Введение в математические методы

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Среди социальных наук экономика в наибольшей степени использует математику. Это позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений получить выводы, адекватные изучаемому объекту. В-третьих, методы математики и статистики позволяют получить новые знания об объекте: оценить форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать его понятия и выводы. Математические методы использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф.Кенэ, А.Смитом. В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, и их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д.Хикс, В.Леонтьев и другие). В России большой вклад в математическое моделирование экономики внесли такие ученые как В.К.Дмитриев, Е.Е.Слуцкий, В.В.Новожилов. Любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Теоретические модели используются для описания и объяснения наблюдаемых процессов, статистические данные собираются с целью эмпирического построения и обоснования моделей. Для используют изучения их различных упрощенные экономических формальные явлений описания, экономисты называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление, и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь. 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ Многочисленные исследования и наблюдения показывают, что в окружающем нас мире величины существуют не изолированно друг от друга, а связаны между собой определенным образом (цена товара и величина спроса на этот товар, прибыль фирмы и объем производства этой фирмы и т.д.). Понятие функции или функциональной зависимости - одно из основных математических понятий, при помощи которых моделируются взаимосвязи между различными величинами, количественные и качественные отношения между различными экономическими характеристиками и показателями. Пусть задана функция f, если задан закон, согласно которому каждому значению Х из некоторого числового множества А ставится в соответствие одно вполне определенное значение У из некоторого числового множества В. Функциональная зависимость между Х и У обозначается Y = f (x ) . Рассмотрим пример функциональной зависимости. Предположим, производится закупка товара. При закупке больших партий часто предоставляется оптовая скидка. Пусть она определяется следующим образом: если покупается партия товара в количестве менее 100 штук, цена будет 2 д.е. за штуку; если от 100 до 1000 штук – 1.95 д.е.; если же не менее 1000- цена 1.9 д.е за штуку условного товара. Нас интересует функция f(x), определяющая стоимость произвольной партии товара. Ее можно записать в виде системы уравнений: 0  x 100  2x  f ( x ) = 1.95x 100  x 1000  1.9x x  1000  Предположим, нас интересует стоимость партии из 700 штук. Тогда f(700)=1,95*700=1365 д.е. Функцию можно задать не только с помощью таблицы или графика, но и графически. Рассмотрим функцию f (x1 ...xn ) . Пусть t-функция, αt- множество уровня t-функции, f(x)- множество таких наборов х1…хn из области определения функции, для которых значения на этих наборах равно t.  t = (x 1 ...x n ) : f (x 1 ...x n ) = t Линия изображающая множество уровня данной функции называется линией уровня данной функции. ПРИМЕР. Дана функция f(x1,x2)= x 1  x 2 . Построить линию уровня функции, проходящей через точку: (2,3) . Согласно условию x 1 = 2 x2 = 3 t= 2  3 = 6 x1  x 2 = 6 x2 = 6 x1 Построим график: x2 3 2 x1 ПРИМЕР. Определить минимум функции min 2 x1 ,3x2 в точке (1,4) 1. Определим множество значений функции t = min2;12 = 2 , следовательно min 2x1 ,3x2  = 2 . Рассмотрим два случая: Пусть 2 x1 − min функции, тогда 2 x1 = 2 (по условию), x1 = 1 2x 1  3x2 , т.е. 2  3x2 x2  2 . 3 Пусть 3x2 − min функции, тогда 3x2 = 2 (по условию) x2 = 3x2  2x 1 , т.е. 2  2 x1 2 3 x1  1 . 1 Одним из примеров функциональной зависимости является функция совокупных издержек или затрат. Совокупные издержки – это функция, зависящая от постоянных и переменных издержек С(x ) = F + V . F – постоянные издержки (амортизация, аренда помещений, проценты по займам и др.) V- переменные издержки (стоимость сырья, рабочей силы и т.д.) В простейшем случае переменные издержки прямо пропорциональны количеству произведенной продукции (х). Линейная модель издержек определяется формулой С(x ) = b + ax , где b фиксированные затраты, коэффициент пропорциональности a- переменные затраты по производству одной единицы продукции. Совокупный доход или выручка, R (x ), получаемый предприятием от продажи «х» единиц продукции, определяется R (x ) = px , где p - цена единицы товара. Если произведено и продано «х» единиц продукции, то прибыль определяется формулой P(x ) = R(x) − C(x). Точка, в которой прибыль обращается в нуль, называется точкой безубыточности. ПРИМЕР. Фиксированные издержки составляют 10 тыс.руб. в месяц, переменные издержки – 30 руб., выручка - 50 руб. за единицу продукции. Составить функцию прибыли и построить ее график. РЕШЕНИЕ. F=10000, V=30x - дано. Совокупные издержки С(x ) = F + V = 10000 + 30x Совокупный доход R(x) = 50x Прибыль P(x) = R(x) − C(x) = 50x − 10000 − 30x = 20x − 10000 . Найдем точку безубыточности P(x ) = 0 ; 20 x − 10000 = 0; x = 500 P(x) 500 При малых значениях «х» прибыль отрицательна, т.е. производство убыточно. При увеличении «х» прибыль возрастает, в точке х=500 она обращается в нуль и после этого становится положительной. Еще одним примером линейной зависимости является зависимость материальных затрат от валового выпуска. Рассмотрим модель межотраслевого баланса (балансовый анализ). Задача балансового анализа – ответить на вопрос: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли. При этом каждая отрасль выступает и как производитель некоторой продукции, и как потребитель продукции и своей , и произведенной другими отраслями. Связь между отраслями может отражаться в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом В.Леонтьевым.