Введение в математический анализ

Глава 5. Введение в математический анализ Первый уровень cложности 5.1. Функция одной переменной Справочный материал. Если каждому значению, которое может принять переменная , по некоторому правилу ставится в соответствие одно определённое значение переменной y, то говорят, что – это однозначная функция от , и обозначают . Переменную называют независимой переменной или аргументом. Множество всех значений переменной , для которых функция определена, называется областью определения функции. Функция называется чётной, если: 1) множество определения функции симметрично относительно нуля; 2) для любого из области определения справедливо равенство . График чётной функции симметричен относительно оси . Функция называется нечётной, если: 1) множество определения функции симметрично относительно нуля; 2) для любого из области определения справедливо равенство . График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Графиком функции называется множество точек плоскости , координаты которых связаны соотношением . Основные элементарные функции. 1) Степенная функция: , . Область определения зависит от значений . 2) Показательная функция: , , . Область определения: . 3) Логарифмическая функция: , , . Область определения: . 4) Тригонометрические функции: , , , . Область определения функций , : ; область определения функции : ; область определения функции : . 5) Обратные тригонометрические функции: , , , . Область определения функций , ; область определения функций : , : . Элементарной называется функция, получаемая из основных элементарных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции. График функции иногда можно построить с помощью преобразований графика уже известной функции. 1) График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на вверх, если , и вниз, если . 2) График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на вправо, если , и влево, если . 3) График функции получается из графика функции растяжением вдоль оси в раз, если и сжатием вдоль оси в раз, если . y  f k x получается из графика 4) График функции функции сжатием вдоль оси в раз, если и растяжением вдоль оси в раз, если . 5) График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси . 6) График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси . Пример 1.5.1. Для функции 1) ; 2) найти: ; 3) ; 4) ; 5) . Решение. Подставляя в исходную функцию вместо переменной числовые значения, получаем: 1) ; 2) 3) 4) заданные . ; ; 5) . Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Пример 1.5.2. Найти область определения функций: 1) 4) ; 2) ; 5) ; 3) ; 6) ; . Решение. 1) Функция определена, когда знаменатель не равен нулю: . Отсюда . Поэтому область определения функции: . 2) Функция определена, когда знаменатель не равен нулю: . Отсюда . Поэтому область определения функции: . 3) Функция определена, когда выражение под знаком корня неотрицательно: . Отсюда функции: . Поэтому область определения . 4) Так как "корень" находится в знаменателе, то функция определена, когда выражение под знаком корня положительно: . Отсюда или . Поэтому область определения функции: . 5) Функция определена, когда аргумент логарифма положителен: . Отсюда . Поэтому область определения функции: . 6) Функция определена, когда аргумент арксинуса заключён в отрезке : . Отсюда . Поэтому область определения функции: . Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Пример 1.5.3. Какие из функций являются чётными, какие нечётными, какие не являются ни чётными, ни нечётными: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Решение. 1) Найдём область определения функции: . Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдём значение функции при смене знака её аргумента: . Так как значение функции не изменилось, то функция является чётной. 2) Найдём область определения функции: . Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдём значение функции при смене знака её аргумента: . Так как значение функции изменилось на противоположное, то функция является нечётной. 3) Найдём область определения функции: . Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдём значение функции при смене знака её аргумента: . Так как значение функции изменилось, но не на противоположное, то функция не является ни чётной, ни нечётной. 4) Найдём область определения функции: . Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдём значение функции при смене знака её аргумента: . Так как значение функции изменилось на противоположное, то функция является нечётной. 5) Найдём область определения функции: . Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдём значение функции при смене знака её аргумента: . Так как значение функции не изменилось, то функция является чётной. 6) Найдём область определения функции: . Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдём значение функции при смене знака её аргумента: . Так как значение функции не изменилось, то функция является чётной. Ответ: 1) чётная; 2) нечётная; 3) ни чётная, ни нечётная; 4) нечётная; 5) чётная; 6) чётная. Пример 1.5.4. Построить графики функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Решение. 