Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени

Лекция № 4. Тема:«Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени» Понятие пространства состояний Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1.1, а). Рис.1.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде "черного ящика" Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы. 1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа. r - число входов 2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода m - число выходов. 3. Промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, - переменные состояния, представляются вектором n - число переменных состояния. Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, - в виде вектора состояния x (см. рис. 1.1, б). Состояние системы - это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. Собственно система, ее входы и выходы - это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных. Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний,. Векторно-матричные модели в непрерывном времени В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений: (1.1) (1.2) где F - n-мерная вектор-функция системы; Q - m-мерная вектор-функция выхода. Матричное уравнение (1.1) называют уравнением состояния системы. Его решение, удовлетворяющее начальному условию , дает вектор состояния системы (1.3) Матричное уравнение (1.2), определяющее выходные переменные в зависимости от x(t) и u(t), называют уравнением выхода. В частном случае зависимости   могут быть линейными комбинациями переменных состояния xi и входных переменных uq. При этом динамическая система описывается в векторно-матричной форме: (1.4) (1.5) Переход к стационарным моделям позволяет оперировать с коэффициентными матрицами, т.е. со стационарными уравнениями (1.6) (1.7) где: А - функциональная матрица размером n x n, называемая матрицей состояния системы (объекта); В - функциональная матрица размером n x r, называемая матрицей управления (входа); С - функциональная матрица размером m x n, называемая матрицей выхода по состоянию; D - функциональная матрица размером m x r, называемая матрицей выхода по управлению. Очень часто D=0, т.е. выход непосредственно не зависит от входа. В дальнейшем под векторно-матричной моделью объекта (системы) будем понимать описание ее динамического поведения в классе стационарных непрерывных линейных систем, представленное в виде уравнений (1.6), (1.7). Таким образом, ВММ имеет единую форму представления, что значительно облегчает алгоритмизацию и компьютерную реализацию проектных процедур и проектных операций структурно-параметрического синтеза и анализа систем управления. Однако с использованием ВММ может быть получено лишь приближенное проектное решение, которое потребует дальнейшего уточнения, так как такие модели отображают динамическое поведение реального объекта лишь в классе стационарных линейных систем. Построение ВММ реального объекта сопряжено с проблемами линеаризации исходного математического описания и приведения его к структурированному виду - форме Коши. Если мы знаем физическое описание системы и можем записать уравнения, описывающие поведения ее отдельных частей, то получить уравнения состояния системы обычно сравнительно не трудно. Покажем эту процедуру на нескольких примерах. Пример 1.1. Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи, показанной на рис 1.2. Динамическое поведение этой системы при  полностью определяется, если известны начальные значения  и входное напряжение U(t) при . Следовательно, можно выбрать в качестве переменных состояния, то есть   Для указанных переменных состояния можно записать дифференциальные уравнения или в векторно-матричной форме (1.8) Таким образом для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:   Пример 1.2. На рис. 1.3. показан электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения, работающий при постоянном магнитном потоке (Ф=const). Дифференциальные уравнения для такого объекта могут быть записаны относительно следующих переменных состояния:  - скорости вращения ротора, тока якоря i(t), углового перемещения ротора . При использовании знакомых зависимостей для электродвижущей силы  и вращающего момента двигателя  получим уравнение электрической цепи и уравнения вращающейся части где J – приведенный момент инерции электродвигателя. Представляя векторы состояния, входа и выхода как  получим следующую векторно-матричную модель электродвигателя постоянного тока 1.9 То есть для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:   Тема: «Векторно-матричные модели систем управления в дискретном времени» Широкое применение в теории и практике автоматического управления цифровых управляющих устройств и систем управления с ЭВМ обусловливает необходимость рассмотрения вопросов построения ВММ непрерывных объектов в дискретном времени. Цифровые системы управления содержат как непрерывные, так и квантованные или дискретные сигналы. Наличие