызвана свойствами проекции Гаусса-Крюгера. К сожалению, в этой проекции все кривые поверхности эллипсоида вращения, за исключением осевого меридиана зоны и экватора, изображаются на плоскости кривыми линиями. Геодезический меридиан точки К1 и геодезическая линия эллипсоида К1К2 будут изображаться кривыми линиями вогнутой стороной обращенные в сторону осевого меридиана зоны (Рис. 10). И хотя угловые величины поверхности эллипсоида при переходе на плоскость не изменяются, в следствии равноугольности проекции Гаусса-Крюгера, но пользоваться ими становится неудобно. Приходиться заменять изображение геодезической линии К1К2 хордой К1К2, а вместо изображения геодезического меридиана точки К1 использовать линию параллельную изображению осевого меридиана зоны. Геодезическим азимутом А12 направления К1К2 на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера называется угол, образованный касательными к изображению геодезического меридиана точки К1 и геодезической линии К1К2. Дирекционным углом α12 направления К1К2 называется угол, образованный линией, 24 проведенной через точку К1 параллельно изображению осевого меридиана зоны и хордой К1К2. И, наконец, угол δ12, образованный касательной к изображению геодезической линии К1К2 и хордой К1К2, называется в геодезии поправкой за кривизну изображения геодезической линии на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера. Рисунок 10 позволяет записать формулу, связывающую два вышеназванных ориентирующих угла α 12 = А12 − γ 1 + δ 12 . (55) Для вычисления сближения меридианов, с погрешностью не превышающей 0”,002, можно воспользоваться одной из формул [1-3], например, γ 1 = l1 SinB1 (1 + l12 ( Sin 2 B1 − 3Cos 2 B1 (1 + η12 )) + ...) . 2 6ρ (56) Приближенные расчеты (с погрешностью 2”-3”) можно выполнять по формуле γ 1 ≈ l1 SinB1 . (57) Поправка δ12 в направление К1К2 может определяться по формуле δ 12 = − f ( x 2 − x1 )(2 y1 + y 2 ) . 3 (58) Здесь буквой f обозначено выражение f = ρ 2R 2 , (59) где в свою очередь R является средним радиусом кривизны, который можно вычислить следующим образом R = MN . (60) Для вычисления поправки по формуле (58) необходимо использовать приближенные координаты определяемых пунктов. Точность, с которой должны быть получены эти координаты, зависит от класса точности создаваемой геодезической сети, расстояний между пунктами, удаления объекта от осевого меридиана зоны. Как правило, погрешность определения приближенных координат пунктов может составлять несколько десятков метров. Величины поправок в направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости при расстояниях в 20 км обычно не превышают 1012 секунд на краю шестиградусной зоны и, в топографии не учитываются. 25 Сближение меридианов по абсолютной величине на краю шестиградусной зоны будет стремиться к трем градусам. Поэтому сближение меридианов необходимо учитывать при выполнении работ любого класса точности. В приложении 11 приведен пример вычисления сближения меридианов в заданной точке для СК-95. Масштабом изображения m в математической картографии называется отношение бесконечно малого отрезка на плоскости dS к соответствующему отрезку на поверхности эллипсоида вращения ds m= dS . ds (61) Масштаб изображения является важной характеристикой любой проекции. Он дает возможность оценить величину линейных искажений и используется при получении формул для связи соответствующих расстояний на эллипсоиде и плоскости. Чем ближе масштаб изображения к единице, тем меньше искажения. Если масштаб равен единице, то искажения отсутствуют. В проекции Гаусса-Крюгера масштаб изображения равен [1-3] m = 1+ y2 y4 + 2 R 2 24 R 4 . (62) Анализ формулы (62) позволяет сделать следующие выводы: 1. Масштаб изображения в проекции Гаусса-Крюгера не может быть меньше единицы, так как действительная ордината фигурирует в этой формуле в четной степени. 2. Расстояние на плоскости не может быть меньше, чем соответствующее расстояние на поверхности эллипсоида вращения потому, что масштаб это отношение двух отрезков (формула (61)). 3. На осевом меридиане зоны масштаб изображения равен единице, поэтому говорят, что осевой меридиан любой зоны изображается без искажений. 4. Кроме ординаты масштаб изображения в проекции Гаусса-Крюгера зависит от среднего радиуса, а значит от широты. При возрастании широты средний радиус будет увеличиваться. Поэтому при движении точки вдоль линии параллельной оси абсцисс искажения будут уменьшаться. Пример определения масштаба изображения рассмотрен в приложении 11. 