1) Функция линейная. Её графиком является прямая линия, для построения которой достаточно знать две точки. Зададим переменной два числовых значения и вычислим соответствующие значения переменной . Если , то ; если , то . Получили две точки: , . Строим эти точки и проводим через них прямую линию (рис. 1.5.1). График данной функции можно получить также из графика функции сдвигом его на ед. вправо. 2) Функция квадратичная. Её графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Найдём координаты вершины параболы. Для этого выделим полный квадрат относительно переменной : . Вершина находится в точке . Для построения более точного графика найдём точки, симметричные относительно прямой . Например, , . Строим график (рис. 1.5.2). 3) График данной функции можно получить из графика функции сдвигом его на ед. вправо и затем сдвигом на ед. вниз (рис. 1.5.3). 4) Функция дробно-линейная. Её графиком является гипербола. График данной функции можно получить из графика функции растяжением его вдоль в раза, затем симметричным отражением относительно оси и сдвигом на ед. вверх (рис. 1.5.4). Рис. 1.5.1. График функции (к Примеру 1.5.4(1)) Рис. 1.5.2. График функции (к Примеру 1.5.4(2)) Рис. 1.5.3. График функции (к Примеру 1.5.4(3)) 5) Функция показательная. Её график можно получить из графика функции сдвигом его на ед. влево и затем сдвигом на ед. вверх (рис. 1.5.5). 6) Функция тригонометрическая. Её графиком является синусоида. График данной функции можно получить из графика функции сжатием его вдоль оси в раза, затем симметричным отражением относительно оси и растяжением вдоль оси в раза (рис. 1.5.6). Рис. 1.5.4. График функции (к Примеру 1.5.4(4)) Рис. 1.5.5. График функции (к Примеру 1.5.4(5)) Рис. 1.5.6. График функции (к Примеру 1.5.4(6)) 5.2. Предел функции Справочный материал. Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого числа найдётся такое число , зависящее от , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Используется обозначение: . Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого числа найдётся такое число , зависящее от , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Используется обозначение: . Функция называется бесконечно малой при , если если для любого сколь угодно малого числа найдётся такое число , зависящее от , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , то есть . Функция называется бесконечно большой при , если если для любого сколь угодно большого числа найдётся такое число , зависящее от , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , то есть . Функция называется ограниченной при , если существуют положительные числа и , такие, что при условии , выполняется неравенство . Основные свойства бесконечно малых функций. 1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. 2) Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. 3) Произведение постоянной на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. 4) Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. 5) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть функция бесконечно малая. Основные свойства бесконечно больших функций. 1) Произведение бесконечно большой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть функция бесконечно большая. 2) Сумма бесконечно большой функции и ограниченной функции есть функция бесконечно большая. 3) Частное от деления бесконечно большой функции на функцию, имеющую предел, есть функция бесконечно большая. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. 1) Если функция – бесконечно малая и не обращается в ноль, то функция – бесконечно большая. 2) Если функция – бесконечно большая, то функция – бесконечно малая. Арифметические операции с пределами. Если существует и 1) 2) в частности, в частности, , то: ; ; , где , где ; ; , при условии что 3) Неопределённости. 1) Если малые функции при , то есть , , то отношение и – бесконечно называют неопределённостью вида ; 2) Если большие функции при при , то есть , , то отношение и – бесконечно называют неопределённостью вида ; 3) Если , , то есть – бесконечно малая функция при , – бесконечно большая функция при , то произведение называют неопределённостью вида ; 4) Если , , то есть и – бесконечно большие функции при , причём бесконечно большие одного знака, то разность называют неопределённостью вида . Пример 1.5.5. Вычислить пределы: 1) ; 2) 4) ; 5) 7) 10) ; 8) ; 11) ; ; ; 3) ; 6) ; 9) ; ; 12) . Решение. На практике вычисление предела функции начинают с подстановки вместо переменной её предельного значения. Если при этом значение функции равно числу или бесконечности, то это и будет значение предела. Если же возникают неопределённости, то выполняют преобразования, позволяющие их раскрыть. 1) Так как при функция стремится к числу , то . 2) Так как при числитель стремится к числу , а знаменатель, стремится к числу , то . 3) Представим функцию в виде произведения двух функций: . Так как при функция является бесконечно малой при стремится к числу , то функция , то есть является бесконечно большой при . Также при функция стремится к числу . Таким образом, мы имеем произведение бесконечно большой функции на функцию, предел которой отличен от нуля. Как известно, такое произведение является бесконечно большой функцией, а значит предел такого произведения равен бесконечности: . 