сигналов различного типа затрудняет описание динамического поведения системы. Однако часто можно ограничиться описанием поведения системы в моменты квантования. В этом случае сигналы выделяются только в дискретные моменты времени. Такие системы называют системами дискретного времени, они оперируют с последовательностями чисел, и, следовательно, для их описания естественно использовать разностные уравнения. Проблема заключается в нахождении способа описания непрерывной динамической системы, связанной с ЭВМ посредством аналого-цифрового (АЦП) и цифроаналогового (ЦАП) преобразователей. Рассмотрим схему, показанную на рис. 2.1. Сигналы в ЭВМ представляют собой последовательности, необходимо определить зависимости между ними. Построение дискретного эквивалента непрерывной системы называется квантованием непрерывной системы. В дальнейшем будем считать, что непрерывная система описывается уравнениями Наиболее распространенная ситуация в цифровом управлении состоит в том, что АЦП сохраняет уровень аналогового сигнала постоянным до тех пор, пока не потребуется новое преобразование Так как управляющий сигнал прерывист, необходимо установить его поведение в точках разрыва. Допустим, что сигнал непрерывен справа и представляется дискретным процессом (2.1) Определим связь между переменными системы в моменты квантования. При заданном состоянии в момент квантования tk состояние в некоторый момент tможно получить, решив систему (2.1). Первому уравнению системы (2.1) соответствует однородное уравнение (2.2) решение которого равно (2.3) Обозначим  тогда решение уравнения можно представить как (2.3) Допустим, что решение неоднородного уравнения имеет вид (2.4) Дифференцируя (2.4) по t, получим (2.5) Сравнение первого уравнения системы (2.1) и уравнения (2.5) позволяет получить следующее соотношение: (2.6) откуда (2.7) Подставим (2.7) в (2.4), тогда (2.8) Здесь учтено, что Вектор С2 определяется по начальным условиям. При t=tk Таким образом, (2.9) На основании решения (2.22) определим состояние и выход системы в следующий момент квантования tk+1 : (2.10) где (2.11) Заметим, что характеристики системы между моментами ее квантования дают представление о реакции системы на ступенчатые воздействия с начальными условиями. Это означает, что между моментами квантования система функционирует как разомкнутая. Для периодического квантования с периодом Т, tk=kT, модель (2.10) сводится к стационарной системе, которую будем рассматривать в дальнейшем. Для простоты записи примем Т=1, тогда (2.12) где (2.13) Если матрица А не особая, то возможна запись (2.14) где I- единичная матрица. Таким образом, для получения ВММ непрерывной системы в дискретном времени требуется вычислить матричную экспоненту и проинтегрировать ее. Вначале рассмотрим простейший случай. Используя разложение матричной экспоненты в ряд, получим следующие выражения: (2.15) При i=1 выражения (2.15) принимают вид (2.16) По существу такая аппроксимация совпадает с простейшим методом решения дифференциальных уравнений по Эйлеру. Модель (2.16) будем называть дискретной моделью по Эйлеру. Более точное нахождение матриц Ф и Г может быть осуществлено различными способами, в том числе такими, как: • разложение матричной экспоненты в ряд; • применение преобразования Лапласа (2.17) • использование теоремы Гамильтона - Кэли. Пример 2.1. Получим ВММ в дискретном времени для интегратора второго порядка, структурная схема которого приведена на рис. 2.2. Динамический процесс для такого объекта при  описывается дифференциальным уравнением (2.18) Вводя  как состояния системы, получим векторно-матричную запись уравнения (2.18) (2.19) Определим матрицы Ф и Г разложением матричной экспоненты в ряд. (2.20) Так как А2=0, приведенный ряд сходится точно. Таким образом, векторно-матричная модель двойного интегратора в дискретном времени имеет вид (2.21) Использование преобразования Лапласа. Пример 2.2. Для непрерывной модели электродвигателя постоянного тока будем считать, что Lя=0, Mс=0. Тогда уравнения электродвигателя будут иметь вид или В нормализованной форме записи значений параметров электродвигателя, то есть при  в пространстве состояния  получим следующую запись ВММ в непрерывном времени. Найдем изображение матричной экспоненты по Лапласу: Вычисляя обратное преобразование элементов полученной матрицы, получим матрицу Для нахождения матрицы Г используем выражение (2.32): Таким образом, векторно-матричная модель рассматриваемой системы в дискретном времени имеет вид (2.22) УСЛОВИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ. План лекции: 1. Определение полностью управляемой системы. 2. Условие управляемости линейной импульсной системы. 3. Определение наблюдаемости и восстанавливаемости. 4.