26 2.7. Связь прямоугольных пространственных общеземных и референцных координат В векторной форме связь прямоугольных пространственных общеземных и референцных координат можно записать с помощью равенства − X X x     −   Y  = R Y (1 + ∆m) +  y  . Z  z  −      Z    (63) В формуле (63) использована следующая система обозначений: − X −   Y  - вектор-столбец прямоугольных пространственных координат в обще−  Z    земной системе; X    Y  - вектор-столбец прямоугольных пространственных координат в рефеZ    ренцной системе; x    y  - вектор-столбец прямоугольных пространственных координат центра z   референцной системы относительно центра общеземной системы; ∆m – относительное изменение масштаба в двух системах координат − S− S ∆m = , S (64) − где S и S расстояния между одноименными точками пространства в общеземной и референцной системах координат соответственно; R – матрица преобразования (разворота) размерностью 3х3. В общем случае эта матрица состоит из девяти направляющих косинусов  r11 r12 r13    R =  r21 r22 r23  . r r r   31 32 33  (65) Здесь символами rij обозначены косинусы углов, образованных координат− ными осями старой и новой систем координат. Например, r12 = Cos( X , Y ) . Однако, при ортогональном преобразовании из девяти углов только три являют27 ся независимыми. Поэтому матрицу R обычно представляют как произведение матриц поворота вокруг трех координатных осей R = R X RY RZ . (66) В свою очередь элементы матриц RX, RY, RZ можно вычислить по формулам 1    R X =  0 Cosω X Sinω X  ,  0 − Sinω Cosω  X X   (67)  CosωY 0 − SinωY  RY =  0 1  Sinω 0 Cosω Y Y     ,   (68)  Cosω Z Sinω Z 0    RZ =  − Sinω Z Cosω Z 0  ,  1   (69) где ωX, ωY, ωZ - углы разворота вокруг соответствующих координатных осей. Формулы (63), (64), (66)-(69) совершенно строгие. Они позволяют выполнить преобразование пространственных прямоугольных координат при любых значениях параметров ωX, ωY, ωZ, ∆m, x, y, z . Если предположить, что углы разворота малы и не превышают 3,5 секунд, то при разложении синусов и косинусов в ряды можно будет ограничиться первыми членами. Тогда выражения (67)-(69) примут вид 1 0 0  RX =  0 1 ω X  0 −ω 1 X     ,   (70)  1 0 − ωY  RY =  0 1 0 ω 0 1  Y    ,   (71)  1 ωZ 0    RZ =  − ω Z 1 0  .  0 0 1   (72) При перемножении матриц (70)-(72) также можно не учитывать произведения углов ωX, ωY, ωZ 28  1 ω Z − ωY  R =  − ωZ 1 ω X  ω −ω 1 X  Y    .   (73) Формулы (63), (64), (73) дают возможность преобразовать пространственные прямоугольные координат с погрешностью, не превышающей 0, 001 метра. Эти формулы можно записать и в линейном виде, пренебрегая произведениями параметров ωX, ωY, ωZ, ∆m, x, y, z [3,6,7] − X = X + ∆mX + ω Z Y − ωY Z + x − Y = Y + ∆mY − ω Z X + ω X Z + y − Z = Z + ∆mZ + ωY X − ω X Y + z , (74) , (75) . (76) Формулы для обратного преобразования можно получить путем переноса поправочных членов в левую часть равенств (74)-(76) и учитывая, что при вычислении поправок можно использовать те пространственные прямоугольные координаты, которые на данный момент известны − − − − X = X − ∆m X − ω Z Y + ωY Z − x − − − − − − − − Y = Y − ∆m Y + ω Z X − ω X Z − y Z = Z − ∆m Z − ωY X + ω X Y − z , (77) , (78) . (79) В формулах (73)-(79) предполагается, что углы поворота ωX, ωY, ωZ вокруг соответствующих координатных осей должны выражаться в радианной мере. Пример выполнения преобразований по формулам (77)-(79) приведен в приложениях 3,4 данного учебно-методического пособия. 2.8. Связь геодезических пространственных общеземных и референцных координат Формулы для связи геодезических пространственных общеземных и референцных координат приведены в [1,6]. В данном учебном пособии эти формулы представлены несколько в другом виде. Если известны геодезические пространственные референцные координаты B, L, H Г , то соответст− − − Г вующие координаты B, L, H дующим образом в общеземной системе можно получить сле- 29 − B = B + ∆B , − L = L + ∆L − Г H (80) , (81) = H Г + ∆H . (82) В свою очередь разность геодезических широт ∆B можно представить в виде суммы поправок ∆B = ∆B1 + ∆B2 + ∆B3 , где ∆B1 = ρ (M + H Г ) (Σ 2 + Σ 3 ) , Σ1 = xCosL + ySinL , Σ 2 = NSinBCosB ( ∆ae 2 ср a ср + (1 + N 2 ∆e 2 ) ) , 2 a ср2 Σ 3 = −Σ1 SinB + zCosB , ∆B2 = (1 + eср2 Cos 2 B )(−ω X SinL + ωY CosL ) , ∆B3 = − ρ∆meср2 SinBCosB . (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) Здесь поправка ∆B1 является поправкой в широту, которая вызвана несовпадением центров двух эллипсоидов в пространстве и различием их параметров. Вторая поправка ∆B2 учитывает не параллельность координатных осей, а третья ∆B3 не равенство масштабов в двух системах координат. Углы разворота ω должны выражаться в секундах. В этих и последующих формулах введены обозначения согласно ГОСТу [6] − ∆a = a − a −2 ∆e 2 = e − e 2 , , − a+ a a ср = , 2 − (90) −2 eср2 = e + e2 , 2 (91) −2 где a, e - параметры общеземного эллипсоида ПЗ-90; a, e 2 - параметры эллипсоида Красовского. Поправка в геодезическую долготу может быть представлена в виде суммы двух поправок ∆L = ∆L1 + ∆L2 , ∆L1 ρ ( N + H Г )CosB (− xSinL + yCosL) , ∆L2 = TgB(1 − eср2 )(ω X CosL + ωY SinL) − ω Z . 