Векторы и линейные пространства

Тема 4 Векторы и линейные пространства Часть 2 4.8 Ранг матрицы Матрицу размера можно рассматривать как систему, состоящую из m n-мерных векторов (или из n m-мерных векторов). Поскольку любая система векторов характеризуется рангом, то, естественно, встает вопрос о такой же характеристике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов – векторы-строки и векторы- столбцы, то у матрицы, вообще говоря, два ранга – строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их равноправии дает следующая теорема. Теорема. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны. Доказательство этой теоремы мы опускаем. Стало быть, ранг любой матрицы размера можно искать как ранг одной из двух систем векторов: либо m векторов-строк, либо n векторов-столбцов. Как следует, для прямоугольной матрицы максимальный ранг r = min (m,n). Для квадратной матрицы размером ее максимальный ранг не может превышать . Матрица порядка n называется вырожденной, если ее ранг r < n, для нее не существует обратной матрицы. Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов: Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т.е. max K = min (m,n). Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка. Наибольший порядок миноров, отличный от нуля, называется рангом матрицы. Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы. Столбцы и строки матрицы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными. Заметим, что в общем случае у матрицы может быть несколько базисных миноров. Таким образом, рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы обозначается rang A или r(A). Из определения следует: 1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ; 2) r (A) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. ; 3) для квадратной матрицы n-го порядка r (A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная. Пример. Вычислить ранг матрицы . Решение. Матрица А имеет четвертый порядок, поэтому . Однако , так как матрица содержит нулевой столбец, поэтому . Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевые определители, значит, 2. Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвертый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом, 1. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то . Пример. Вычислить ранг матрицы . Решение. Матрица А имеет порядок 3×4, поэтому . Проверим, равен ли ранг . Для этого вычислим все миноры 3-го порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы): . Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, 2. Так как существует ненулевой минор второго порядка, например , то . В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы. Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие: 1. Отбрасывание нулевой строки (столбца). 2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю. 3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число. 5. Транспортирование матрицы. Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. Доказательство. При изучении свойств определителей было показано, что при преобразовании квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг не изменяется. С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда. Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид , где. Замечание. условие всегда может быть достигнуто транспортированием матрицы. Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , так как имеется минор -го порядка, не равный нулю: . Покажем на примере алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример. Найти ранг матрицы . Решение. 1. Если , то с помощью перестановки строк или столбцов добиваемся того, что . В данном примере поменяем местами, например, 1-ю и 2-ю строки матрицы (см. ниже). 2. Если , то, умножая элементы первой строки на подходящие числа (а именно на и прибавляя их к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк, добьемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме ) равнялись нулю: . 3. Если в полученной матрице (у нас ), то умножая элементы 2-й строки на подходящие числа (а именно на и ) и прибавляя их к элементам 3-й и 4-й строк соответственно, добьемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме и ) равнялись нулю. Если в процессе преобразования получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (или столбцы): . Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например, . Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен . Для рангов матриц справедливы следующие соотношения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , если A и B – квадратные матрицы и . понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк и столбцов. Рассмотрим необходимые соотношения для строк матриц, имея в виду, что для столбцов матрицы все соотношения матрицы будут аналогичными. В матрице А обозначим ее строки следующим образом: . Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: , если . Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно: Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: , (25) где – любые числа. Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , (26) где . Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). Доказательство. Пусть матрица А размером имеет ранг . это означает, что существует отличный от нуля минор -го порядка. Всякий ненулевой вектор -го порядка будем называть базисным минором. Пусть для определенности этот минор . Тогда строки матрицы линейно независимы. Действительно, предположим противное, т.