4) При большой при функция неограниченно возрастает, то есть является бесконечно . Значит её предел при равен бесконечности: . 5) Так как при функция неограниченно возрастает, то есть являются бесконечно большой при , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости вынесем за скобку с наибольшим показателем степени, то есть . Получаем: . При при функция функция является бесконечно большой. Так как является бесконечно малой, то при функция имеет предел, равный . Таким образом, мы имеем произведение бесконечно большой функции на функцию, предел которой отличен от нуля. Как известно, такое произведение является бесконечно большой функцией, а значит предел такого произведения равен бесконечности: . 6) Представим функцию в виде произведения двух функций: . Так как при функция есть является бесконечно большой при стремится неограниченно возрастает, то , то функция является бесконечно малой при . Таким образом, мы имеем произведение постоянной на бесконечно малую функции. Как известно, такое произведение является бесконечно малой функцией, а значит предел такого произведения равен нулю: . 7) Так как при функции и неограниченно возрастают, то есть являются бесконечно большими функциями при , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости разделим числитель и знаменатель дроби на . Получаем: . Учитывая, что при функция является бесконечно малой, получаем: . 8) Так как при функции и неограниченно возрастают, то есть являются бесконечно большими функциями при , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости разделим числитель и знаменатель дроби на с наибольшим показателем степени, то есть на . Получаем: . Учитывая, что при функции бесконечно малыми, получаем: , , , являются . 9) Так как при функции и неограниченно возрастают, то есть являются бесконечно большими функциями при , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости разделим числитель и знаменатель дроби на с наибольшим показателем степени, то есть на . Получаем: . Так как при функции , функция , , являются бесконечно малыми, то при имеет предел, равный бесконечно малой. Поэтому при , а функция является частное этих функций является функцией бесконечно большой, то есть . 10) Так как при функция стремится к числу , то есть является бесконечно малой при и функция стремится к числу , то есть также является бесконечно малой при , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получаем: . Так как при числитель стремится к числу , то , а знаменатель, стремится к числу . 11) Так как при функция малой при функция стремится к числу , то есть является бесконечно малой при и стремится к числу , то есть также является бесконечно , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю, то есть на и затем в числителе воспользуемся формулой сокращённого умножения . Получаем: . Так как при знаменатель стремится к числу , то . 12) Так как при функция неограниченно возрастает, то есть является бесконечно большой при , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости умножим и разделим данную функцию на выражение сокращённого умножения . Получаем: и затем в числителе воспользуемся формулой . Так как при функция является бесконечно большой при малой функцией при Ответ: 1) 11) ; 2) , то дробь , то есть ; 3) ; 4) неограниченно возрастает, то есть ; 5) является бесконечно . ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; ; 12) . 5.3. Непрерывность функции Справочный материал. Если и при этом , то предел функции при называется левым односторонним пределом. Используется обозначение: . Если и при этом , то предел функции при называется правым односторонним пределом. Используется обозначение: . Для того чтобы существовал предел функции при необходимо и достаточно, чтобы существовали равные односторонние пределы при . В этом случае значение односторонних принимают за предел функции при : . Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет трём условиям: 1) функция определена в точке , то есть существует значение функции в этой точке: ; 2) существует предел функции при , то есть существуют равные односторонние пределы функции при : ; 3) предел функции при равен значению функции в точке : . Если функция не является непрерывной в точке, то эта точка называется точкой разрыва. Пример 1.5.6. Исследовать на непрерывность функцию в следующих точках: 1) ; 2) . Решение. Для исследования функции на непрерывность в точке нужно проверить выполнение трёх условий из определения непрерывности функции в точке. 1) Найдём значение функции в точке : . Значение функции в точке существует, поэтому функция определена в этой точке, то есть первое условие выполняется. Затем найдём предел функции при : . Предел функции при существует, то есть второе условие выполняется. Очевидно, что Значение функции в точке совпадает с пределом функции при : , то есть третье условие выполняется. Таким образом, все три условия выполняются, поэтому функция непрерывна в точке . 2) Найдём значение функции в точке : . Значение функции в точке не существует, поэтому функция не определена в этой точке, то есть первое условие не выполняется. Следовательно, в точке функция не является непрерывной и – точка разрыва. Ответ: 1) в точке функция непрерывна; 2) – точка разрыва. Пример 1.5.7. Исследовать на непрерывность функцию в точке . Решение. 