30 (92) (93) (94) Первая поправка ∆L1 учитывает не совпадение центров двух систем координат в пространстве, а вторая ∆L2 не параллельность координатных осей. Поправку в геодезическую высоту удобно представить в виде суммы четырех поправок ∆H = ∆H 1 + ∆H 2 + ∆H 3 + ∆H 4 , a ср ∆e 2 ∆H 1 = − ∆a + NSin 2 B , N 2 ∆H 2 = Σ1CosB + zSinB , ∆H 3 = −eср2 NSinBCosB ( ωX ω SinL − Y CosL) , ρ ρ ∆H 4 = ∆m( aср2 N +HГ) . (95) (96) (97) (98) (99) Первая поправка ∆H 1 выражает влияние на высоту несовпадения параметров эллипсоидов, вторая ∆H 2 позволяет учесть несовпадение их центров. Влияние не параллельности координатных осей можно оценить с помощью третьей ∆H 3 поправки. И, наконец, четвертая поправка ∆H 4 вызвана различиями в масштабах в двух системах координат. Радиусы кривизны меридиана M и первого вертикала N, которые фигурируют в формулах связи координат, должны вычисляться по формулам (7)(9) с использованием средних значений параметров. Для выполнения обратного перехода от геодезических пространствен− − − Г ных общеземных координат B, L, H к геодезическим пространственным референцным координатам B, L, H Г поправки в координаты необходимо алгебраически вычитать − B = B − ∆B − L = L − ∆L − Г H Г = H − ∆H , (100) , (101) . (102) Учитывая, что при вычислении поправок в координаты достаточно удерживать 5-6 верных значащих цифр, в формулах (84)-(89), (93), (94), (96)-(99) можно использовать те значения геодезических координат, которые известны. Примеры выполнения преобразования геодезических пространственных координат из системы координат ПЗ 90.02 в СК-42 и СК-95 приведены в приложениях 7 и 8. 31 3. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ В задании на выполнение курсовой работы (Приложение 1) перед студентами поставлена задача по выбору оптимальной технологической схемы преобразования координат из одной системы в другую. При этом необходимо иметь ввиду следующие обстоятельства: • В качестве исходных данных заданы прямоугольные пространственные координаты точки в системе координат ПЗ-90.02. • В результате решения задач необходимо получить прямоугольные пространственные, геодезические пространственные и плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера в системах ПЗ-90.02, СК-42, СК-95. После изучения формул взаимного преобразования координат студенты должны рассмотреть возможные технологические схемы решения поставленной задачи. В курсовой работе необходимо предложить не менее двух технологических цепочек, которые можно реализовать. Только в этом случае у студентов появится возможность выбора наилучшей технологической схемы из нескольких предложенных. Конечно, результаты выбора будут зависеть от правила предпочтения одного варианта другому. Такое правило называется критерием оптимизации. Одним из критериев оптимизации при выборе технологии преобразования координат в курсовой работе могут являться затраты времени на выполнение вычислений на микрокалькуляторе. При описании технологических схем, которые могут быть применены для решения поставленной задачи, необходимо указывать последовательность преобразования координат и делать ссылки на рабочие формулы для этих преобразований. Сами формулы могут находиться в теоретической части курсовой работы. Далее приведем одну из возможных технологических схем преобразования координат (Рис.11). X ' ,Y ' , Z ' 1 − − − X ,Y , Z 3 2 X ,Y , Z 5 4 Г − − − B , L, H Г B, L, H Г 6 7 8 x' , y' x, y B ' , L' , H ' − − x, y Рис. 11. Технологическая схема преобразования координат 32 На первом и втором этапах технологии необходимо выполнить переход от пространственных прямоугольных координат точки в системе ПЗ-90.02, заданных в качестве исходных данных, к пространственным прямоугольным координатам в системах СК-42 и СК-95. На этих этапах вычислений необходимо использовать формулы (77)-(79), приведенные ранее в разделе 2.8. Числовые значения семи параметров преобразования координат для систем СК42 и СК-95 приведены в тексте задания на выполнение курсовой работы (Приложение 1). Третий, четвертый и пятый этапы технологической схемы (Рис. 11) посвящены решению одной, с теоретической точки зрения, задачи - вычислению геодезических пространственных координат по пространственным прямоугольным координатам. Формулы (18)-(30) для ее решения приведены в разделе 2.3 данного пособия. При этом в зависимости от системы координат (вертикальные столбцы технологической схемы) необходимо использовать параметры разных эллипсоидов вращения. В СК-42 и СК-95 должны применяться параметры эллипсоида Красовского, а в системе ПЗ-90 – параметры общеземного эллипсоида ПЗ-90. На заключительных этапах (шестой, седьмой и восьмой этапы) должен выполняться переход от геодезических широт и долгот точки к ее плоским прямоугольным координатам Гаусса-Крюгера. Формулы для решения таких задач приведены в разделе 2.4 под номерами (32)-(42). Такая задача должна решаться три раза с различными значениями параметров эллипсоидов и геодезических координат точки. В курсовой работе необходимо подобным образом описать две-три технологические схемы преобразования координат и обосновать выбор наилучшей технологии. 