Винтовые и спиральные линии

Винтовые и спиральные линии Винтовые и спиральные линии относятся к пространственным линиям. Кривую, все точки которой не лежат в одной плоскости, называют пространственной. Кривая линия может быть образована движением некоторой точки в пространстве (кинематический способ) или пересечением двух поверхностей. Кривые могут быть представлены:  аналитическими уравнениями;  графически или таблично. В начертательной геометрии линии изучают по их проекциям на комплексном чертеже. Винтовая линия, образуется сложением вращательного движения точки вокруг неподвижной оси и переносом вдоль этой оси по определенному закону. Широко известны несколько видов винтовых кривых: цилиндрическая, коническая и тороподобные спирали. Винтовые линии, образованные на цилиндре и конусе, имеют большое практическое значение в технике (используются для образования резьбы различных профилей, в грузовых и ходовых винтах, сверлах, шнеках и пр). Для их построения необходимо знать изменения радиуса винтовой линии r и шага h, количество витков n. Смещение точки вдоль оси при одном полном обороте называется шагом h. Отрезок винтовой линии, описанный точкой за один оборот, называется витком. Параметрическое уравнение кривой [5]: (3) где pо(t) = r(t) c(t) – уравнение образующей; r(t) – изменение радиуса окружности; с(t) – закон кругового движения точки единичного радиуса относительно начала координат; pн(t) – закон переносного движения точки; n – число витков. Рис. 21. Координаты начальной точки в пространстве Закон кругового движения точки c(t) = p(0) R(t), где p(0) = [x y z] – начальное положение точки; R(t) – матрица вращения. Координаты точки p(0) при t = 0 (рис. 1) равны: {x = 1 y = 0 z=0}, {x = -1 y = 0 z = 0}, {x = 0 y = 1 z = 0},{x = 0 y = -1 z = 0}, {x = 0 y = 0 z=1},{x = 0 y = 0 z = 1}. Матрицы вращений против часовой стрелки (положительное направление, рис. 21): – вокруг оси x; – вокруг оси y; – вокруг оси z. Чтобы выполнить вращение в противоположном направлении следует изменить знак перед параметром t в формулах матриц. Цилиндрическая винтовая линия получается сложением движения точки по окружности одинакового радиуса и переносного движения вверх по оси перпендикулярно окружности (рис. 22). Если перемещение вдоль оси происходит равномерно, то она описывает цилиндрическую винтовую линию равного уклона (гелиса). Такую линию можно расположить на боковой поверхности прямого круглого цилиндра (рис. 22, а). а) б) Рис. 22. Цилиндрические винтовые спирали постоянного (а) и переменного шага (б) Запишем закон движения точки c(t) в плоскости xz из положения p(0) = [1 0 0] в положительном направлении: c(t) = [1 0 0] Ry(t). Вертикальное равномерное движение точки при повороте ее на угол 2π радиан находится из уравнения прямой y(t) = k t, где k = h/2π – параметр винтовой линии. Поэтому параметрическое уравнение направляющей, по которой движется точка вверх по оси y, в зависимости от параметра t равно: . Подставив c(t) и pн(t) в формулу (3), получим уравнение цилиндрической винтовой линии: p(t) = [r cos(t) kt -r sin(t)], где x(t) = r cos(t), y(t) = h/2 t, z(t) = -r sin(t). Если точка перемещается по эллиптической образующей (рис. 23), то уравнение образующей цилиндрической винтовой линии po(t) необходимо преобразовать матрицей масштабирования: , где sx > 0, sy > 0, sz > 0 – коэффициенты масштабирования вдоль осей координат. Поскольку в нашем случае sy = 1, то получим уравнение эллипса с полуосями sx и sz: : а) б) Рис. 23. Эллиптические цилиндрические спирали постоянного (а) и переменного шага (б) На рисунке 24 построена цилиндрическая линия радиуса r с равномерным шагом h и числом витков n = 1. Горизонтальная проекция винтовой линии – окружность, а фронтальная – синусоида. Окружность на горизонтальной плоскости радиуса r и ее шаг, отложенный на фронтальной проекции делят на одинаковое число равных частей (например 8, рис. 24). На пересечении одноименных фронтальных и горизонтальных линий получаются точки винтовой линии на фронтальной плоскости. Винтовая линия является геодезической линией на поверхности круглого цилиндра, показывающая кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. Ее натуральный размер изображается на развертке в виде прямой с углом подъема винтовой линии β = arctg (h/2πr) (рис. 24). Винтовые линии разделяют на правые и левые. Если смотреть в направлении оси винтовой линии, то точка приближается к вам по винтовой поворачивается против часовой стрелки, то линия правая, если по часовой, то левая. Рис. 24. Построение правой цилиндрической линии Правые линии встречаются намного чаще в практической жизни, чем левые (например: стандартные резьбовые крепежные детали, штопор для пробок и т. п.). На эпюре их различают, ставя около их проекций стрелки, указывающие направления их вращения и поступательного движения или, показывая невидимой часть линии, лежащей за горизонтальной осью симметрии. Если шаг винтовой линии переменный, то закон его изменения задается аналитически или разверткой одного или нескольких витков, по которой будут строиться