1) Проверим выполнение трёх условий из определения непрерывности функции в точке. Найдём значение функции в точке : . Значение функции в точке существует, поэтому функция определена в этой точке, то есть первое условие выполняется. Затем найдём предел функции при . Так как слева и справа от точки функция задана разными аналитическими выражениями, то найдём односторонние пределы при : , . Так как односторонние пределы не совпадают, то предел функции при не существует. Второе условие не выполняется. Следовательно, в точке функция не является непрерывной и – точка разрыва. Ответ: – точка разрыва. Второй уровень cложности 5.1. Функция одной переменной Справочный материал. Для решения примеров используется справочный материал предыдущего уровня сложности. Пример 2.4.1. Для функции найти: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Решение. Подставляя в исходную функцию вместо переменной параметром , получаем: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) заданные выражения с ; 6) . Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Пример 2.5.2. Найти область определения функций: 1) ; 2) ; 3) . Решение. 1) Функция определена, когда выражение под знаком корня неотрицательно: и знаменатель не равен нулю: . Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому объединим их в систему: Отсюда получаем: Область определения функции: . 2) Функция определена, когда знаменатель не равен нулю: аргумента арксинуса заключены в отрезке от до : и значения . Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому объединим их в систему: Отсюда получаем: Область определения функции: . 3) Функция определена, когда значения аргумента логарифма положительны: . Отсюда получаем: Область определения функции: . Ответ: 1) ; 2) ; 3) . Пример 2.5.3. Какие из функций являются чётными, какие нечётными, какие не являются ни чётными, ни нечётными: 1) ; 2) ; 3) . Решение. 1) Найдём область определения функции: . Область определения функции не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. 2) Найдём область определения функции: . Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдём значение функции при смене знака её аргумента: . Так как значение функции не изменилось, то функция является чётной. 3) Найдём область определения функции: . Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдём значение функции при смене знака её аргумента: . Так как значение функции изменилось на противоположное, то функция является нечётной. Ответ: 1) не является ни чётной, ни нечётной; 2) чётная; 3) нечётная. Пример 2.5.4. Построить графики функций: 1) ; 2) . Решение. 1) Преобразуем функцию: . Функция дробно-линейная. Её графиком является гипербола. График данной функции можно получить из графика функции сдвигом на ед. вправо и на ед. вниз (рис. 2.4.1). Рис. 2.5.1. График функции (к Примеру 2.5.4(1)) 2) График данной функции можно получить из графика функции сначала симметричным отражением его части, расположенной ниже оси , относительно этой оси; затем сдвигом вдоль оси на ед. влево, сдвигом вдоль оси на ед. вниз и, окончательно, для полученного графика, симметрично отражаем его часть, расположенную ниже оси , относительно этой оси (рис. 2.5.2). Рис. 2.5.2. График функции 5.2. Предел функции Справочный материал. Первый замечательный предел: . Отношение при представляет собой неопределённость вида Следствия из первого замечательного предела: 1) 2) ; 2) . . Второй замечательный предел: , Выражение при . представляет собой неопределённость вида . Выражение при также представляет собой неопределённость вида . Следствия из второго замечательного предела: . В частности, если 1) . В частности, если 2) 3) . , то . . Пример 2.5.5. Вычислить замечательного предела: 1) , то ; 4) Решение. 1) Так как при пределы, 2) ; ; 5) формулу 3) первого ; . функция место неопределённость вида используя является бесконечно малой, то имеет . Для раскрытия этой неопределённости используем формулу первого замечательного предела. Предварительно умножим числитель и знаменатель дроби на . Получаем: . 2) Так как при функции то имеет место неопределённость вида и являются бесконечно малыми, . Для раскрытия этой неопределённости используем формулу первого замечательного предела. Предварительно разделим числитель и знаменатель дроби на . Затем числитель и знаменатель дроби, образовавшейся в числителе исходной дроби, умножим на , а в знаменателе – на . Получаем: . 3) Так как при функции то имеет место неопределённость вида и являются бесконечно малыми, . Для раскрытия этой неопределённости используем формулу первого замечательного предела. Предварительно воспользуемся тригонометрической формулой . Получаем: . 4) Так как при функции и малыми, то имеет место неопределённость вида являются бесконечно . Для раскрытия этой неопределённости используем формулу первого замечательного предела. Предварительно воспользуемся тригонометрической формулой . Получаем: . 