33 4. РЕГИОНАЛЬНЫЕ И МЕСТНЫЕ СИСТЕМЫ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА-КРЮГЕРА 4.1. Способы ввода региональных и местных систем плоских прямоугольных координат Необходимость ввода местных систем плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера обусловлена двумя причинами. Первая причина связана с обеспечением режима секретности при использовании каталогов координат пунктов и результатов топографической съемки. Если эта информация будет храниться и использоваться в местных системах координат, то она не будет иметь, в соответствии с действующими нормативными документами, грифа «Секретно». Вторая причина вызвана желанием геодезистов уменьшить величины поправок за переход на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера с тем, чтобы их можно было не учитывать при работе на своем объекте (населенном пункте, строительной площадке, карьере и т. п.), занимающем небольшую площадь. Максимальная площадь объекта не может превышать территорию субъекта РФ. В местных системах координат положение начала отсчета координат и ориентировка осей должны отличаться от существующих в государственных системах координат. С методической точки зрения местные системы координат целесообразно разделить [8] на две группы: региональные (СКР) и собственно местные (СКМ). Региональными системами плоских прямоугольных координат ГауссаКрюгера нужно называть те, которые вводятся на территории субъектов Российской Федерации. Они, как правило, реализуются в нескольких трехградусных зонах. В местных системах координат используется одна зона, размер которой специально не устанавливается потому, что он зависит от конкретного населенного пункта, строительной площадки и т.д. Региональные системы плоских прямоугольных координат можно установить только одним способом: изменением долгот осевых меридианов региональных зон по отношению к государственным зонам. В этом случае технология преобразования координат Гаусса-Крюгера из государственной системы в СКР будет содержать три основных этапа [8]. На первом этапе необходимо перейти от условных плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера к геодезическим координатам. При этом можно использовать формулы (43)-(54) и технологию, описанную в разделе 2.5. Второй этап алгоритма является ключевым. Он заключается в определении номера зоны k в СКР по формуле k = целое1( ( L − L(01) + 30 ) ) , 30 34 (103) в вычислении долготы осевого меридиана L0(k) этой зоны и получении новой разности долгот lp L(0k ) = L(01) + 30 (k − 1) , l P = L − L(0k ) . (104) (105) На третьем этапе необходимо вычислить действительные плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера хр, ур по формулам (34)-(40), которые приведены в разделе 2.4 данного учебного пособия. Завершает этот этап определение условных плоских прямоугольных координат по действительным координатам x ' P = x P + x0 , y ' P = y P + k * 10 + y0 . 6 (106) (107) Анализ формул (103), (106), (107) позволяет сделать вывод о том, что для взаимосвязи двух систем плоских прямоугольных координат ГауссаКрюгера государственной и региональной требуется знать значения трех параметров (ключей). Такими параметрами являются: • долгота осевого меридиана L(01) первой трехградусной зоны; • координаты х0, у0 начала региональной действительной системы плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера относительно начала региональной условной системы. Эти параметры устанавливаются разработчиками СКР, хранятся в территориальных инспекциях государственного геодезического надзора и являются закрытой для рядовых пользователей информацией. Для установления местных систем плоских прямоугольных координат на территории различных объектов в России применяют два способа. Первый способ принципиально такой же, как и способа ввода СКР, который был описан ранее. Отличие состоит лишь в том, что в СКМ нет деления на зоны и, поэтому за осевой меридиан обычно принимается тот, который проходит примерно посередине объекта. В этом случае формулы (105)-(107) примут несколько иной вид l М = L − LМ0 , x М' = x М + x 0 , y М' = y М + y 0 . (108) (109) (110) Такой способ ввода СКМ отличается своей строгостью. Его использование не вносит дополнительных искажений в результаты полевых измерений при их математической обработке. Однако он требует выполнения большого объема вычислительных работ, справиться с которым без привлечения компьютеров было затруднительно. 