проекции винтовой линии. Например, если y(t) = t2/20, то высота винтовой линии равна H = (2 n)2/20. Если вращение происходит по спирали Архимеда и равномерного переносного движения, то винтовая линия, называется коническая(рис. 25, а). В этом случае изменение радиуса r(t) = r0 + r1 t. Тогда уравнение винтовой линии запишем в виде: а) б) Рис. 25. Конические винтовые линии постоянного (а) и переменного шага (б) Коническую винтовую линию графически удобно строить на проекциях прямого кругового конуса. Первоначально вычерчиваются две проекции конуса высотой Н и радиусом основания r: фронтальная в виде треугольника и горизонтальная в виде окружности. Затем делятся окружность основания конуса и его высота на одинаковое количество частей, например 8. Определяются по соответственным образующим конуса местоположение проекций точек 1, 2, …, 8, которые соединяются плавной кривой. Горизонтальная проекция винтовой линии – спираль Архимеда, а фронтальная – синусоида с уменьшающейся высотой волны. На развертке боковой поверхности конуса винтовая линия также изображается спиралью Архимеда. Рис. 25. Графический способ построения правой конической винтовой линии Тороподобные спиральные линии получаются сложением движения точки по окружности с частотой ω и одновременным еѐ вращением вокруг одной из координатных осей (рис. 4). Параметрическая модель кривой: p(t) = (pо(t) + T) R(t), 0 ≤ t ≤ 2π, (4) где pо(t) = r(t) c(ωt) – уравнение образующей; T – матрица переноса центра образующей вдоль осей координат. Рассмотрим построение торовой спирали (рис. 26, а). Запишем движение точки из начального положения [1 0 0] по окружности радиуса r(t) = r с центром (R, 0, 0), принадлежащей плоскости xy в положительном направлении вокруг оси z: c(ωt) = [1 0 0] Rz(ωt) + [R 0 0] = r [cos(ωt) sin(ωt) 0] + [R 0 0]. Затем выполним вращение вокруг оси y: При изменении радиуса образующей по спирали Архимеда r(t) = r0 + r1 t (рис. 26, б): а) б) Рис. 26. Торовые спирали постоянного (а) и переменного радиусов (б) Кривые линии на сфере. Параллелями и меридианами на сфере будут окружности. Наибольшая параллель называется экватором. Окружность, полученная от пересечения сферы плоскостью, проходящей через еѐ центр, называется геодезической линией или ортодромией (брахистодой). Она кратчайшим путем соединяет две точки на поверхности шара и пересекает меридианы под различными углами. Важное значение в судовождении и авиации имеет пространственная кривая на сфере, пересекающая все меридианы под постоянным углом, которая называется сферическая локсодромия (рис.27). Воздушные или морские суда, следуя на дальние расстояния, держатся постоянного курса, т. е. придерживаются постоянного угла между меридианом и направлением движения судна. Траекторией его движения будет локсодромия. Она прокладывается на сфере по спирали, делает бесконечно большое число оборотов и стремится к полюсам. Локсодромия не является кратчайшей линией на земной поверхности. Путь по локсодромии всегда длиннее пути по ортодромии. Горизонтальная локсодромы на плоскости – логарифмическая спираль (рис. 27, в). Винтовая линия на сфере (локсодромия) получается сложением движения точки по спирали с частотой ω вокруг координатной оси и равномерного переносного движения ((рис.27). Параметрическая модель кривой: p(t) = R (pо(t) + pн(t)), 0 ≤ t ≤ π, (5) где R – наибольший радиус спирали; pо(t) = r(t) с(ωt) – уравнение образующей; с(t) = p(0) R(2t) – уравнение единичной окружности; pн(t) – уравнение переноса движения точки; r(t) – изменение радиуса окружности. Пример. Запишем вращение точки из начального положения [1 0 0] вокруг оси y: c(t) = [1 0 0] Ry(t) = [1 0 0] = = [cos(t) 0 –sin(t)]. Принимая в качестве образующей сферы дугу окружности xy и заданной уравнением [sin(t) -cos(t) 0)], найдем изменение радиуса при вращательном движении r(t) = sin(t). Тогда уравнение образующей в зависимости от радиуса: pо(t) = r(t) c(ωt) = [sin(t) cos(ωt) 0 -sin(t) sin(ωt)]. Вертикальное перемещение точки вверх по оси y, в зависимости от параметра t равно y(t) = -cos(t). Параметрическое уравнение направляющей pн(t) = [0 -cos(t) 0]. Подставим полученные слагаемые в формулу (5), получим параметрическое уравнение сферической локсодромии: p(t) = R [sin(t) cos(ωt) -cos(t) -sin(t) sin(ωt)]. а) б) в) Рис. 27. Виток локсодромии на сфере (а), фронтальная (б) и горизонтальная проекции (в) Контрольные вопросы : 1. Как образуется винтовая линия. 2. Напишите параметрическую модель винтовых кривых. 3. Назовите несколько видов винтовых линий. 4. Как образуются цилиндрическая винтовая линия. 5. Напишите параметрическую модель цилиндрической винтовой линии. 6. Как образуется коническая винтовая линия. 7. Напишите параметрическую модель конической винтовой линии. 8. Как образуется торовая винтовая линия. 9. Напишите параметрическую модель торовой линии. 10. Какие пространственные кривые называют гелисами. 11. Как определить направление винтовой линии. 12. Постройте коническую винтовую линию постоянного шага геометрическим способом. 13. Назовите несколько кривых линий на сфере.