5) Так как при функция место неопределённость вида является бесконечно малой, то имеет . Для раскрытия этой неопределённости используем следствие из формулы первого замечательного предела . Предварительно разделим числитель и знаменатель дроби на . Затем числитель и знаменатель дроби, образовавшейся в знаменателе исходной дроби, умножим на . Получаем: . Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Пример 2.5.6. Вычислить замечательного предела: 1) ; 2) Решение. 1) Так как при функция пределы, используя формулу второго . имеет предел, равный , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся формулой второго замечательного предела . Преобразуем исходную функцию к виду, удобному для использования формулы второго замечательного предела. Получаем: . 2) Так как при функция имеет предел, равный , то имеет место неопределённость вида . Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся формулой второго замечательного предела . Преобразуем исходную функцию к виду, удобному для использования формулы второго замечательного предела. Получаем: . Ответ: 1) ; 2) . 5.3. Непрерывность функции Справочный материал. Для решения примеров этого пункта используется справочный материал соответствующего пункта Части 1. Пример 2.5.7. Найти точки разрыва функции: 1) ; 2) Решение. Точки разрыва – это точки, в которых функция не является непрерывной. 1) Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в ноль: . Отсюда , . Для этих точек не выполняется первое условие непрерывности функции в точке. Следовательно, , – точки разрыва. 2) Функция задана двумя аналитическими выражениями, которые непрерывны на всей числовой прямой. Поэтому функция может иметь разрыв в точке, в которой меняется её аналитическое выражение, то есть в точке . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке. Проверим выполнение трёх условий из определения непрерывности функции в точке. Найдём значение функции в точке : . Значение функции в точке существует, поэтому функция определена в этой точке, то есть первое условие выполняется. Затем найдём предел функции при . Так как слева и справа от точки функция задана разными аналитическими выражениями, то найдём односторонние пределы при : , . Так как односторонние пределы не совпадают, то предел функции при не существует. Второе условие не выполняется. Следовательно, в точке функция не является непрерывной и – точка разрыва. Ответ: 1) , ; 2) . Третий уровень cложности 5.1. Функция одной переменной Справочный материал. Для решения примеров этого пункта используется справочный материал соответствующего пункта Части 1. Пример 3.5.1. Привести пример функции со следующей областью определения: 1) ; 2) ; 3) . Решение. 1) В качестве примера можно взять дробную функцию, у которой знаменатель обращается в ноль в точках , , : . 2) В качестве примера можно взять дробную функцию, у которой переменная находится в знаменателе под корнем чётной степени: . 3) В качестве примера можно взять функцию, у которой переменная находится под корнем чётной степени: Ответ: 1) . ; 2) ; 3) . 5.2. Предел функции Справочный материал. Если и – бесконечно малые функции при то и – эквивалентные бесконечно малые при . Примеры эквивалентных бесконечно малых при 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) и , . Обозначение: : . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить их эквивалентными. Пример 3.5.2. Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые: 1) ; 4) 2) ; 3) ; . Решение. 1) Так как при функции их можно заменить эквивалентными: . и являются бесконечно малыми, то , . Получаем: 2) Так как при функции и малыми, то их можно заменить эквивалентными: Получаем: являются бесконечно , . . 3) Так как при функция является бесконечно малой, то её можно заменить эквивалентной: . Учитываем также, что . Получаем: . 4) Так как при функции и являются бесконечно малыми, то их можно заменить эквивалентными: . Получаем: , . Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5.3. Непрерывность функции Справочный материал. Пусть – точка разрыва функции. Точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы. Если при этом значения односторонних пределов совпадают, то точка называется точкой устранимого разрыва первого рода. Точка называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует. Пример 3.5.3. Найти точки разрыва функции и установить характер точки разрыва: 1) ; 2) ; 3) Решение. 1) Так как функция не определена в точке точкой разрыва. Найдём односторонние , то эта точка является пределы: . Так как пределы равны бесконечности, то точкой разрыва второго рода. 2) Так как функция не определена в точке , является , то эта точка является точкой разрыва. Найдём односторонние пределы: , . Односторонние пределы конечны, но не совпадают. Следовательно, является точкой разрыва первого рода. 3) Функция задана двумя аналитическими выражениями, которые непрерывны на всей числовой прямой. Поэтому функция может иметь разрыв в точке, в которой меняется её аналитическое выражение, то есть в точке . Значение функции в точке существует: . Найдём односторонние пределы: , . Односторонние пределы конечны, но не совпадают. Следовательно, является точкой разрыва первого рода. Ответ: 1) является точкой разрыва второго рода; 2) является точкой разрыва первого рода; 3) является точкой разрыва первого рода.