35 Поэтому до компьютеризации геодезического производства часто применяли другой способ. Его идея заключается в развороте координатных осей государственной системы и смещении начала координат (Рис. 12). хм М х ω К3 К1 К у0 ОМ К4 ум х0 К2 О у Рис. 12. Второй способ ввода местной системы координат Во втором способе формулы связи действительных плоских прямоугольных координат в государственной х=ОК1, у=ОК2 и местной хМ=ОМК3, уМ=ОМК4 системах имеют более простой вид x M = a1 x1 + b1 y1 , y M = −b1 x1 + a1 y1 , (111) (112) a1 = Cosω (1 + ∆m) , (113) (114) (115) (116) где b1 = Sinω (1 + ∆m) , х1 = х − х0 , у1 = у − у 0 . Здесь ω – угол разворота координатных осей местной системы относительно осей государственной системы координат (положительным считается разворот по ходу часовой стрелки); ∆m – относительное изменение масштаба в местной системе координат; x0 , y 0 - координаты центра местной системы координат относительно центра государственной системы координат. Во втором способе ввода СКМ параметры перехода ω, ∆m, х0, у0 задаются разработчиком системы координат и также, как в первом способе, должны быть закрыты для рядовых пользователей. Этот способ установления мест36 ных систем плоских прямоугольных координат может приводить к дополнительным искажениям результатов математической обработки полевых измерений. Причем величина искажений будет возрастать с увеличением площади объекта, на котором установлена СКМ. Поэтому в настоящее время второй способ ввода местных систем координат, по нашему мнению, использовать нецелесообразно. В курсовой работе студентам необходимо вычислить действительные плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера одного пункта в местной системе координат, воспользовавшись первым способом. Так как границы объекта не заданы, то студентам предложено за осевой меридиан в СКМ принять меридиан с геодезической долготой кратной 30 минутам и ближайшей к долготе пункта. Например, если долгота равна 88о 42’ 37”, то долгота осевого меридиана в местной системе должна быть 88о 30’ . Величины смещений начала координат х0, у0 следует принять равными нулю. Пример преобразования плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера из СК-95 в СКМ приведен в приложении 10. 4.2. Изменения дирекционных углов и длин сторон при вводе региональных и местных систем координат При вводе региональных и местных систем плоских прямоугольных координат первым способом будут изменяться дирекционные углы направлений по сравнению с их значениями в государственных системах координат. Методика оценивания величин таких изменений должна быть одинакова для СКР и СКМ. Получить формулу для расчета изменения дирекционных углов можно следующим образом. Формулу (55) связи дирекционных углов и геодезических азимутов можно записать и для местной системы координат α 12М = A12 − γ 1M + δ 12M , (117) где сближение меридианов γ 1М и поправку за кривизну изображения геодезической линии на плоскости δ 12М в СКМ можно вычислить по формулам (56), (58) соответственно. При этом разность долгот и приближенные координаты пунктов необходимо взять в местной системе координат. Разность выражений (115) и (55) дает формулу для вычисления величины изменения дирекционных углов одноименных направлений α 12М − α 12 = (γ 1 − γ 1М ) + (δ 12М − δ 12 ) . (118) Анализ уравнения (116) позволяет говорить о том, что на изменение дирекционных углов влияют две причины. Первая – это изменение сближения меридианов в точке К1 (Рис. 10). Разность сближений меридианов зависит от величины изменения долгот осевых меридианов в государственной и мест37 ной системах координат. Это основная поправка в дирекционные углы. По абсолютной величине она может достигать нескольких градусов и должна учитываться при выполнении топогеодезических работ любого класса точности и назначения. Вторая причина различия в дирекционных углах заключается в том, что при переходе к СКМ изменяется величина поправки в направление за кривизну изображения геодезической линии на плоскости. Разность поправок (δ 12М − δ 12 ) будет по модулю гораздо меньше, чем разность сближений меридианов. Эта разность, как правило, будет выражаться в секундах, в редких случаях может достигать 10-12 секунд. Поэтому учитывать ее необходимо только при выполнении геодезических работ соответствующего класса точности. Формулы для вычисления разностей дирекционных углов одноименных направлений в СКР и государственной системах координат будут иметь вид (118). При вводе местных систем координат вторым способом дирекционные углы всех направлений будут изменяться на одну и туже величину равную углу разворота координатных осей ω (Рис. 12). При выполнении курсовой работы студентам предложено оценить величину изменения дирекционных углов направлений, вызванную изменением сближений меридианов. Для этого необходимо выполнить вычисление сближения меридианов в заданной точке в различных системах координат: СК-95 и СКМ. Пример определения сближений меридианов приведен в приложении 11. Разность сближений меридианов (γ − γ М ) для заданной точки составит 10 15’ 28.463”. Поэтому можно сделать вывод о том, что при вводе местной системы координат дирекционные углы направлений могут изменяться на величину порядка 10 15’ 30”. Кроме дирекционных углов на объектах, где введена региональная или местная система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера первым способом, будут изменяться и линейные искажения. А это в свою очередь будет приводить к изменению поправок в расстояния, которые