Условие восстанавливаемости линейной импульсной системы. Управляемость системы определяет возможность управления со стороны входа всеми компонентами вектора состояния дискретной системы. Система, процесс или объект называются полностью управляемыми, если они могут быть переведены из состояния x[0]=0 в произвольное состояние x[n] с помощью управления за конечное число шагов. Рассмотрим систему разностных уравнений: x[k+1]=Фx[k]+Hu[k] y[k]=cx[k]+Du[k]   (20.1), где x=(x1,...xn)- вектор состояния;     y=(y1,...yn)- вектор входных переменных;     u=(u1,...un)- вектор управления. Предположим, что последовательность управлений имеет вид:   u[0],u[1],...u[n-1] . (20.2) Тогда в соответствии с (5.44) при x[0]=0, получим: x[1]=Hu[0]; x[2]=ФHu[0]+Hu[1]; x[3]= Ф2Hu[0]+ Ф Hu[1];     .  (20.3) Найдем последовательность управлений (20.2), переводящую точку x[0]=0 в точку x[u]=x. Последнее уравнение системы (20.3) также можно представить в виде:    . (20.4) Это выражение можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно компонентов векторов u[n-1], u[n-2] ,..., u[0]. Каждый вектор u имеет m скалярных компонент, так что число неизвестных равно m x n . Основная матрица системы    - имеет размерность (n x mn), а расширенная матрица - - размерность (пхтп+1). Рассмотрим условие управляемости, то есть условие существования решения (20.4). Для существования решения системы (20.4), как известно, необходимо и достаточно, чтобы совпадали ранги основной и расширенной матриц. Легко видеть, что так как , то . Если ранг основной матрицы меньше порядка системы п, то всегда можно так подобрать вектор Х, что ранг расширенной матрицы станет больше ранга основной матрицы.     Таким образом, чтобы система уравнений (20.4) имела решение при произвольном Х необходимо и достаточно, чтобы  .Это условие полной управляемости линейной дискретной системы. Рассмотрим случай скалярного управления и перейдем в исходной системе (5.44) с помощью преобразования  к каноническим переменным: Окончательно получим: , где Существуют специальные алгоритмы приведения исходной матрицы Ф к каноническому виду (диагональной форме). Структурная схема системы приведена на рис.20.1 (при условии скалярного выхода y). Рис.20.1. Легко видеть, что по свойствам полной управляемости системы соответствует отсутствие нулей у вектора , то есть условия . Наиболее распространенным алгоритмом управления систем, синтезируемых с помощью МПС, является алгоритм . Однако, во многих случаях состояние системы не измеряется, и, следовательно, управление согласно вышеприведенному соотношению не может быть непосредственно реализовано. Таким образом, возникает вопрос, можно ли определить вектор состояния по измеряемому выходу или по измеряемым выходам объекта со многими входами и многими выходами. В этой связи в теории управления различают наблюдаемость состояния и восстанавливаемость состояния. Состояние х(to) системы наблюдаемо, если оно может быть определено по будущим значениям выходной переменнойy(t), t>t0 и если интервал t-t0  конечен. Состояние х(to) системы восстанавливаемо, если оно может быть определено по прошлым значениям выходной переменной y(t), t>t0 и если интервал t-t0  конечен. Условие  наблюдаемости и восстанавливаемости можно получить из уравнения выхода системы: и  уравнения состояния: . Вычисляя последовательно значения выходной переменной для моментов времени k,k+1,...k+n-1, получим:    (20.5) или в векторно-матричной форме:   или в компактной форме: Yn[k]=Qpx[k]+Ppu[k]. Если матрица Qp невырожденная, то существует ее обратная матрица Q-1P , в этом случае  detQp и строки матрицы Qp линейно независимы. Тогда из предыдущего матричного уравнения следует: x[k]=Q-1pyn[k]- Q-1pPp u[k]    (20.6) Таким образом, мы можем сформулировать следующее условие наблюдаемости: линейная система, описываемая КРУ, наблюдаема, если и только если ранг матрицы Qp равен размерности n пространства состояний. Получим условие восстанавливаемости: Учитывая, что x[k+n]=Фnx[k], то последнее матричное уравнение может быть преобразовано к виду: , где . Условия восстанавливаемости формулируются аналогично условиям наблюдаемости: линейная система, описываемая системой КРУ, восстанавливаема, если и только если ранг матрицы Qp равен размерности n пространства состояний. Понятие управляемости, наблюдаемости и восстанавливаемости позволяет лучше представлять особенности динамики исследуемой системы, ее возможности. Отметим, что матрица Ф зависит от величины интервала квантования Т, поэтому свойства управляемости и наблюдаемости могут изменяться при переходе от непрерывных систем к цифровым (вспомним, например, о возможности возникновения скрытых колебаний в дискретных системах). Таким образом, мы завершаем рассмотрение вопросов анализа динамики дискретных систем в рамках методов ПС. В настоящее время этот метод широко применяется в инженерной практике. Его развитию будет способствовать все более широкое использование ЭВМ в проектировании рассматриваемых систем, так как именно он позволяет в наибольшей степени соединить полноту и строгость теоретического исследования с возможностями современной вычислительной техники.