е. одна из этих строк, например , является линейной комбинацией остальных: . Вычтем из элементов -й строки элементы 1-й строки, умноженные на , элементы 2-й строки, умноженные на , и т.д., наконец элементы -й строки, умноженные на . На основании свойств определителей при таких преобразованиях матрицы ее определитель ∆ не изменится, но так как теперь –я строка будет состоять из одних нулей, то – противоречие, и, следовательно, наше предположение о том, что строки матрицы линейно зависимы, неверно. Строки назовем базисными. Покажем, что любые строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные. Рассмотрим минор -го порядка, который получается при дополнении рассматриваемого минора элементами еще одной строки i и столбца j: . Этот минор равен нулю, т.к. ранг матрицы , поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю. Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем , где последнее алгебраическое дополнение совпадает с базисным минором и поэтому отлично от нуля, т.е. . Разделив последнее равенство на , можем выразить как линейную комбинацию: . (27) Фиксируем значение и получаем, что для любого элементы i-й строки линейно выражаются через элементы строк , т.е. i-я строка есть линейная комбинация базисных: . (28) 4.9 Собственные значения и собственные векторы матрицы. Характеристическое уравнение Будем рассматривать квадратные матрицы размером , или, что то же самое, матрицы порядка n. При умножении матрицы порядка n на n-мерный вектор в произведении получается n-мерный вектор:. Для любой матрицы может существовать набор особых векторов, таких, что произведение матрицы на вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное вещественное число (вообще говоря, разное для каждого вектора). Определение. Число называется собственным значением матрицы А порядка n, если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство . При этом вектор называется собственным вектором матрицы А, а – собственным значением матрицы А, соответствующим вектору . Иными словами, умножение матрицы на ее собственный вектор равносильно удлинению этого вектора в раз, если (или сжатию при ). Если , умножение матрицы на соответствующий собственный вектор не меняет его. Уравнение (45) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, перепишем его в более удобном виде: , где и – соответственно единичная матрица и нулевой вектор. Если – элементы матрицы А, то характеристическая матрица , согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид . Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела алгебры. Уравнение (46) эквивалентно системе однородных уравнений В уравнениях – элементы матрицы А, – координаты собственного вектора . Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система должна иметь ненулевое решение, при котором определитель системы равен нулю: . Определитель системы однородных уравнений является многочленом n-степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение – характеристическим уравнением матрицы А. Корни уравнения) являются собственными числами матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однородной системы. пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы . Решение. Характеристическое уравнение для этой матрицы имеет вид , откуда, раскрывая определитель, получаем или . Корни этого уравнения суть . Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные значения в систему однородных уравнений при с соответствующими элементами заданной матрицы А. Собственный вектор, соответствующий собственному значению , является решением системы По сути дела, это одно уравнение, поскольку определитель системы равен нулю. Полагая свободной переменной, получаем и первый собственный вектор . Подстановка второго собственного значения приводит к системе уравнений которая через свободную переменную определяет второй собственный вектор матрицы А: . Поскольку b и c – произвольные числа, то одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины. Например, собственные векторы, соответствующие фундаментальным решениям однородных систем (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид при b=1 и c=1. 4.10 Линейные операторы Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры – понятие линейного оператора. Рассмотрим два линейных пространства размерности n и размерности m. Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из в и записывают . Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа выполняются соотношения: 1) – свойство аддитивности оператора; 2) – свойство однородности оператора. Вектор называется образом вектора , а с сам вектор – прообразом вектора . если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя. Именно такие операторы мы будем рассматривать в дальнейшем. Выберем в пространстве базис и запишем разложение произвольного вектора по данному базису: . В силу линейности оператора получаем . Поскольку – также вектор из , то его можно разложить по базису . Пусть , где Тогда с другой стороны, вектор , имеющий в том же базисе координаты , можно записать так: Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенств и, откуда Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг матрицы – рангом оператора А. Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства. Связь между вектором и его образом можно выразить в матричной форме уравнением , где А – матрица линейного оператора; . Пример. Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти образ вектора . Решение. Следовательно, . Определим действия над линейными операторами. Суммой двух линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством . Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством . Можно убедиться в том, что операторы , , , полученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными. Определим нулевой оператор , переводящий все векторы пространства в нулевые векторы , и тождественный оператор , действующий по правилу . Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой. Теорема. Матрицы А и линейного оператора в базисах и связаны соотношением , (29) где С – матрица перехода от старого базиса к новому, равная , где – матрица коэффициентов линейной комбинации векторов старого базиса при переходе к векторам нового базиса. Доказательство. При воздействии линейного оператора вектор X пространства переводится в вектор Y этого пространства, т.е. справедливо равенство (43) (в старом базисе) и равенство в новом базисе: . (30) Так как С – матрица перехода от старого базиса к новому, то . (31) . (32) Умножим равенство (30) слева на матрицу А, получим или с учетом . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с, имеем: или . Сравнивая найденные выражения с (29), мы получаем, т.е. доказательство теоремы. Пример. В базисе оператор (преобразование) имеет матрицу . Найти матрицу оператора в базисе Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому равна , следовательно: Как и для матриц, вводится определение собственного вектора линейного оператора, под которым понимается вектор такой, что . (33) Число называется собственным значением оператора , соответствующим вектору . Систему в развернутом виде можно записать так, чтобы в правых частях были нули: Эта однородная система всегда имеет нулевое решение . Для существования ненулевого решения, как известно, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю: . Определитель , являющийся многочленом n-й степени относительно , называется характеристическим многочленом оператора , а уравнение (49) характеристическим уравнением оператора (или матрицы А). Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса. В самом деле, преобразуем характеристический многочлен , полученный в новом базисе , если известна матрица С перехода от старого базиса к новому. С учетом (54) получим . Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, получим , т.е. независимо от выбора базиса. Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей . Решение. Составляем характеристическое уравнение или , откуда собственные значения линейного оператора :. Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение . Получим и , откуда находим Положив (для удобства) , получаем , т.е. векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением . Аналогично можно убедиться в том, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением . Наиболее простой вид принимает матрица А линейного оператора , имеющего n линейно независимых собственных векторов с собственными значениями, соответственно равными . Векторы примем за базисные. Тогда или с учетом (40) , откуда , если , и , если . Таким образом, матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид . Верно и обратное: если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса – собственные векторы оператора . Можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид. Пример. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду. Решение. В предыдущем примере были найдены собственные значения этой матрицы , и соответствующие им собственные векторы и . Так как координаты векторов и непропорциональны, то векторы и линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов и (т.е. при любых , например, и из векторов и и т.д.) матрица А будет иметь диагональный вид или . Это легко проверить, взяв, например, в качестве нового базиса линейно независимые собственные векторы и . Действительно, матрица С перехода от старого базиса к новому в этом случае будет иметь вид . Тогда в соответствии с матрица А в новом базисе , примет вид или после вычислений (которые мы опускаем) , т.е. получим ту же диагональную матрицу, элементы которой по главной диагонали равны собственным значениям матрицы А. Список литературы 1 Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник для вузов/ М.С.Красс.- М.: Дело, 2003. 2 Красс М.С.Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник для вузов/ М.С.Красс, Б.П.Чупрынов.- М., Дело, 2003. 3 Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч.Ч.1: учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005. - 304 с.: ил. 4 Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч.Ч.2 : учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005. - 416 с.: ил. 5 Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб пособие.-М.:ИНФРА-М,2002. 6 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.1 часть.- 3-е изд.-М.:Айрис-пресс,2004.-288с. 7 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.2 часть.- 2-е изд.-М.:Айрис-пресс,2004.-256с. 8 Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособ./ Под ред. В.И.Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2004. 9 Соболь Б.В. Практикум по высшей математике/ Б.В.Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян. - Ростов н/ Д.: Феникс, 2004. - 640 с. 10 Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учеб. пособие.- М.: Финансы и статистика, 2003. 11 Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В.С.Шипачев. - 5-е изд., стер. - М.:Высш. шк., 2005. - 304 с.