вызваны переходом с поверхности эллипсоида вращения на плоскость. Для оценки величин возможных изменений искажений в курсовой работе необходимо определить масштабы изображений в заданной точке в СК-95 и СКМ. Такие вычисления выполнены в приложении 11. Величину относительного изменения линейных искажений ∆S можно оценить по формуле ∆S = (m − 1) y2 ≈ (m M − 1) y M2 . (119) В нашем случае ∆S получилось равным 73. Это означает, что линейные искажения в СКМ по сравнению с искажениями в СК-95 будут меньше в 70 раз. Во столько же раз будут уменьшаться и поправки в расстояния за переход с поверхности эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера. Если ме38 стная система координат введена вторым способом, то относительные изменения масштаба будут равны ∆m (формулы (113,114)). 39 5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ И СОДЕРЖАНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ Текстовая часть курсовой работы и приложения должны размещаться на одной стороне стандартных листов бумаги формата А4 и начинаться с титульного листа. На титульном листе необходимо указать название министерства, вуза и кафедры. Затем должно быть написаны название курсовой работы, фамилия, инициалы и группа студента, фамилия и инициалы руководителя. Внизу страницы по центру необходимо указать год выполнения курсовой работы. Все страницы, рисунки, формулы и таблицы должны быть пронумерованы. Нумерация должна быть сквозной по всему тексту курсовой работы. Страницы должны иметь поля: левое – 35 мм, правое -10 мм, верхнее и нижнее по 20 мм. Текст курсовой работы должен набираться в редакторе Microsoft Word шрифтом Times New Roman кегль 14 с полуторным межстрочным интервалом. Выравнивание текста по ширине с абзацным отступом в 10 мм. Курсовая работа должна быть сброшюрована. К содержанию курсовой работы предъявляются следующие требования. Работа начинается с оглавления. Затем должны следовать введение, описание теоретических разделов с приведением необходимых рисунков, рабочих формул и пояснений к ним, заключение и список использованных источников. Разделы могут делить на подразделы. Каждый новый раздел курсовой работы рекомендуется начинать с нового листа. В приложениях к курсовой работе необходимо поместить задание на выполнение работы и исходные данные, выданные руководителем, а также таблицы с результатами вычислений. Последним приложением должен быть каталог координат пункта в различных системах. 40 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Морозов, В.П. Курс сфероидической геодезии: Учебник для вузов [Текст] / В.П. Морозов. – М.: Недра, 1969. – 304 с. 2. Морозов, В.П. Курс сфероидической геодезии. Издание второе, переработанное и дополненное: Учебник для вузов [Текст] / В.П. Морозов. – М.: Недра, 1979. – 296 с. 3. Телеганов, Н.А. Высшая геодезия и основы координатно-временных систем. Учебное пособие. [Текст] / Н.А. Телеганов, А.В. Елагин. - Новосибирск: СГГА, 2004. – 238 с. 4. Телеганов, Н.А. Метод и системы координат в геодезии. Учебное пособие. [Текст] / Н.А. Телеганов, Г.Н. Тетерин.– Новосибирск: СГГА, 2008. – 143 с. 5. Глушков, В.В. Космическая геодезия: Методы и перспективы развития. [Текст] / В.В. Глушков, К.К. Насретдинов, А.А. Шаравин.- М.: Институт политического и военного анализа, 2002. - 448 с. 6. ГОСТ Р 51794-2008. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек. Национальный стандарт Российской Федерации. [Текст] / М.: Стандартинформ, 2009. – 16 с. 7. Яковлев, Н.В. Практикум по высшей геодезии (вычислительные работы). Издание второе: Учебное пособие для вузов [Текст] / Н.В. Яковлев, Н.А. Беспалов, В.П. Глумов, Ю.Г. Карпушин, А.В. Мерзенин, Л.В. Огородова, Л.П. Пеллинен. - М.: Альянс, 2007. – 368 с. 8. Карпик, А.П. Система региональных плоских прямоугольных координат Новосибирской области. [Текст] / А.П. Карпик, К.Ф. Афонин, Н.А. Телеганов, П.К. Шитиков, Д.Н. Ветошкин, С.В. Кужелев, В.А. Тимонов. // Сб. материалов IV Международного научного конгресса «Гео-Сибирь-2008» т.1, ч.1, С. 20-31. 9. Лапинг К.А. Вычисление координат и высот точек по измеренным азимутам нормальных сечений и углам наклона хорд на двух исходных пунктах. [Текст] / К.А. Лапинг. // Известия вузов «Геодезия и аэрофотосъемка», 1962, №1, С. 3-8. 41 Приложение 1 ЗАДАНИЕ на выполнение курсовой работы по высшей геодезии на тему: «Системы координат и преобразования между ними» Цель работы: Изучить способы преобразования координат в различных системах: референцной и общеземной; геодезической, прямоугольной плоской и пространственной. Исходные данные: 1.Задание на выполнение курсовой работы. 2.Прямоугольные пространственные координаты точки в системе координат ПЗ-90.02. 3.Параметры эллипсоидов Красовского и ПЗ-90: a = 6378245 м, е2= 0.00669342162, − a = 6378136.3 м , e2= 0.00669436619. 4.Элементы ориентирования системы координат СК-42 относительно системы ПЗ-90.02: x’= 23.93 м , y’= -141.03 м , z’= -79.98 м , ω’x= 0, ω’y= -0.35, ω’z= -0.79, ∆m’= -0.22*10-6. 5.Элементы ориентирования системы координат СК-95 относительно системы ПЗ-90.02: x=24.83 м, y=-130.97 м, z=-81.74 м, ωx= 0, ωy= 0, ωz= -0.13 , ∆m= -0.22*10-6, 6.Список рекомендуемой литературы. СОДЕРЖАНИЕ 1.Описать системы координат, применяемые в геодезии. Показать их достоинства и недостатки. 2.Предложить возможные технологические схемы преобразования координат из одной системы в другую. Привести рабочие формулы, необходимые для этих преобразований. Сделать выбор оптимальной технологической схемы. 3.Выполнить необходимые вычисления и получить каталоги геодезических, пространственных прямоугольных, плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера в системах ПЗ-90.02, СК-42, СК-95. 4.Обосновать целесообразность ввода местной системы (СКМ) плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. 5.Преобразовать для заданной точки плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера из СК-95 в СКМ. Оценить величину изменений линейных искажений и дирекционных углов. 42 Приложение 2 ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ для выполнения курсовой работы − X (м) − Y (м) − Z (м) Пространственные прямоугольные координаты в системе ПЗ-90.02 79729.018 3541395.804 5286660.880 43 Приложение 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ В СИСТЕМЕ СК-42 ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ В СИСТЕМЕ ПЗ-90.02 Элементы взаимного ориентирования систем координат СК-42 и ПЗ-90.02 x’ = y’ = z’ = ω’x = ω’y = ω’z = ∆m’ = Координаты в системе ПЗ-90.02 ∆m’X, ∆m’Y, ∆m’Z ω’xY/ρ ω’xZ/ρ ω’yX/ρ ω’yZ/ρ ω’zX/ρ ω’zY/ρ Координаты центра x’, y’, z’ Координаты в системе СК-42 ВЫЧИСЛЕНИЕ Х 79729,018 -0,018 23,93 -141,03 -79,98 -0,35 -0,79 -0,00000022 ВЫЧИСЛЕНИЕ Y 3541395,804 -0,779 ВЫЧИСЛЕНИЕ Z 5286660,880 -1,163 0,000 0,000 -0,135 -8,971 -0,305 -13,564 23,930 79709,699 44 -141,030 3541537,308 -79,980 5286742,158 Приложение 4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ В СИСТЕМЕ СК-95 ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ В СИСТЕМЕ ПЗ-90.02 Элементы взаимного ориентирования систем координат СК-95 и ПЗ-90.02 x= y= z= ωx = ωy = ωz = ∆m = Координаты в системе ПЗ-90.02 ∆mX, ∆mY, ∆mZ ωxY/ρ ωxZ/ρ ωyX/ρ ωyZ/ρ ωzX/ρ ωzY/ρ Координаты x, y, z Координаты в системе СК-95 ВЫЧИСЛЕНИЕ Х 79729,018 -0,018 24,83 -130,97 -81,74 -0,13 -0,00000022 ВЫЧИСЛЕНИЕ Y 3541395,804 -0,779 ВЫЧИСЛЕНИЕ Z 5286660,880 -1,163 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,050 -2,232 24,83 79706,438 45 -130,97 3541527,503 -81,74 5286743,783 Приложение 5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ Параметры эллипсоидов e = ПЗ-90 6378136,3 0,00669436619 Красовского 6378245 0,00669342162 Система координат X Y Z ПЗ-90.02 79729,018 3541395,804 5286660,880 СК-42 79709,699 3541537,308 5286742,158 СК-95 79706,438 3541527,503 5286743,783 L (гр. мин. сек.) 88 42 37,0531 88 42 38,3631 88 42 38,5401 Q 3542293,178 3542434,211 3542424,335 56 21 14,1452 56 21 11,7296 56 21 12,0241 (1) 0,9976776510 6392983,038 5322288,330 0,9976780153 6393089,657 5322364,897 0,9976780108 6393089,685 5322366,556 (гр. мин. сек.) (2) (1) IB -B I (сек.) 56 21 14,1111 0,0341 56 21 11,6920 0,0377 56 21 11,9869 0,0373 (2) 0,9976776515 6392983,035 5322288,326 0,9976780158 6393089,653 5322364,893 0,9976780114 6393089,681 5322366,552 (гр. мин. сек.) (2) IB -B I (сек.) 56 21 14,1110 0,0001 56 21 11,6919 0,0001 56 21 11,9868 0,0001 341,138 376,402 372,283 a = 2 (1) B (гр. мин. сек.) W (1) N (1) T (2) B W (2) N (2) Т (3) B (3) Hгеод (м) 46 Приложение 6 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ КООРДИНАТАМ Параметры эллипсоидов ПЗ-90 6378136,3 0,00669436619 Красовского 6378245 0,00669342162 Система координат B(гр. мин. сек.) L(гр. мин. сек.) Hгеод ПЗ-90.02 56 21 14,1110 88 42 37,0531 341,138 СК-42 56 21 11,6919 88 42 38,3631 376,402 СК-95 56 21 11,9868 88 42 38,5401 372,283 SinB CosB 0,832475905 0,554061249 0,832469407 0,554071013 0,832470199 0,554069822 SinL CosL 0,999746669 0,022507741 0,999746812 0,022501392 0,999746831 0,022500534 W N 0,9976776515 6392983,035 0,9976780158 6393089,653 0,9976780114 6393089,681 X Y Z 79729,017 3541395,804 5286660,880 79709,699 3541537,308 5286742,158 79706,438 3541527,503 5286743,784 a = 2 e = 47 Приложение 7 ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ В СИСТЕМЕ СК-42 ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ КООРДИНАТАМ В СИСТЕМЕ ПЗ-90.02 Элементы взаимного ориентирования систем координат СК-42 и ПЗ-90.02 x’ = y’ = z’ = ω’x = ω’y = ω’z = ∆m’ = 23,93 -141,03 -79,98 -0,35 -0,79 -0,00000022 Параметры эллипсоидов: ПЗ-90, Красовского, средние значения a = e 2 = ПЗ-90 6378136,3 0,00669436619 Красовского 6378245 0,00669342162 средние знач. 6378190,6 0,00669389390 Разности параметров эллипсоидов (ПЗ-90 - Красовского) Координаты в системе ПЗ-90.02 (B L H) Sin(B L) Cos(B L) W M (N) ρ/(M+H) (ρ/((N+H)CosB)) NSinBCosB Σ1 Σ2 Σ3 ∆B1 ∆B2 ∆B3 ∆L1 ∆L2 ∆H1 ∆H2 ∆H3 ∆H4 Разности координат (∆B ∆L ∆H) Координаты в системе СК-42 (B L H) ∆a= 2 ∆e = -108,7 0,00000094457 ВЫЧИСЛЕНИЕ ШИРОТЫ B 56 21 14,1110 0,832476 0,554061 0,997678 6379838 0,0323290 2948741 -140,456 2,455 72,612 2,4269 -0,0079 0,0001 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОЛГОТЫ L 88 42 37,0531 0,999747 0,022508 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСОТЫ Н 341,138 6393036 0,0582287 -1,5779 0,2678 2,4191 56 21 11,6919 48 -1,3101 88 42 38,3632 110,540 -144,402 -0,001 -1,400 -35,263 376,401 Приложение 8 ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ В СИСТЕМЕ СК-95 ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ КООРДИНАТАМ В СИСТЕМЕ ПЗ-90.02 Элементы взаимного ориентирования систем координат СК-95 и ПЗ-90.02 х= у= z= ωx= ω y= ωz= ∆m= 24,83 -130,97 -81,74 -0,13 -0,00000022 Параметры эллипсоидов: ПЗ-90, Красовского, средние значения ПЗ-90 Красовского средние знач. a = 6378136,3 6378245 6378190,6 2 0,00669436619 0,00669342162 0,00669389390 e = Разности параметров эллипсоидов (ПЗ-90 - Красовского) Координаты в системе ПЗ-90.02 (B L H) Sin(B L) Cos(B L) W M (N) ρ/(M+H) (ρ/((N+H)CosB)) NSinBCosB Σ1 Σ2 Σ3 ∆B1 ∆B2 ∆B3 ∆L1 ∆L2 ∆H1 ∆H2 ∆H3 ∆H4 Разности координат (∆B ∆L ∆H) Координаты в системе СК-95 (B L H) ∆a= 2 ∆e = -108,7 0,00000094457 ВЫЧИСЛЕНИЕ ШИРОТЫ B 56 21 14,1110 0,832476 0,554061 0,997678 6379838 0,0323290 2948741 -130,378 2,455 63,247 2,1241 0,0000 0,0001 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОЛГОТЫ L 88 42 37,0531 0,999747 0,022508 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСОТЫ Н 341,138 6393036 0,0582287 -1,6171 0,1300 2,1242 56 21 11,9868 49 -1,4871 88 42 38,540 110,540 -140,284 0,000 -1,400 -31,144 372,282 Приложение 9 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА-КРЮГЕРА ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ Параметры эллипсоидов ПЗ-90 6378136,3 0,00669436619 Красовского 6378245 0,00669342162 Система координат B (гр. мин. сек.) L (гр. мин. сек.) ПЗ-90.02 56 21 14,1110 88 42 37,0531 СК-42 56 21 11,6919 88 42 38,3631 СК-95 56 21 11,9868 88 42 38,5401 n Lo (гр.) 15 87 15 87 15 87 l (рад) 0,0298502358 0,0298565868 0,0298574450 SinB CosB TgB 2 η W N 0,8324759048 0,5540612492 1,5024979746 0,0020689125 0,9976776515 6392983,035 0,8324694066 0,5540710126 1,5024597709 0,0020686915 0,9976780158 6393089,653 0,8324701988 0,5540698224 1,5024644281 0,0020686826 0,9976780114 6393089,681 G0 G1 G2 G3 1,0050524913 -0,0025315490 0,0000026569 -0,0000000035 1,0050517739 -0,0025311888 0,0000026561 -0,0000000035 lCosB X ∆x y(д) 0,0165388589 6247969,584 1313,790 105726,591 0,0165426693 6248004,821 1314,384 105752,711 0,0165431092 6248013,943 1314,458 105755,523 x y 6249283,374 15605726,591 6249319,205 15605752,711 6249328,401 15605755,523 a = 2 e = 50 Приложение 10 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА-КРЮГЕРА ИЗ СК-95 В СКМ Параметры эллипсоида a = 2 e = Красовского 6378245 0,00669342162 1. Вычисление геодезических координат по плоским прямоугольным координатам в СК-95 Система координат x y СК-95 6249328,401 15605755,523 n y(д) 15 105755,523 G0 Q1 Q2 Q3 1,0050517739 0,0025184648 0,0000036999 0,0000000077 β(рад) 0,9814324288 Bx(рад) 0,9837571782 SinBx CosBx TgBx 2 η Wx Nx 0,8325843367 0,5538982959 1,5031357614 0,0020674020 0,9976773739 6393093,767 Lo(рад) l(рад) 1,5184364492 0,0298574449 B(рад) L(рад) 0,9835511471 1,5482938942 B (гр. мин. сек.) L (гр. мин. сек.) 56 21 11,9868 88 42 38,5401 51 2. Вычисление плоских прямоугольных координат в СКМ по геодезическим координатам в СК-95 Система координат B (гр. мин. сек.) L (гр. мин. сек.) М СКМ 56 21 11,9868 88 42 38,5401 Lo (гр. мин.) М Lo (рад) 88 30 1,5448103135 l(рад) 0,0034835807 SinB CosB TgB 2 η W N 0,8324701988 0,5540698224 1,5024644281 0,0020686826 0,9976780114 6393089,681 G0 G1 G2 G3 1,0050517739 -0,0025311888 0,0000026561 -0,0000000035 lCosB X ∆x 0,0019301469 6248013,943 17,892 хм yм 6248031,835 12339,593 Приложение 11 ВЫЧИСЛЕНИЕ СБЛИЖЕНИЯ МЕРИДИАНОВ И МАСШТАБА ИЗОБРАЖЕНИЯ В СК-95 И СКМ Параметры эллипсоида a = 2 e Система координат B (гр. мин. сек.) L (гр. мин. сек.) = Красовского 6378245 0,00669342162 СК-95 56 21 11,987 88 42 38,540 СКМ 56 21 11,987 88 42 38,540 n Lo (гр. мин.) 15 87 00 88 30 l (рад) 0,0298574445 0,0034835802 SinB CosB TgB 2 η W N 0,8324701988 0,5540698224 1,5024644281 0,0020686826 0,9976780114 6393089,681 γ (гр. мин. сек.) 1 25 26,626 0 09 58,163 m 1,00013712 1,00000187 52 Приложение 12 КАТАЛОГ координат пункта в различных системах Система координат X (м) Y (м) Z (м) B (гр. мин. сек.) L (гр. мин. сек.) Hгеод (м) х (м) у (м) ПЗ-90.02 СК-42 СК-95 СКМ 79729,018 79709,699 79706,438 3541395,804 3541537,308 3541527,503 5286660,880 5286742,158 5286743,783 56 21 14,1110 56 21 11,6919 56 21 11,9868 88 42 37,0531 88 42 38,3631 88 42 38,5401 341,138 376,402 372,283 6249283,374 6249319,205 6249328,401 6248031,835 15605726,591 15605752,711 15605755,523 12339,593 53